第31卷第3期2019年9月
Vol.31,No.3
Sept.2019
河南工程学院学报(自然科学版)
JOURNAL OF HENAN UNIVERSITY OF ENGINEERING
正态模糊数互补判断矩阵及其排序方法
常娟，杜迎雪，刘卫锋
(郑州航空工业管理学院数学学院，河南郑州450046)
摘要：提出正态模糊数互补判断矩阵，给出了基于NFC-0WA算子的正态模糊数互补判断矩阵的排序方法，并且利用决策者风险态度参数对排序结果进行了敏感性分析。针对决策信息以正态模糊数互补判断矩阵形式给出的有限方案决策问题，提出了具体的决策方法，并通过算例表明该方法是可行且有效的。
关键词：正态模糊数；NFC-0WA算子；正态模糊数互补判断矩阵；排序
中图分类号:C934;0223文献标志码：A文章编号=1674-330X(2019)03-0075-06 Normal fuzzy numbers complementary judgment matrix
and its method for priority
CHANG Juan,DU Yingxue,LIU Weifeng
(School of Mathematics,Zhengzhou,University of Aeronautics,Zhengzhou450046,China) Abstract:The nonnal fuzzy numbers complementaiy judgment matrix is proposed,and its ranking metliod is given by using tlie NFC-OWA operator.Tlien tlie method to make sensitivity analysis for the sort result by tlie risk attitude parameter of the decision maker is proposed.With regard to the decision pioblem with the finite schemes given by decision inlbrmation in the form of noimal fuzzy numbers complementaiy judgment matrix,tlie process of tlie decision metliod is proposed.Finally,an example is given to illustrate the feasibility and effectiveness of tlie proposed method.
Keywords:normal fuzzy numbers；NFC-OWA operator；nonnal fuzzy numbers complementaiy judgment matrix；priority
在多属性决策问题中，通过对决策方案两两比较来构建判断矩阵，从而得到决策方案的排序结果，是一
种有效的决策方法。在判断矩阵中，模糊互补判断矩阵是一种重耍的形式，其排序理论和一致性等方面的研究已取得了非常丰富的成果［5-8］0由丁模糊数在描述客观现象本身的模糊性和不确定性方面比精确数有显著的优势，人们逐渐开展了对区间数互补判断矩阵4山、三角模糊数互补判断矩阵［12-14\梯形模糊数互补判断矩阵［15-16：的研究。以上研究对不同形式的模糊偏好信息决策问题给山了具体的方法和应用，丰富了模糊互补矩阵决策理论。相对于以上模糊数，正态模糊数“］由于其现实存在的普遍性，在刻画模糊信息时更接近人类思维，也更准确：18］。在有限方案的决策问题中，当决策者或调查对象较多时，利用数理统计的方法，给出偏好值为正态模糊数的互补判断矩阵，进而研究其排序方法，这一做法具有较强的实际应用价值，但是从目前的研究成果来看，关于此方面的研究尚耒见报道。
在模糊数互补判断矩阵的研究中，对模糊数信息进行有效集结并转化为精确数信息是一种常用的方法。由于模糊数木身的不确定性，在集结过程中势必会受决策者风险态度的影响。鉴于此，Yager"〕提出了连续区间有序加权平均(C-0WA)算子，该算子兼顾决策者风险态度，提供了一种不确定信息融合的有效方法。随后，连续区间数据有序加权几何(C-0WG)算子1如、拓展的C-0WA算子皿〕与连续区间数据有序加权调和C-0WH算子血被相继提出并加以应用。进一步，针对不同模糊环境下的决策问题，文献［23］至文献［25］将C-0WA和C-0WG算子拓展至不确定语言、三参数区间数、梯形模糊数等模糊环境中，并给
收稿日期：2019-02-26
基金项目：河南省高等学校重点科研项目(18A110032)；郑州航空工业管理学院青年科研基金(2017113003)
