机器学习中的范数规则化之（一）L0L1与L2范数
在机器学习中，范数（norm）是一种度量向量大小的方法。范数规则化（norm regularization）是一种在损失函数中添加范数项来限制模型复杂度的技术。范数规则化可以帮助防止过拟合，提高模型的泛化能力。
常见的范数规则化包括L0、L1和L2范数。本文将分别介绍这三种范数及其在机器学习中的应用。
一、L0范数
L0范数是指向量中非零元素的个数。在数学上，L0范数是向量中各个元素非零的个数。而在机器学习中，对于模型的权重向量w，L0范数表示非零权重的个数，即参数的稀疏性。
L0范数利用稀疏性来压缩模型，减少模型的复杂度。在一些情况下，稀疏模型能够提高模型的泛化能力并增加模型的可解释性。然而，由于计算复杂度高，L0范数在实际应用中较少使用。
二、L1范数
l1正则化的作用
L1范数是指向量中各个元素的绝对值之和。对于模型的权重向量w，L1范数表示w中各个元素的绝对值之和。
L1范数的一个主要特点是它的解是稀疏的。L1范数惩罚项倾向于将一些参数的权重压缩至零，使得模型的权重趋向于稀疏。因此，L1范数可用于特征选择，即通过选择一些特征的权重为零来降低模型的复杂度。
在机器学习中，L1范数经常与特征选择、稀疏编码等方法结合使用。例如，在线性回归中，使用L1范数作为约束可以推导出Lasso回归模型，其中一些参数被压缩为零。
三、L2范数
L2范数是指向量中各个元素的平方和的平方根。对于模型的权重向量w，L2范数表示w中各个元素的平方和的平方根。
L2范数的一个主要特点是它的解是连续且平滑的，它会使得模型的权重分布均匀。L2范数惩罚项在机器学习中应用较为广泛，尤其是在神经网络中常用于控制模型复杂度。
L2范数可以使得模型的参数较小且扩散到多个特征上，防止模型过拟合。在神经网络中，L2范数用作权重衰减（weight decay）的一种形式，有助于防止模型过拟合，并且能够提高模型的泛化能力。
综上所述，L0范数、L1范数和L2范数是范数规则化中常用的三种方法。它们分别通过稀疏性和平滑性来达到限制模型复杂度的目的。在实际应用中，根据具体问题和模型的特点选择适合的范数规则化方法，可以提高模型的性能和泛化能力。

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