结合稀疏逼近的正则化方法求解非齐次双调和方程的Cauchy问题
作者：刘晓宇
来源：《中国校外教育·高教（下旬）》2013年第09期
        在利用边界结点法（BKM）通过径向基函数和Laplace算子、重调和算子的基本解的线性组合来表示问题的解时，需利用已知的一部分边界上的边界条件来推导该线性组合中的待定系数，该过程涉及求解超定线性方程组，由于边界条件给得不充分，Cauchy问题的解不唯一，故需要用正则化方法来得到逼近解析解的结果，我们选择使用稀疏逼近正则化方法（又称lp约束正则化方法），该方法能很好地解决Cauchy问题的不适定性，能很好地反演出跳跃较大的参数部分。本文针对若干具有光滑边界或分段光滑边界的数值算例，验证了该方法的有效性，而且所得的数值计算结果关于噪声是准确的并随已知数据噪声的减小而收敛。
        稀疏逼近正则化Cauchy问题一、引言
        二维双调和方程在很多实际问题中需要用到。但是实际的工程应用中，已知的边界条件可能不完整或者不准确，这样的问题就是反问题，一般来说反问题是不适定的。本文研究的Cauchy问题就是一种反问题，因而在求解过程中，用基本解方法得到的最小二乘问题的解是
不唯一的，需要通过使用正则化方法提高原问题数值求解的准确度。
        用基本解方法求解齐次双调和方程会导致离散的Cauchy问题的线性方程不是满秩的或是超定的，其解的适定性存在问题，故本文将使用稀疏逼近的正则化方法来求解离散方程组，以避免直接求解非齐次方程时会出现的不确定性。
        传统的Tikhonov正则化方法是将线性反问题
        并选择二次罚项，以使得近似解具有光滑性。本文选择的稀疏逼近正则化方法，即Φ（x）=x1，同时借助稀疏逼近的优势，在减少结点数目的同时，仍得到较好的结果。
        若该问题有解，则在求解过程中会出现病态的线性方程组，方程组不满秩或者是超定的且条件数很大。本文使用结合稀疏逼近的正则化方法的边界结点法求解满足边界条件（5）的双调和方程（3）或（4）。
        五、总结
        本文使用稀疏逼近正则化方法结合边界结点法求解非齐次双调和方程的Cauchy问题，
从数值试验的结果可以看出，这是可行的。并且从以上算例中可以看出，在对源点数、结点数和内点数的关系，以及源点到边界的距离作[3]中的要求的情况下，计算结果与[3]类似，但是精度更高。结果是较准确的，且在该范围内，误差非常小，即使所取点数较多，计算时间仍然较少。当边界条件有较小噪声时，计算结果仍然是稳定的，且随噪声的减小而收敛。
        参考文献：
        [1]Stephen J. Wright， Robert D，Sparse Reconstruction by Separable Approximation，IEEE Transactions on Signal Processing，2009.2479.
        [2]祝家麟.边界元分析.科学出版社，2009.
        [3]第一范式正则化不能产生稀疏解刘晓宇，王小军，杜亚楠.用边界结点法（BKM）求解非齐次双调和方程的Cauchy问题，2009，（11）：154-166.
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        [5]Xiaolin Li and Jialin Zhu， The method of fundamental solutions for nonlinear elliptic problems， Engineering Analysis with Boundary Elements， 2008，（10）：1016.
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