作者简介：常娟(1979—)，女，河南温县人，讲师，主要研究方向为模糊数学「
•76・河南工程学院学报(自然科学版)2019年
ill了具体的决策方法。针对止态模糊信息的决策问题，文献［26］提山了NFC-OWA(止态模糊C-OW)算子，给山了一种兼顾决策者风险态度的止态模糊数有效集结方法。在此基础上，首先研究偏好信息为止态模糊数的互补判断矩阵，并给山一种基丁NFC-OWA算子的止态模糊数互补判断矩阵排序方法，然后对其排序结果进行风险态度参数的敏感性分析，最后针对一个贸易公司决策问题进行实例分析，证实了此方法是可行且有效的。
1相关概念
文献［17］对止态模糊数做了如下定义：
定义1设模糊数A e FCR)，若其隶属函数为A(x),b>0，称4为止态模糊数，记d=(a,b)。
显然，当旷=0时，正态模糊数4=(.a,a)就退化为实数a。所有正态模糊数构成的集合用NFNs表示。
文献［18］对正态模糊数的运算做了如下定义：
定义2设/I=(a,a),B=(b,t)e NF N s，规定：①=(ta,to)；②A+B=(a+b,a+r)»定义3［27］设模糊数d e F(R)，分别称E(A)和D(.A)为的期望值和方差：
r+8r+8
I xA(x)dx I A(x)(x-E C4))2dx
E G4)=-------------,D G4)=----------------------------------，其中(A(x)dx H0。
J A(x)dx J A(x)dx8
由定义3可知，若止态模糊数A=(a,<r)，则EC4)=a,DC4)=；<?。由丁止态分布的普遍性，用止态模糊数刻画模糊信息更符合现实规律。例如，经过10次观测得到某一实验数据的观测值分别为0.75、0.70、0.68、0.57、0.63、0.72、0.73、0.65、0.67、0.59，经计算其样本均值和标准差分别为0.669和0.0595，即a= 0.669，三=0.0595，则可用正态模糊数(0.669,0.0841)表示该数据的观测值。
定义4凶设模糊数4e FCR)，对任意的a e［0,1］，称集合九=(x I A(x)三a｝为4的a-截集, a被称为A的截集水平或阈值。
显然，设d=(a,cr)e NF N s,JKlJ A a=\_a-a、/-In a,a+a\/-In a］»
考虑模糊数的大小比较问题，通常的做法是将模糊数集结为一个实数，通过比较实数的大小来比较模糊数。为此，文献［19］提出了C-OWA算子，用于集结连续性数据信息。
定义5区间数为记
-y(6-a))dy,(1)则称为连续区间数据OWA算子，简称C-OWA算子。其中，BUM函数Q：［0,1］^［0,1］，具备以下性质: (l)Q(O)=0；(2)Q(l)=1；(3)若x y，则0&)$(?(刃。
*
设入二Q(y)dy,0W入W1，则有/。(［a,H)二(1-A)a+入
J o'
在此基础上，文献［26］提出了如下正态模糊数的集结算子：
定义6设正态模糊数£=(a,tr),a丘［0,1］，记
g Q C4)-［f()(九)血二a+(2A-1)cr,(2)
J o2
称为正态模糊数C-OWA算子，简称NFC-OWA算子。
NFC-OWA算子反映了一定态度参数下正态模糊数的期望值。入值越大，决策者越追求风险，则坯C4)
第3期常娟，等：正态模糊数互补判断矩阵及其排序方法•77•
值越大；入值越小，决策者越规避风险，则g Q(A)值越小。特别地，当决策者中立即当入=0.5时，纽3)=ao 可以验证,NFC-0WA算子满足以下运算性质与关于BUM函数的单调性：
定理1设A,B e NFNs,t>0，W：+B)=g Q(A)+g Q(B)；(2')g Q(M)=C4)。
定理2设4e NFN s,Q^Q2均为BUM函数，且有。(Q三Q2(x),V%◎[0,1]，则有⑷M⑷。2正态模糊数互补判断矩阵及其排序方法
在互补判断矩阵中，偏好值描述了方案两两比较时的偏好程度。当决策专家或调查对象较多时，借助数理统计的方法，将偏好值以止态模糊数的形式表示，这一做法能更全面、准确地刻画偏好信息。由此，提山止态模糊数互补判断矩阵。
7定义7设矩阵P二(◎)“，其中心二(P©p»e NF N s，满足珂M0,0W by W^=min｛珂，1-珂｝,
VTT
且Pij+Pji=\，o\j=€Fji，P u=(0.5,0)，吋二1,2,…小，则称矩阵P为正态模糊数互补判断矩阵。
显然，当6，二二1,2,…山时，止态模糊数互补判断矩阵P退化为模糊互补判断矩阵。
定义8设正态模糊数互补判断矩阵P=(耳)“，瓦中耳=(珂,“J NFNs，记矩阵E x P q(P)=爲)”X”，其中均=g<.>(P,y)=均 +于(2入-1)巾，P=1-g Q(P,；/)=1-p,j-(2A-1)巾，i W j，则称矩阵Ex P(｝(P)为P的期望值矩阵。
