随机波动率Hull-White模型参数估计方法
江良;林鸿熙
【摘 要】构建随机波动率的两因子模型,应用两阶段半参数方法估计模型中的常系数参数,使用核估计方法估计长期均值函数,给出了两阶段估计方法的相容性和参数的渐近性性质.实证结果表明了对比常系数模型,引入长期均值函数模型将会改善似然函数估计值,而且也能够很好地解释中央银行和政府已实施政策的有效性.此外,可以在不增加维数的条件下,使用该模型对利率衍生品进行更有效地定价.
【期刊名称】《系统工程学报》
【年(卷),期】2016(031)005
【总页数】10页(P633-642)
【关键词】长期均值;随机波动率;短期利率模型;半参数估计;核估计方法
【作 者】江良;林鸿熙
【作者单位】莆田学院数学学院,福建莆田351100;莆田学院商学院,福建莆田351100
【正文语种】中 文
【中图分类】F830.9;O212.7
利率是金融市场中非常重要的一个指标,几乎所有的金融现象和活动都和利率相关.因此构建合适的短期利率模型变得尤为重要.构建短期利率模型可分为两类:单因子模型;多因子模型.虽然实证表明了单因子模型也能很好地拟合市场的数据[1,2],但是单因子模型无法产生较复杂的收益率曲线的形状.因此,多因子短期利率模型应运而生[3,4].
Litterman等[5]基于实证方法论述了随机波动率模型的必要性.Kim等[6]应用多因子模型对日本债券收益率数据进行分析发现当瞬时利率很小时,两因子高斯模型拟合效果较好.Cheridito等[7]和Pierre等[8]基于横截面数据相应给出多因模型的参数估计方法及实证的结果.虽然,上述的研究结果表明了可以通过引入状态变量改善模型的拟合效果,但是相应的衍生品定价的维数也增加从而导致数值方法也变得更加困难,而且相应的参数估计问题也变的困难.如Duffee等[9]指出了由于多因子模型的复杂性,相应的参数估计识别问题也变得困难.因此,为了给出最优的统计方法,选择了状态变量相互独立的仿射性结构模型.
为了给出简约的模型,Andersen等[10],Fong等[11],Longstaff等[12]及Surya[13]构建了随机波动率两因子模型,并通过实证分析说明了引入随机波动率是必要的.然而在上述的模型中,长期均值均是常数.因此,Balduzzi等[14,15],和Chen[16]研究了引入长期均值作为状态变量的短期利率模型,并通过实证和数值分析说明了该模型不仅改变了短期利率期限结构的形状而且也改善了拟合效果.范龙振等[17]在漂移项中引入了储蓄存款利率作为状态变量来改善拟合效果.但是,由于引入新的状态变量,相应的衍生品定价偏微分方程的维数也会增加,从而导致数值方法变得比较复杂.另一方面,在文献[14,15]中,长期均值几乎和瞬时利率呈现一样的震荡,这种现象很难精确地刻画长期预期利率的趋势.江良[18]也通过核估计方法估计了Hull-White模型中的参数,但该作者考虑的模型是单因子模型.
基于上面分析的原因,本文用时间函数描述长期均值的变化,考虑了随机波动率的短期利率模型,并相应地给出了半参数估计方法.该模型既能改善数据的拟合效果也不增加衍生品定价的维数,并兼顾随机波动率良好的特性.而且实证分析也表明了引入均值函数能更好地刻画中央银行和政府已实施政策的有效性(详细的分析见本文第4节).此外,考虑均值函数的模型也可改善衍生品的定价.如Hull等[2]研究了时间变量系数的单因子模型衍生品定价时,他们发现其衍生品的定价和常数系数的两因子模型没有显著的差异. Grzelak等[19]引入Hull-White模型给出债
券定价过程,并指出引入Hull-White模型是必要的.
为了说明本文模型的有效性,将使用似然函数来诊断模型.由于模型中含有时间函数的参数,因此将提出一种半参数估计方法来计算似然函数值.根据H¨ardle等[20]和Ramsay等[21]对于半参数模型的估计方法一般可分为如下两类:核估计方法;正则化方法.本文将选择核估计方法,其主要原因是均值函数可通过核函数在每个节点上加权平均近似,其近似的函数仅依赖于给定窗口.此外,由于瞬时波动率是不可观测的,因此将通过两组不同到期日债券的线性组合来近似波动率过程[16,22].本文模型是在风险中性测度下所构建的,这就使得对利率衍生品的定价时可直接使用这些参数的估计值.
首先,假设在风险中性测度下短期利率满足下面的模型(SVHW)
其中是一对标准布朗运动,和σv分别表示随机波动率的速率,均值和波动率.
在该模型中瞬时波动率满足CIR模型[23]以至于使得波动率是非负的(假设Feller条件满足),而且长期波动率是一个常数.一个似乎更合理的假设是式(1)满足CIR随机过程,然而归咎于相关系数ρ,此时债券价格无仿射性结构解[24].但是相关系数又是一个非常重要的指标.如,Balduzzi
等[15]发现了利率和随机波动率水平变化是正相关的.Cheridito等[7]通过债券数据发现了相关系数也是正的(几乎接近1).基于这些原因,不考虑对于随机利率满足CIR动态过程的模型.
注意到,SVHW模型包含一些其它的模型.当波动率是常数时,就是众所周知的HW模型[2];当θ(t)是常数时,模型变化为FV模型[11];当波动率Vt和θ(t)都是常数时,其模型为Vasicek模型[25].
