正交归一化条件证明
    正交归一化条件是指在一个向量空间中，如果一组向量两两正交且归一化，则它们构成一个标准正交基。本文将证明正交归一化条件成立的充要条件。
    假设存在一组向量 $v_1,v_2,...,v_n$，它们两两正交且归一化。则对于任意 $i,j$，有：
    $$v_i cdot v_j = begin{cases} 1, & i=j  0, & i
    eq j end{cases}$$
    其中 $cdot$ 表示向量的内积。
    因此，对于任意 $i$，有：
    $$||v_i||^2 = v_i cdot v_i = 1$$
    即每个向量的模长均为 1，归一化条件成立。
    另一方面，假设存在一组向量 $v_1,v_2,...,v_n$，它们两两正交且模长均为 1。我们需要证
明，可以通过正交化和归一化得到一组标准正交基。
正则化 归一化    我们可以通过 Gram-Schmidt 过程进行正交化。具体来说，我们取 $u_1=v_1$，然后对于 $igeqslant 2$，定义：
    $$u_i = v_i - sum_{j=1}^{i-1}frac{v_i cdot u_j}{u_j cdot u_j}u_j$$
    则 $u_1,u_2,...,u_n$ 是一组正交向量。为了归一化它们，我们令：
    $$w_i = frac{u_i}{||u_i||}$$
    则 $w_1,w_2,...,w_n$ 是一组标准正交基。
    证毕。
    因此，正交归一化条件成立的充要条件为：存在一组向量，它们两两正交且模长均为 1。

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