可以验证,Ex/®(P)为模糊互补判断矩阵。
利用NFC-0WA算子，将止态模糊数互补判断矩阵P转化为期望值矩阵Ex Pv(P)，利用文献[5]中的模糊互补判断矩阵排序方法，可得止态模糊数互补判断矩阵的排序公式。
命题1设止态模糊数互补判断矩阵P=CP”),””，其中匕=爲，5)e NFNs,i,j=1,2,…”则""=n(n/_i)[丫+¥(2入-l)m)+Y(1-p#-丰。入-+n-y-^\'(3)
k>i厶k<i厶厶
可作为止态模糊数互补判断矩阵P的排序向量。
证明由定义8可得P=(P,p…x…的期望值矩阵Exp Q(P)=(p,：/)”x”，其中p=p”+(2入-1)巾, P J；=1-Pg-T(2入-l)5，i W八利用文献[5]中定理2的排序公式可得P=(p..)…x…的排序公式为
n(n/_i)[丫(加+入-1)6»)+Y(1-p“-牛(2入-l)a ki)+=12…，”。
k>I/k<i,//
下面给山止态模糊数互补判断矩阵的一种排序方法，具体步骤如下：
步骤1对丁某一决策问题，设方案集X=｛心,“2,•••，"”｝，决策者在某准则下对各方案进行两两比较，用止态模糊数©=(巧,，丐,)表示方案如比亏重耍的程度，从而构造止态模糊数互补判断矩阵卩=(P/”””。
步骤2根据决策者偏好，选择合适的BUM函数Q，利用NFC-0WA算子将矩阵P转换成期望值矩阵E x P q(P)=(p y)…x…o
步骤3由式(3)，计算排序向量w=(吗，叫，…，叫)，从而得到各方案的排序结果。
3正态模糊数互补判断矩阵排序方法敏感性分析
当决策者的风险态度参数出现扰动时，要想知道排序结果是否发生变化，就需要对以上排序方法进行
• 78 •河南工程学院学报（自然科学版）2019 年敏感性分析，以了解参数的变化对决策结果的影响。具体敏感性分析如下：
命题2 设止态模糊数互补判断矩阵P = （P,p…x …，其中匕=（九，巾）e NF N s，矩阵Ex P （） （P ）= nxn 为P 的期望值矩阵。设函数Q 为BUM 函数，入=I Q （x ） dx 为决策者态度参数，△人为人的扰动增量,
Jo
令 w ' = nJ- 1） [ X 5” + 叮（2 人-l ）b ”）+ 工（1 - P m -吓（2人-1）5）+ = l, J'
= n （n _ i ） [ X 九 + （2 （A + △入）- 1） 5） + 工（1 - p kl - （2 （A + AA ） - Do- k l ） + "J]'I = h j ，
>0 时，-入 W AA W 5mm{1 -
若w-三叫•，则w\：三当且仅当=
1 一入，工（P 认+扌（2入- 1）6）k > i, 也ik 0 时»max { - 入，—}+ 工（1 一加 - ^^（2入 一 1）6）一 工（卩曲 + ^^（2入-1）（r #.）- k<i 乙 k >j z W AA W 1 — 入，
其中5<0 时，-入 W AA W X <1 ~Pkj -才（2入-l ）o-t p -,t 0 =斥（丫 % -工 a kj - X 5 + 工 5）。 k <j / k >j k <j k > i k < i
k>j k<j 证明 由 = n a _ 1）[ X 九 + 叮（2 （入 + AA ）- 1）%）+ 工（1 - 加-亍（2（入 + AA ）- 1）
k >1 也 k <1 也
5）+ -2-] = n （n - 1） [ X 5仏 + ^^（2入 一 1）5）+ a A t AA 工 5 + X （1 - 加- ^^（2入 - l ）g ）-
k >1 / k>I k <1 /
a /tt AA 丫 a k i + "
1 ‘ 则若加；：M 加[：，有k<t 丄」
n （n - 1） [ X 叽 + ^^（2入-l ）a jk ） + ‘/t ?△入工 a jk + 工（1 -卩佃- ^^（2入-l ）tr A;）-
k > i, / k > i. k < i, /AA Z s + TL ^] m n U- 1） [ X 5” + 牛（2入-1） o>） + 石△入工 % + X （1 ~Pkj -
k <'- 厶 k>j Z k >j k<j （2 入 一 1）（7■丽）—a /t T △入 Y （T + 专]，得2 （P 瓜 +^^（2入-l ）m ）+ （1 -p kl - - （2A - l ）m ）一L £ <_/ / k 〉i
A <;X （p» + 牛（2人-1） %）-工（1 - p kj -牛（2入-1） O ■时）M 斥（工 a jk - X - X 5* + X 6）AA , k >j / k < / / k > / k < j k > i. k < i.即 s 0 M t 0AA o
