线性代数基本性质、定理、公式，解法，计算
()
,n
T
A r A n
A A Ax
x
Ax
A
Ax
A A A E 可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为
只有零解，0
总有唯一解
是正定矩阵R 12
,s
i A
p p p p n B AB
E AB
E
是初等阵
存在阶矩阵使得或○
注：全体n 维实向量构成的集合
n
R 叫做n 维向量空间.
()
A r A n
A
A A Ax
A 不可逆0
的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解，其基础解系即为关于0的特征向量
○
注()()a
b
r aE
bA n
aE bA aE bA x
有非零解
=-
具有
向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性
矩阵相似()矩阵合同(
)
√关于
12,,
,
n e e e ：
①称为n
的标准基，
n
中的自然基，单位坐标向量；
②12,,,n e e e 线性无关；
③
12,,
,1n e e e ；
④tr =E n ；⑤任意一个
n 维向量都可以用12,,,n e e e 线性表示.
行列式的定义
121212
11
12121222()
121
2
()
n n
n
n n
j j j n
j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a 1√行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
线性代数 正则化
.
②若A B 与都是方阵（不必同阶）
，则
==
()
mn
A
O A A O A B
O B O B B
O A A A B
B
O
B
O
1（拉普拉斯展开式）
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：
(1)2
1121
21
1211
1
()n n n
n
n
n
n n n n n a O
a a a a a a a O
a O
1（即：所有取自不同行不
同列的
n 个元素的乘积的代数和）
⑤范德蒙德行列式：
1
22221
2
111112n i j
n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x
x
x
111矩阵的定义
由
m n 个数排成的m 行n 列的表11
121212221
2
n n m m mn
a a a a a a A
a a a 称为
m n 矩阵.记作：ij
m n
A
a 或
m
n
A 伴随矩阵
11
21112222*
12n T
n ij
n
n
nn
A A A A A A A
A A A A ，
ij A 为A 中各个元素的代数余子式
.
√逆矩阵的求法:
①
1
A A
A
○
注：1
a b d b c
d
c
a
ad
bc
1主换位副
变号
②1
()
()
A E E A 初等行变换
③
1
2
3
1
11
12
13
a a a a a a 3
2
1
1
11
12
13
a a a a a a √方阵的幂的性质：m n
m n
A A
A
()
()
m n
mn
A A √设
,,m n n s A B A 的列向量为
1
2
,,
,
n
,B 的列向量为
1
2
,
,,
s
，
则
m
s
AB
C 11
12121
2221
2
121
2
,
,,
,,,s s n
s
n n ns
b b b b b b
c c c b b b i
i
A
c ，(,,)
i s 1,2i
为
i Ax
c 的解
1
2
12
12,
,,
,,,,,,s
s
s A
A A
A
c c c 12,,,s c c c 可由
1
2
,
,,
n
线性表
示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由
B 的行向量线性表示，T
A 为系数矩阵. 即：
11
12111212222
21
2
n n n n mn
n m
a a a c a a a c a a a c 111122*********
22
21
12
22
n n m m mn
m
a a a c a a a c a a a c √用对角矩阵
○
左乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵
○
右乘一个矩阵，相当于用
的对角线上的各元素依次乘此矩阵的
○
列向量. √两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘
.
√分块矩阵的转置矩阵：
T
T T T
T
A B A C C D
B
D
分块矩阵的逆矩阵：
1
1
1
A
A
B B
1
1
1
A
B B
A
1
1
1
1
A C A A C
B O
B
O
B
1
1
1
1
A O A
O C
B
B CA
B
分块对角阵相乘：
11
11
22
22
,A B A
B
A B 1111
2222
A B AB
A B ,
11
22
n
n
n A
A
A
分块对角阵的伴随矩阵：
*
*
*
A
BA
B
AB *
(1)
(1)
mn
mn
A
A B
B
B A
√矩阵方程的解法(
0A )：设法化成AX
B
XA
B
(I)或    (II)
A B E X 初等行变换
(I)的解法：构造()()
T
T
T
T
A X
B X X
(II)的解法：将等式两边转置化为，
用(I)的方法求出，再转置得√初等矩阵的性质：
(,)E i j 1[()]E i k k [,()]E i j k 1(,)(,)T
E i j E i j [()][()]T
E i k E i k [,()][,()]
T
E i j k E j i k 1(,)(,)E i j E i j 1
1
[()][()]k
E i k E i 1
[,()][,()]E i j k E i j k *(,)
(,)
E i j E i j *1[()]
[()]
k E i k kE i *[,()]
[,()]
E i j k E i j k ①矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩
，且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.
即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵○左乘A ；对A 施行一次初等
○
列变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵
○
右乘A . ②零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交
.
③单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
④部分相关，整体必相关；整体无关
，部分必无关.  （向量个数变动）⑤原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.
（向量维数变动）
⑥两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关
114p 教材. ⑦向量组1
2
,,,n
中任一向量i
(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合
.
⑧向量组
12,
,
,
n
线性相关
向量组中至少有一个向量可由其余
n 1个向量线性表示.
向量组1
2
,
,,
n 线性无关
向量组中每一个向量
i
都不能由其余n 1个向量线性表示.
⑨
m 维列向量组1
2
,
,,
n 线性相关
()r A n ；m 维列向量组
1
2
,
,,
n
线性无关
()
r A n .
⑩若1
2
,
,
,
n 线性无关，而
1
2
,
,,
,n
线性相关，则可由
1
2
,
,
,
n
线性表示，且表示法唯一.
?
矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数
.
行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为
0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后
面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为
1，且这些非零元所在列的其他元素都是
0时，称为行最简形矩阵
矩阵的秩如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()
r A r
向量组的秩向量组
1
2
,
,,
n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩
.记作
1
2
(
,
,,)
n
r 矩阵等价A 经过有限次初等变换化为
B .  记作：A
B
向量组等价1
2
,
,,
n
和
1
2
,
,,
n
可以相互线性表示
.  记作：
1
2
1
2
,
,,
,
,,
n n
?
矩阵A 与B 等价PAQ
B ，,P Q 可逆
()(),,,r A r B A B A B 为同型矩阵作为向量组等价，即：秩相
等的向量组不一定等价
.
矩阵A 与B 作为向量组等价1
2
1
2
(
,
,,
)(
,
,
,
)n
n
r r 1
2
1
2
(
,
,
,
,
,,
)
n
n
r 矩阵A 与B 等价. ?
向量组
1
2
,
,,
s 可由向量组
1
2
,
,,
n
线性表示
AX B 有解
1
2
(
,
,
,
)=n
r 1
2
1
2
(
,
,
,
,
,
,
)
n
s
r 12
(,
,,
)s
r ≤12
(,
,,
)
n
r .
?
向量组1
2
,,,s 可由向量组
1
2
,,,
n
线性表示，且s n ，则
1
2
,
,,
s
线性相关.
向量组12
,,,s 线性无关
，且可由
1
2
,
,
,
n
线性表示，则
s ≤n .
?向量组
12
,
,,
s 可由向量组
1
2
,
,,n
线性表示，且1
2
(
,,,
)s
r 1
2
(
,
,,
)n
r ，则两向量组等价；
?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价
. ?
向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定
.

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