矩阵与向量相乘的范数
矩阵与向量相乘的范数是线性代数中的重要概念。在矩阵与向量的乘法中，范数指的是向量的大小或量级。范数的概念被广泛应用于机器学习、优化等领域。
一、向量的范数
在介绍矩阵与向量相乘的范数之前，我们需要先了解向量的范数。
向量的范数表示向量的大小或长度，常用的向量范数有L1范数、L2范数和L∞范数。
1. L1范数：L1范数是向量中各个元素的绝对值之和。表示为：||x||1= ∑|xi|。
2. L2范数：L2范数是向量中各个元素的平方和的平方根。表示为：||x||2=√(∑xi^2)。
3. L∞范数：L∞范数是向量中绝对值最大的元素。表示为：||x||∞=max|xi|。
以上三种范数是最常用的向量范数，它们的应用场景不同。
二、矩阵与向量相乘的范数
矩阵与向量相乘的范数同样有L1范数、L2范数和L∞范数等几种常用的范数。下面我们来详细了解一下这些范数。
1. L1范数
对于一个矩阵A与一个向量x相乘，其L1范数表示为||Ax||1=∑|Ai·x|，其中|·|表示求绝对值。
L1范数的应用很广泛，比如用于稀疏矩阵的正则化、Lasso回归等。
2. L2范数
线性代数 正则化对于一个矩阵A与一个向量x相乘，其L2范数表示为||Ax||2=√(∑(Ai·x)^2)，其中|·|表示求绝对值。
可以看到，L2范数是矩阵与向量之间内积的平方根。L2范数常常被用在最小二乘问题中。
3. L∞范数
对于一个矩阵A与一个向量x相乘，其L∞范数表示为||Ax||∞= max|Ai·x|。
L∞范数表示的是矩阵与向量之间内积的最大值，也称为Chebyshev范数或无穷范数。在矩阵论中，L∞范数通常用于矩阵的幂级数。
三、总结
本文主要介绍了矩阵与向量相乘的范数，分别介绍了L1范数、L2范数和L∞范数。这些范数广泛应用于机器学习、优化等领域。了解这些范数的应用场景，有助于我们更好地理解矩阵与向量相乘的结果。

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