由w t M 竹，则s 0 M 0。又由0W 人W1,OW 人+ /UW 1，有-入W △入W 1 -入，则当f 0 > 0时•，有-A W AA ^min {—, 1 - A ）；当 =0 时，有-入 W △人 Wl-人；当厲 < 0 时，有 max{- A ,—} W △入 W 1 - A »
® t 0以上结论给山了保证方案间排序结果一致时态度参数人的扰动范围，进而可得到参数入在不同取值区 间内所有方案的排序结果。
4 决策应用
实例 某商贸公司为适应市场发展，考虑转变业务方向，有4个备选方案：组建加工厂、打造网络爆品 店铺、商品电商化包装、拓展海外业务。现邀请8位专家，从公司发展前景方面对以上方案进行评价，以
选择
第3期常娟，等：正态模糊数互补判断矩阵及其排序方法•79•
最优的业务发展方向。
步骤1给山止态模糊数互补判断矩阵
假设每位专家采用0.1~0.9五标度对以上方案进行两两比较，例如8位专家在比较心相对丁x2的偏好度时分别给山以下数值：0.7、0.6、0.5、0.6、0.5、0.4、0.5、0.5，计算其均值为0.5375，标准差为0.0996，则由定义3可知勺相对丁“2的偏好度可用止态模糊数(0.5375,0.1408)表示。相反,8位专家给山x2相对Tx l的偏好度分别为0.3、0.4、0.5、0.6、0.3、0.7、0.5、0.4，则整体结果可用止态模糊数(0.4625,0.1408)表示。同理，对其他方案进行两两比较，可得如下止态模糊数互补判断矩阵:
/(0.5,0)
(0.4625,0.1408)正则化一个5 5随机矩阵
(0.4375,0.1236) I(0.625,0.1106)(0.5375,0.1408)
(0.5,0)
(0.475,0.0832)
(0.35,0.1375)
(0.5625,0.1236)
(0.5250,0.0832)
(0.5,0)
0.5875,0.0985)
(0.375,0.1106)\
(0.65,0.1375)
(0.4125,0.0985)
(0.5,0)丿
/0.5 0.50410.4959
0.5
0.526
0.5004
0.3423、
0.6094
Exp0(P)=
0.4740.49960.50.3834
(0.65770.39060.61660.5丿
步骤2取Q(y)=犷，则决策者态度参数入=；，由定义8计算P的期望值矩阵Ex Pv(P)o
步骤3根据式(3)计算权重w=(0.2387,0.2595,0.2381,0.2637)，则方案的排序为心>>®>心，即最优方案为
另外，考虑参数A的取值对排序结果的影响，利用命题2对排序结果进行敏感性分析，则有
x4>久2，当且仅当-0・3333W△人W0.1196；x2>心，当且仅当-0.3333W△入W0.4773；
%!>心，当且仅当-0・0084W△人W0.6667；x4>心，当且仅当-0-3333W0.6667；
W AA
%4>，当且仅当-0.3333W△入x2>心，当且仅当-0・3333W△人W0.6667；W0.235lo
进而得到X对排序结果的影响，如表1所示。
从以上计算可以看出，通过NFC-OWA算子计算正态模糊数互补判断矩阵的期望值矩阵，将模糊信息转化为精确值信息，从而得到正态模糊数互补判断矩阵排序向量的方法是可行的。通过对决策结果进行敏感性分析，从表1的结果可知：当人W0.4529时，最优方案均为卩；当0-4529<；人W0.8106时，最优方案均为；当8106< A W1时，最优方案为®。由此可见，风险态度参数确实对决策结果起到了影响，上述决策方法是有效的。对正态模糊数互补判断矩阵的研究，拓展
表1参数入对排序结果的影响
Tab.1Tlie influence of parameters A on soiling results 入的取值排序结果
OS W0.3249
0.3149<；入W0.4529
0.4529<；入w0.5684
0.5684<A0-8106
0.8106<；入W1
%4>%2>%3>尤]
%4>x2>>兀3
x2>x4>叼>兀3
尤2>筍>尤4>咒§
>尤2>尤4>咒§
了模糊数互补判断矩阵的类型。在具体决策问题中，将数理统计的结果转化成正态模糊数，能更合理地描述决策信息，故木方法在决策应用中是有意义的。
参考文献:
[1]ORLOVSKY S A.Decision making with a fuzzy preference relation[J J.Fuzzy Sets and Systems,1978(1):155-167.
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