中国科学院研究生院
课程编号：712008Z      试 题 专 用 纸          课程名称：机器学习
任课教师：卿来云
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姓名
学号                  成绩
1. 判断题（20分，每小题2分）
（1）给定n 个数据点，如果其中一半用于训练，另一半用于测试，则训练误差和测试误差之间的差别会随着n 的增加而减小。  （T ）
（2）当训练数据较少时更容易发生过拟合。
（T ） （3）回归函数A 和B ，如果A 比B 更简单，则A 几乎一定会比B 在测试集上表现更好。（F ） （4）在核回归中，最影响回归的过拟合性和欠拟合之间平衡的参数为核函数的宽度。（T ） （5）在A
daBoost 算法中，所有被错分的样本的权重更新比例相同。（T ） （6）Boosting 的一个优点是不会过拟合。（F ）
（7）梯度下降有时会陷于局部极小值，但EM 算法不会。（F ） （8）SVM 对噪声（如来自其他分布的噪声样本）鲁棒。（F ）
（9）Boosting 和Bagging 都是组合多个分类器投票的方法，二者都是根据单个分类器的正确率决定其权重。（F ） （10）在回归分析中，最佳子集选择可以做特征选择，当特征数目较多时计算量大；岭回归和Lasso 模型计算量小，且Lasso 也可以实现特征选择。（T ）
2、logistic 回归模型。（20分，每小题10分）
我们对如图1(a)所示的数据采用简化的线性logistic 回归模型进行两类分类，即
()()()
12112211221
1|,,1exp Y w w g w x w x w x w x ==+=
+−−x P 。
（为了简化，我们不采用偏差0w 。
） 训练数据可以被完全分开（训练误差为0，如图1(b)所示的L 1）。
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图1(a) 2维训练数据。
图1(b) 数据点可以被L 1（实线）。L 2、L 3和L 4是另外几个可能的决策
（1） 考虑一个正则化的方法，即最大化
()2
1221
log |,,2
N
i i i C y w w w =−
∑x P 。 注意只有2w 被惩罚。则当C 很大时，如图1(b)所示的4个决策边界中，哪条线可能是有该正则方法得到的？L 2、L 3和L 4 可以通过正则2w 得到吗？
答：L2不可以。当正则w2时，决策边界对x2的依赖越少，因此决策边界变得更垂直。而图中的L2看起来不正则的结果更水平，因此不可能为惩罚w2得到；
L3可以。w2^2相对w1^2更小（表现为斜率更大），虽然该决策对训练数据的log 概率变小（有被错分的样本）； L4不可以。当C 足够大时，我们会得到完成垂直的决策边界（线 x 1 = 0 或x 2轴）
。
L4跑到了x 2轴的另一边使得其结果比其对边的结果更差。当中等程度的正则时，我们会得到最佳结果（w2较小）。图中的L4不是最佳结果
因此不可能为惩罚w2得到；
（2） 如果我们将正则项给出L1范式，即最大化
()()12121
log |,,2
N
i i i C
y w w w w =−
+∑x P 。 则随着C 增大，下面哪种情形可能出现（单选）？  (a) 1w 将变成0，然后2w 也将变成0。(T)  (b) 1w 和2w 将同时变成0。
(c) 2w 将变成0，然后1w 也将变成0。
正则化的回归分析可以避免
(d) 两个权重都不会变成0，只是随着C 的增大而减小0。
该数据可以被完全正确分类（训练误差为0），且仅看x 2的值（w 1 = 0）就可以得到。虽然最佳分类器w 1可能非0，但
随着正则量增大w1会很快接近0。L1正则会使得w 1完全为0。随着C 的增大，最终w 2 会变成0。
3、产生式模型和判别式模型。（16分，每小题8分）
考虑两个分类器：1) 核函数取二次多项式的SVM 分类器 和 2)没有约束的高斯混合模型（每个类别为一个高斯模型）。我们对2
R 空间上的点进行两类分类。假设数据完全可分，SVM 分类器中不加松弛惩罚项，并且假设
有足够多的训练数据来训练高斯模型的协方差。
（1） 这两个分类器的VC 维相同。（判断正误，并给出简短理由）（T ） 因此两个分类器的决策边界都为二次函数，复杂度相同。
（2） 假设我们估计两个分类器的结构风险值，该值为预测误差的上界。则这连个分类器中哪个的结构风险值
更小一些？给出简短理由。
SVM 可能会得到更好的结果。虽然两个分类器的复杂度相同，但SVM 对训练误差做优化从而得到更低（或相同）的
值。
4、SVM 。（16分，每小题8分）
我们采用两个SVM 分类器对2
R 空间上的点进行两类分类，这两个分类器的不同在于核函数不同。其中分类器
1采用的核函数为()1,T
K ′′=x x x x ，分类器2采用的核函数为()()()2,K p p ′′=x x x x ，其中()p x 为根据其
他方法估计得到的概率密度函数。
（1） 采用核函数2K 的分类器2的VC 维是多少？
特征空间为1维（将任意点x 映射成非负数p(x)），因此VC 维是2。.
（2） 如果两个分类器都嫩对N 个训练数据得到0训练误差，则哪个分类器会有较好的推广性能？给出简短
理由。
分类器1的VC 维为3，而分类器2的VC 维为2，因此分类器1更复杂。当训练误差相同时，分类器2得到的预测误差的界更小，从而其推广性更好。
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5、Boosting 。（28分，每小题7分）
考虑如下图2所示的训练样本，其中’X’和’O’分别表示正样本和负样本。我们采用AdaBoost 算法对上述样本进行分类。在Boosting 的每次迭代中，我们选择加权错误率最小的弱分类器。假设采用的弱分类器为平行两个坐标 轴的线性分类器。
图2：训练样本
（1） 在图2中标出第一次迭代选择的弱分类器（L 1）
，并给出决策面的‘+’和‘-’面。 （2） 在图2中用圆圈标出在第一次迭代后权重最大的样本，其权重是多少？ （3） 第一次迭代后权重最大的样本在经过第二次迭代后权重变为多少？
（4） 强分类器为弱分类器的加权组合。则在这些点中，存在被经过第二次迭代后的强分类器错分的样本吗？
给出简短理由。
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