CAGD∕CG领域中一元多项式方程求根问题综述
I. 引言
    A. 研究背景和意义
    B. 问题描述
    C. 研究现状
II. 一元多项式方程求根的基本理论
    A. 一元多项式方程的定义
    B. 求根定理
    C. 求根方法分类
III. 常见的求根方法
    A. 牛顿迭代法
在常用的正则化计算方法中 属于    B. 二分法
    C. 割线法
    D. Chord-Tangent法
    E. Jenkins-Traub方法
IV. 一元多项式方程求根的优化算法
    A. 区间分解法
    B. 牛顿下山法
    C. 迭代法的加速算法
    D. 特殊问题的求根算法
V. 总结与展望
    A. 研究总结
    B. 研究不足和未来发展方向
    C. 结语
注意：此为较为全面的综述提纲，实际写作过程中，可以根据具体需要适量增减章节数量及具体内容。I. 引言
A. 研究背景和意义
一元多项式方程求根问题是CAGD∕CG领域中的一个重要问题，涉及计算机图形学、计算机辅助几何设计和其他领域。在实际运用中，很多复杂的问题都可以归结为求解一元多项式方程的根，例如计算机图形学中的曲面重构、曲线绘制和几何造型等。
B. 问题描述
对于一个一元多项式方程P(x)=0，一般来说，在常见的代数计算领域中，有相应的求根方法可以求解出这个方程的根。但在实际计算机应用中，由于计算精度的限制和计算复杂度的问题，传统数值计算方法不能满足要求。因此，需要研究更加高效和鲁棒的求解方法。
C. 研究现状
在过去的几十年中，有很多学者对一元多项式方程求根问题进行了研究。早期的研究主要使用迭代算法，如牛顿迭代法、割线法、二分法等。这些算法能够求得比较精确的近似解，但是计算复杂度高，收敛速度慢，且容易陷入局部最优解。
近年来，随着数值分析和计算机科学领域的发展，研究者们提出了更多的高效算法，如多项式分解法、区间分解法、特征值法、代数法等。其中，Jenkins-Traub方法在实际应用中表现出了较高的效率和鲁棒性。
在本综述中，我们将介绍相关的基本理论、常见的求根方法和优化算法，并着重讨论它们的效率和优势。同时，我们也将讨论该领域面临的挑战和未来研究方向，以期能够深入地了解一元多项式方程求根的研究现状和未来发展趋势。II. 一元多项式方程的基本理论和求根方法
A. 一元多项式方程的定义
一元多项式方程是指形如P(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0 = 0的方程，其中x是未知数，a_i是常系数，n为非负整数。方程中最高项系数不为0。
B. 常见的求根方法
1. 牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种迭代求根的方法，采用泰勒展开来逼近方程的根。具体步骤为：选取x0为初始解，迭代求解xn+1 = xn - P(xn)/P'(xn) 直至达到所需精度为止。该算法通常收敛速度快，但容易陷入局部最优解，需要对初始解进行精细调整。
2. 割线法
割线法是一种非迭代求根的方法，采用割线来逼近方程的根。具体步骤为：选取x_0和x_1为初始解，则有 x_{n+1} = x_n - [P(x_n) / (P(x_n) - P(x_{n-1}))]直至达到所需精度为止。该算法需要更多的迭代次数，但不需要求解导数。
3. 二分法
二分法是一种基于区间缩减的求根方法，需要满足区间左右端点的函数值异号。具体步骤为：选择初始区间[a,b]，比较中点c=P(a+b)/2和f(c)是否异号，然后逐渐减小区间大小，直至达到所需精度为止。该算法收敛速度慢，但可以保证求解精度。
4. Jenkins-Traub方法
Jenkins-Traub方法是一种基于复合域方法的求根算法，它采用多项式的特征根来逼近实根。该算法收敛速度较快，精度较高，适用于复杂的多项式方程求根问题。
C. 优化算法
上述常见求根方法中，各有其优点和缺点，需要根据实际情况来选择合适的算法。此外，还有很多优化算法可以提高求解效率和准确度，如分段牛顿法、修正牛顿法、分段分解法、离散容斥法等。

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