改进的Tikhonov正则化图像重建算法
温丽梅;周苗苗;李明;马敏
【摘 要】Tikhonov正则化法可以解决电容层析成像中图像重建的病态问题,同时能够平衡解的稳定性与精确性,但其有效性和成像质量受到测量数据粗差的影响.改进的Tikhonov正则化法将2范数和M-估计结合,用一个缓慢增长的Cauchy函数代替最小二乘法的平方和函数,提高了估计稳健性和适应性.利用COMSOL和MATLAB软件对方法的有效性进行验证,重建结果表明,改进的Tikhonov正则化法能够有效减少粗差影响,提高重建图像精确度及分辨率.
【期刊名称】《计量学报》
【年(卷),期】2018(039)005
【总页数】5页(P679-683)
【关键词】计量学;图像重建;Tikhonov正则化法;电容层析成像;尾气检测;多相流
【作 者】温丽梅;周苗苗;李明;马敏
【作者单位】中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300
【正文语种】中 文
【中图分类】TB937
1 引 言
气-固两相流广泛存在于机械制造、电力、化工、制药等工业生产领域[1,2],其流动特性复杂,材料浓度的分布状态多变。航空发动机尾喷管的尾气是一种特殊的多相流体,主要由未完全燃烧液滴、大量排放气体以及发动机内部零部件发生磨损、碰擦、侵蚀等产生的金属屑等组成。若航空发动机处于不同的工作状态,其内部尾气所含介质成分也有所不同[3]。飞机发生事故前,发动机尾气中多相流体的介质成分及分布状况会有较大变化,据此可以作为此类灾害的早期预警[4]。
层析成像技术[5,6]可以实现三维流场的多参数非侵入式连续在线测量,电容层析成像(electrica
l capacitance tomography, ECT)在飞机发动机尾气检测方面具有潜在的应用价值。ECT的成像精度和分辨率直接关系到对航空发动机运行状态的判断。标准Tikhonov正则化法可以解决ECT图像重建的病态问题,同时能够平衡解的稳定性与精确性。然而,由于航空发动机气路恶劣环境和排气/固流模式的多样性,测量数据含有粗差,标准正则化方法的可行性将受到粗大误差的影响。为了减少误差的影响,提高成像精度,从而降低误判率,本文提出了一种改进的Tikhonov正则化方法。
2 ECT图像重建的基本原理
如图1所示,典型的ECT系统由3大模块组成:多电极电容传感器模块、计算机成像模块、数据采集模块。传感器模块[7～10]由一组包围在管道外壁的敏感电极组成;数据采集处理电路提供激励信号,将测量电极对间的电容信号转换为电压信号,经调制和数字化后,信号最终发送到计算机;PC机调取采集到的数据,采用相应的图像重建算法实现图像重建,从而重建出管道内被测物质分布截面图。
图1 ECT系统构成图
ECT包括正问题和逆问题。正问题是指根据传感器尺寸和结构以及被测多相流相分布状况,计算出传感器各电极对间的电容值;逆问题(即图像重建)是指通过测量电容值来计算介电常数分布。
2.1 ECT的正问题
在ECT系统中,传感器的一个电极施加5 V激励后,构成一个静电场,可用泊松方程描述:
·(εφ)=-ρ
(1)
式中:ρ,ε,φ分别为电荷密度、相对介电常数、电位。
对应式(1)的边界条件有3种:Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和混合边界条件,其中ECT正问题满足Dirichlet边界条件,用式(2)表示。
φs=const
(2)
式中s为场域边界。
当以电极i作为源电极(i =1,2,…,16)时,施加边界激励电压V满足:
φ(x,y)
(3)
式中:Γi,Γs,Γg分别为第i个电极的表面、屏蔽层、保护电极;k=1,2,…,16,且k≠i。
设定电极i作为激励电极,电极j作为检测电极,根据高斯通量定理可得检测电极j上的感应电荷。结合式(2)和式(3),由式(1)可解得极板对间的电容值,即:
ε(x,y)φ(x,y)dΓ
(4)
式中S为包含检测/接收极板的封闭区域。
2.2 图像重建
式(4)表明,Cij和ε之间存在非线性关系:
Cij=F(ε)
(5)
根据扰动理论,忽略高阶项,有:
Δ(Δε)
(6)
对式(6)进行线性化、归一化和离散化[11]处理后得到:
C=SG
(7)
式中:C∈Rm,S∈Rm×n,G∈Rn;C为电容矢量;S为灵敏度矩阵;G为介电常数向量。图像重建的任务是在知道S和C的条件下进行逆计算求G。
3 图像重建模型及算法设计
3.1 Tikhonov正则化法
Tikhonov正则化法的核心思想是将一个不适定问题转化为一个近似适定问题,以最小二乘准则及平滑准则为理论依据进行计算,其基本表达形式为:
α
(8)
式中:L为根据需要确定的线性算子;α为正则参数且为非负数。
若式(8)存在有极值,一定满足:
(9)
结合式(8)和式(9)可求得解:
G=(STS+αLTL)-1STC
(10)
这里如果设L为单位矩阵,则式(10)构成标准Tikhonov正则化法,即:
G=(STS+αI)-1STC
(11)
在式(11)中,一旦正则参数α的值确定,便可实现ECT图像的重建。α如果过大,虽然在一定程度上能够减少噪声影响,但是会加大重建图像模糊的程度;α如果选取过小,又会导致受噪声影响严重。在实际应用中,α的选取往往采用经验法,在这里选取经验值α=0.000 3。航空发动机尾气成分复杂,流型多变,使得测量数据C中含有较大的粗差。这使得标准Tikhonov正则化法成像效果不理想。为减少粗差的影响,提高ECT重建图像的空间分辨率,提出了一种改进的Tikhonov正则化法。
3.2 改进的Tikhonov正则化法
令L为单位矩阵, 式(8)可表达为:
正则化回归算法
α
(12)
对式(12)进行扩展,可得一个广义的表达式:
min J(G)=H(G)+αΩ(G)
(13)
式(13)中,H(G)用于平衡解的精确性,Ω(G)用于平衡解的稳定性,是一个稳定泛函。
标准Tikhonov正则化法中,H(G)采用的是最小二乘法,由于最小二乘法的函数是平方和函数,故对个别粗差影响比较显著,为减小粗差影响,可以从稳健估计的角度设定一种增长较慢的函数η(·)取代平方和函数,本文采用稳健估计法中较为广泛应用的M-估计。M-估计的广义定义是:
η(SiG-Ci)
(14)
式中η(·)为一个M-估计函数。η(·)函数的设计方式参看文献[12],式(14)中只要确定η(·),就能实现一个M-估计,常用的M-估计函数有Huber函数、Hampel函数、Andrew函数、Tukey函数、Fair函数、Dennis & Welsch函数和Cauchy函数等,虽然这些估计函数曲线不尽相同,但是对残差较大的测量值均进行了平降权处理,本文中采用Cauchy函数,其表达式如式(15),曲线图如图2所示。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。