设P(t,T)=P(t,T,Vt,rt)为在t时刻到期日为T的债券价格.设信息流Ft是关于Vt和rt在t之前的所有信息.那么债券价格为,其中E[·]为期望值算子.
根据计价单位转换原理[24],如果选取银行账户作为计价单位,则是一个鞅,其微分为
根据鞅的性质,可得以下偏微分方程.
其终端条件为P(T,T)=1.
根据Duffie等[4]研究的结果,方程式(3)存在仿射性结构解,即P(t,T)=exp(A(t,T)-rB(t,T)-V C(t,T)),其中A=A(t,T),B=B(t,T)及C=C(t,T)满足下面的常微分方程组,即
其终端条件为A(T,T)=B(T,T)=C(T,T)=0.显然在给定终端条件下B(t,T)的解析解为B(t,T)= (1-e-a
(T-t))/a.而常微分方程(4)是一个众所周知的Riccati方程.由于该方程的系数是关于时间变量的函数,因此一般没有解析解,所以将使用数值方法求解.若给定C和B的解,则A的解为
不失一般性,假设债券价格是从当前时刻开始观察.为了能给出参数估计方法,首先需要处理隐含状态变量Vt.对于本文的问题,将利用不同到期日可观测的债券价格数据近似随机波动率.
设R(t,T)为在t时刻到期日为T的零息债券收益率,则
假设R(t,T1)和R(t,T2)是两个不同到期日收益率(T1/=T2),可得
从式(5)和式(6)可得
其中Am=A(t,Tm),Bm=B(t,Tm)及Cm=C(t,Tm),m=1,2.
为了简化,在实际应用中对于表达式(7)通过线性组合来近似其动态的过程,即
其中α0和α1是常数.显然式(8)仅依赖于参数α0,α1及a.比较动态过程(2),辅助过程(8)简化参数估计过程.
下面将通过式(1)和辅助过程式(8)建立似然函数并给出半参数估计方法.
设Δt=ti-ti-1(i=1,2,...,N),其中tN是最大的观察值及t0=0.式(1)的欧拉离散形式为
其中ri=rti,Vi=V(ti),θi=θ(ti)及zi+1是一个服从标准正态分布的随机数.若给定Vi,式(9)的离散式是有偏的.尽管在给定V的条件下,随机微分方程(1)有解析表达式[24],但是,如果Δt足够小,有偏的现象将会减少.实际上,Glasserman[26]论述了式(9)的离散式是可行的.相应式(8)的离散过程为
根据式(9)和式(10),似然函数为
其中c是不依赖于θi和η的常数,η=(a,α0,α1),f(·|·,·,·)是条件密度函数,ri是r=(r0,r1,...,rN)的分量,i=0,,N.
为了估计θ(t)(其离散值为θi),引入众所周知Nadaraya-Watson核函数估计[20].那么θ(t)可近似为
其中Yi=ri+1-ri(1-aΔt),Wi(t)是权重函数是窗口,Kh(s)= h-1K(sh-1),其中K(·)是核函数.选取合适的h值将会改善θ(t)的光滑性.若h→0,θh(t)→Yi,这隐含着对于θ(t)是过分估计.若,意味着θ(t)是常数.一般来讲,h选取比核函数选取更加重要,如H¨ardle等[20]指出不同核函数选取最优窗口h
之间相差一项常数因子.因此本文将选取高斯核函数.
下面将给出基于时间序列数据的两因子模型极大似然估计方法.基于式(11)和式(12),似然函数近似为
其中Vi用式(10)来近似计算.
注意到,若直接最大化似然函数式(13),其过程比较复杂,因此基于Simar等[27]的思想,采用两阶段估计方法.其核心思想是把上述问题化为两个简单的问题:一个非参数问题;一个全参数问题,其算法如下:
步骤1给定一个初值η0;
步骤2求优化问题(13),即
步骤3根据步骤2的估计结果h(t,η),求下面的优化问题
其中Ω(η)是参数η所在的领域;
步骤4重复步骤2和步骤3直到收敛.
显然,在给定参数η条件下,优化问题(14)转化为一个标准的非参数估计问题,即
在算法步骤3中,将使用等[22]的极大似然估计方法.注意在使用算法时,需要回答两个主要的问题:步骤2和步骤3是否相容的;步骤3的渐近性质.
接下去部分,将回答这两个问题.首先考虑算法步骤2,若给定真实的η∗,当h→0,θh(t,η∗)能否依概率收敛到相应的真实值θ∗.为了证明其相容性,需要下面的假设.
假设1　在给定η条件下,假设Yi的真实密度函数为f(Y|η),其均值和方差满足下面的条件,即
正则化一个5 5随机矩阵其中Var(·)表示方差.
假设1说明了在使用数据时,相应的均值和方差是有界的.现实中,瞬时利率的时间序列数据的均值和方差一定是可满足上面条件的.而且从假设1可以得出二阶矩是有界的,即E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2＜∞.这个条件保证θ(η,t)是均方收敛的,从而可以得到定理1的结果.根据假设1,给出下面相容性定理,其证明过程可参考文献[28]中的性质3.1.1.
定理1　假设1成立.如果Nh→∞和h→0那么有
其中表示依概率收敛.
定理1说明了,若给定真实值η∗,通过优化问题(14)所得θ值将概率收敛到θ∗.因此,需要进一步考虑优化问题(15)的相容性问题.此时,需要一些正则性假设.
假设2　假设Ω(η)是紧的.θ∗=θ∗(t)及η∗是最大似然函数(13)的真实解且是Ω(η)的内点.

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