希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题
2009-12-31 12:41:40
希尔伯特23个问题及解决情况
正则化几何因子1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：
正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”
他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：
清晰性和易懂性；
虽困难但又给人以希望；
意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号 问题 推动发展的领域 解决的情况
1 连续统假设 公理化集合论 1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性 数学基础 希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.De
hn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提得过于一般。希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
5 不要定义的函数的可微性假设的李概念 拓扑论 经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。
6 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年hm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。
8 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出的工作。
9 任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.
10 Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11 系数为任意代数数的二次型 二次型理论 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。
12 Abel域上 kroneker定理推广到任意代数有理域。 复乘法理论 尚未解决。
13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。 方程论与实函数论 连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决。
14 证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论 1958年永田雅宜给出了否定解决。
15 Schubert记数演算的严格基础 代数几何学 由于许多数学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)与 A.Weil(1950)建立。
16 代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论 问题的前半部分，近年来不断有重要结果。
17 正定形式的平方表示式 域（实域）论 已由Artin 于1926年解决。
18 由全等多面体构造空间 结晶体理论 部分解决。
19 正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这个问题在某种意义上已获解决。
20 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
21 具有给定单值的线性偏微分方程的存在性 线性常微分方程大范围理论 已由Hilbert本人（1905）年和 H.Rohrl(德，1957)解决。
22 解析关系的单值化 Riemann 曲面体 一个变数的情形已由 P.Koebe (德，1907)解决。
23 变分法的进一步发展 变分法 Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。
百年前的数学家大会与希尔伯特的问题
熊卫民
21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发展带来些什么？能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗？ 一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为他的一个报告——希尔伯特（David Hilbert）和他的《数学问题》。
1900年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。在随后的半个世纪中，许多世界一流的数学头脑都围着它们转。其情形正如另一位非常著名的数学家外尔（H. Weyl）所说：“希尔伯特吹响了他的魔笛，成的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。”这也难怪，他所提出的问题都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试，而且解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题（即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大贡献而为世人所侧目。人们在总结二十世纪数学的发展，尤其是二十世纪上半叶数学的发展时，通常都以希尔伯特所提的问题为航标。
其实这些问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的。但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向。
数学领域中的问题是极多的，究竟哪些更重要、更基本？做出这样的选择需要敏锐的洞察力。为什么希尔伯特能如此目光如炬？数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生（和李文林先生合译）认为，这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大！数学家可分为两类，一类擅长解决数学中的难题，另一类擅长对现有状况做出理论总结，两大类中又均可细分为一流、二流、三。希尔伯特两者兼长，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字，对数学发展的大背景了如指掌，对所提及的许多问题都有深入的研究，是数学领域中的“王”。
为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题，而不像常人一样宣讲自己的某项成果？袁向东告诉记者，这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincaré)有关，庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。他们两人是当时国际数学界中的双子星座，均为领袖级人物，当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法，那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。
庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法、德两国有世仇，所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。虽然他们两人非常尊重对方，这一点在他们身上体现得不明显，但他们的学生和老师常常这样看。
希尔伯特的老师克莱茵（Felix Klein）就是一个民族感非常强的人，他非常强调德意志数学的发展，想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形，圆心为巴黎；现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心，使数学世界变成有两个圆心的椭圆。
在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的帮助下，克莱茵实现了自己的目标——1900年时，希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名，而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。事实上，他们在德国号称“无敌三教授”。
从一个例子可以想见他们的魅力。
某天，在谈及拓扑学著名定理——四定理时，闵可夫斯基突然灵机一动，于是对满堂的学生说：“这条定理还没有得到证明，因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。
现在由我来证明它。”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。这堂课结束后，他还没有证完。下堂课他继续证，这样一直持续了几周。最后，在一个阴雨的早晨，他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。“老天也被我的傲慢激怒了，”他说，“我的证明也是不完全的。”（该定理直到1994年才用计算机证明出来。）
1912年，庞加莱逝世。世界数学的中心进一步向哥廷根偏移，数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心换成了哥廷根。此时，哥廷根学派的名声如日中天，在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖，到哥廷根去！”
一个世纪过去了，希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决，其余一半的大多数也都有重大进展。但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。有人问他，为什么他不去解决自己所提的问题，譬如说费马大定理？
费马是在一页书的空白处写下该定理的，他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法，但可惜的是空白区不够大，写不下了。希尔伯特的回答同样幽默：“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者，希尔伯特时任该基金会的主席，每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学，所以对他而言，费马大定律者
是只会下金蛋的母鸡。（费马大定律直到1997年才被解决。）
在列出23个问题之前，希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物，已经在数学的诸多领域取得多项重要成果。他的其它贡献，譬如他的公理化主张、形式主义构想、《几何基础》一书等等，都对20世纪数学的发展有着深远的影响。
1 21世纪七大数学难题
21世纪七大数学难题
最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。

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