线性代数公式大全——最新修订
1、行列式
1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为
3. 代数余子式和余子式的关系:
4. 行列式
上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则
顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则
主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则
主副角线翻转后,所得行列式为,则
5. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积
③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;
④、:副对角元素的乘积
⑤、拉普拉斯展开式:
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6. 对于阶行列式,恒有:,其中阶主子式;
7. 证明的方法:
①、
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
8. 阶可逆矩阵:
(是非奇异矩阵);
(是满秩矩阵)
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组有非零解;
总有唯一解;
等价;
可表示成若干个初等矩阵的乘积;
的特征值全不为0
是正定矩阵;
的行(列)向量组是的一组基;
中某两组基的过渡矩阵;
9. 对于阶矩阵 无条件恒成立;
10.
11. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
12. 关于分块矩阵的重要结论,其中均可逆:
,则:
Ⅰ、
Ⅱ、
②、;(主对角分块)
③、;(副对角分块)
④、;(拉普拉斯)
⑤、;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
13. 一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:
等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵,若
14. 行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0
15. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
1、 ,则可逆,且
②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:
③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且
16. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、,左乘矩阵的各行元素;右乘,的各列元素;
③、对调两行或两列,符号,且,例如:
④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:
⑤、倍加某行或某列,符号,,如:
17. 矩阵秩的基本性质:
①、
②、
③、若,则
④、若可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、;(※)
⑥、;(※)
⑦、;(※)
⑧、如果矩阵,矩阵,且,则:(※)
    Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);
    Ⅱ、
⑨、若均为阶方阵,则
18. 三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如的矩阵:利用二项展开式;
    二项展开式:
    注:Ⅰ、展开后有项;
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质:
③、利用特征值和相似对角化:
19. 伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩:
②、伴随矩阵的特征值:
③、
20. 关于矩阵秩的描述:
①、中有阶子式不为0阶子式全部为0;(两句话)
②、中有阶子式全部为0
③、中有阶子式不为0
21. 线性方程组:,其中矩阵,则:
①、与方程的个数相同,即方程组个方程;
②、与方程组得未知数个数相同,方程组元方程;
22. 线性方程组的求解:
①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
23. 个未知数个方程的方程组构成元线性方程:
①、
②、(向量方程,矩阵,个方程,个未知数)
③、(全部按列分块,其中);
④、(线性表出)
⑤、有解的充要条件:为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
24. 维列向量所组成的向量组构成矩阵
维行向量所组成的向量组构成矩阵
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
25. ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出            是否有解;(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示    是否有解;(矩阵方程)
26. 矩阵行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组同解;(14)
27. (15)
28. 维向量线性相关的几何意义:
①、线性相关       
②、线性相关    坐标成比例或共线(平行);
③、线性相关    共面;
29. 线性相关与无关的两套定理:
线性相关,则必线性相关;
线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组
线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组的维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
30. 向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则(二版定理7)
向量组能由向量组线性表示,则;(定理3
向量组能由向量组线性表示
有解;
        定理2
    向量组能由向量组等价定理2推论)
31. 方阵可逆存在有限个初等矩阵,使
①、矩阵行等价:(左乘,可逆)同解
②、矩阵列等价:(右乘,可逆);
③、矩阵等价:可逆);
32. 对于矩阵
①、若行等价,则的行秩相等;
②、若行等价,则同解,且的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵的行秩等于列秩;
33. ,则:
①、的列向量组能由的列向量组线性表示,为系数矩阵;
②、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵;(转置)
34. 齐次方程组的解一定是的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、    只有零解只有零解;
②、    有非零解一定存在非零解;线性代数 正则化
35. 设向量组可由向量组线性表示为:(19结论)
    其中,且线性无关,则组线性无关;(的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:;充分性:反证法)
    注:当时,为方阵,可当作定理使用;
36. ①、对矩阵,存在    的列向量线性无关;(
②、对矩阵,存在    的行向量线性无关;
37. 线性相关
存在一组不全为0的数,使得成立;(定义)
有非零解,即有非零解;
,系数矩阵的秩小于未知数的个数;

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