三维稳定渗流的基本解法计算
王福章;郑炳寅;郑克学;钱亮
【摘 要】边界配点型无网格法编程简单，在数值模拟过程中仅需边界配点信息且对待求问题的模拟精度较高。本文利用地下水稳定渗流问题的数学模型，以一种边界配点型无网格法———基本解法对均质承压含水层的三维稳定渗流进行了探讨。与解析解结果进行了对比研究，数值模拟结果表明基本解法数值模拟三维稳定渗流问题具有令人满意的结果。%The boundary-type meshfree methods are easy to program. These methods always lead to high solution accuracy. In this paper,we use one of the boundary-type meshfree method,the method of fundamental solutions,to simulate the 3D steady-state groundwater flow problems. Numerical results were compared with the analytical solutions. It is shown that the method of fundamental solutions can simulate the 3D steady-state groundwater flow problems with high solution accuracy.
【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)004
【总页数】4页(P80-83)
【关键词】稳定渗流;地下水;无网格法;数值模拟
【作 者】王福章;郑炳寅;郑克学;钱亮
【作者单位】淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北235000;江西省汇川水利工程有限公司，江西 南昌330000;江西省汇川水利工程有限公司，江西 南昌330000;江西省汇川水利工程有限公司，江西 南昌330000
【正文语种】中 文
【中图分类】P641.2
0 引言
水工建筑物以及岸边绕流问题多为三维渗流问题，这类问题的计算比较复杂影响因素较多，实际问题的理论解很难得到，因此对三维稳定渗流问题的数值模拟研究具有较高的实际意义.众所周知，目前研究地下水模拟中常用的数值方法主要包括有限元法和有限差分法等.这些数
值方法涉及物理区域的网格划分，因此对于三维问题的数值模拟较为复杂，研究成果不多[1-3].
传统的计算方法，如有限元法等需要进行网格划分，边界配点型无网格法由于不需要划分网格，仅需要一组边界配点来离散求解区域边界，直接利用边界配点和径向基函数来构造近似函数，近三十年受到众多学者的青睐[4]，在地下水流动问题中已有应用研究.多个学者[5-8]用径向基函数研究了一维和二维地下水稳定流和非稳定流问题.基本解法是目前备受关注的边界配点型无网格法之一，王福章和林继[9]对基本解法(Method of Fundamental Solutions)数值模拟二维均质承压含水层的稳定渗流问题进行了初步研究，对数值模拟结果进行了分析.本文将基本解法用于数值模拟三维均质承压含水层的地下水稳定渗流问题，将数值结果与解析解进行比较，分析基本解法中对数值结果有影响的各种因素.
1 基本解法的基本思想
为了说明基本解法的基本原理，考虑三维地下水稳定渗流问题为例进行讨论，基本假设符合达西定律，利用流体连续方程推导
vx=-K，(x,y,z)∈Ω;
(1)
vy=-K，(x,y,z)∈Ω;
(2)
vz=-K，(x,y,z)∈Ω;
(3)
++=f,(x,y,z)∈Ω.
(4)
其中V=(vx,vy,vz)为渗流速度，H(x,y,z)为水头，f(x,y,z)为源汇项.一般情况下给定水头边界条件
H(x,y,z)|Γ1=(x,y,z),(x,y,z)∈Γ1
(5)
和流量(不透水)边界条件
(6)
其中Γ1∪Γ2=Γ为三维空间中区域Ω的边界.
对上述二阶椭圆形边值问题，若实际问题中不存在源汇项，即f(x,y,z)≡0，则对应齐次问题可直接用基本解法进行求解.在大多数实际问题中都存在源汇项，这时对应的非齐次问题可以根据叠加原理将问题的解分解为两部分，即满足方程(4)的一个特解Ht和满足对应齐次控制方程(源汇项f(x,y,z)≡0)以及相应边界条件
(7)
(8)
的解Hr，即
H=Ht+Hr.
(9)
一般情况下可以通过积分得到特解Ht.齐次边值问题可以通过数值方法进行数值模拟，本文考虑基本解法，其基本思想是以基本解L(P,Q)=作为插值径向基函数，将边值问题的解Hr近似为
在常用的正则化计算方法中 属于
(10)
式中‖Pi-Pj‖表示Pi=(xi,yi,zi)和Pj=(xj,yj,zj)两个点之间的欧几里得距离，αi为待求未知系数，为基本解法中需要引入的辅助边界，三维区域问题形状可以取为球形或者区域类似的形状.
将 (10)式代入边界条件(7)和(8)，考虑N个边界配点可以得到如下方程
αiL(Pi,Pj)=(Pj)-Ht(Pj),Pj∈Γ1，j=1，…，N1;
(11)
(12)
由于基本解在源点处具有奇异性，因此要求实际区域边界Γ和辅助边界不重合.方程(11)-(12)可改写成矩阵的形式
Aα=b,
(13)
其中A为N×N系数矩阵，Aij=L(Pi,Pj)，j=1，…，N1，Aij=，j=N1+1，…，N，右端向量
为待求系数，T为向量转置.
求出α后，可以求得区域Ω内任意点处的水头数值解
H+HN(P)+Ht(P)=αiL(Pi,P)+Ht(P).
(13)
对应点处流量的数值解可以通过求导得到.
2 算例分析
为了验证基本解法数值模拟三维地下水稳定渗流问题的求解精度，本文将基本解法得到的数值解和精确解进行比较研究，分析影响求解精度的各个因素.
对均质承压含水层，区域Ω={(x,y,z)|x2+y2+z2≤2}上的物理模型可以描述为
(14)
在无源汇项，即f(x,y,z)=0的情况下，该问题的解析解为H(x,y,z)=x2+y2-2z2+xy+2.计算区域按区域内部节点选取，水头位于球Ω={(x,y,z)|x2+y2+z2≤2}的中心点.
为说明基本解法的求解精度，取边界配点数N=15，辅助边界半径R=3时，本文基本解法的数值结果和精确解的比较如表1所示.从表中可以看出，对于随机选取的6个内部节点，解析解和基本解法的数值解非常接近，相对误差都保持在数量级10-4.该结果说明用较少的配点数可以得到较为精确的数值结果.

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