矩阵合同的定义
  篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
  矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
正则化几何因子  一、基本概念与性质 （一）等价：
  1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A
  B
  。
  2、矩阵等价的充要条件：
  AB{
  同型，且人r(A)=r(B)
  存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立
  3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同：
  1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A
  BBPAPB
  T
  二次
  型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似
  1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。 2、矩阵相似的性质：
  A~B,A~B,A
  A~B
  TTkk1
  ~B(前提，A,B均可逆)
  1
  |E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）
  r(A)=r(B)
  tr(A)tr(B)即A,B的逆相等
  |A|=|B|
  3、矩阵相似的充分条件及充要条件：
  ①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵
  A(1,2,,n)，B(1,2,,m)
  1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
  2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)
  A~B,AB,ABr(A)r(B)AB
  。
  3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有
  AB(1,2,,n)(1,2,,n)
  综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。
  1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
  ①相似等价：A~  ②合同等价：A
  B
  A,B同型且r(A)r(B)
  AB
  BA,B同型且r(A)r(B)AB
  ③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以  Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当
  A~B
  时，|EA||EB|二次型f(x)
  XAX
  T
  与g(x)
  XBX
  T
  有相同的
  标准型，即二者有相同的正负惯性指数
  即有A~
  BABAB
  ABAB
  T
  E使得PAPB即AB
  Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即PTP
  BPAPP
  T
  1
  则有
  AP~A
  B 即有A
  BA~B
  Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则
  A~B
  时有
  A~BABAB
  Ⅳ、A~Br(A)r(B)、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B)
  B,AB成立的条件。
  下面讨论r(A)r(B)时A~B,A由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知 存在正交矩阵P时，有PT
  T
  P
  1
  则
  r(PAP)r(A)记BPAP则r(A)r(B)
  T
  此时A
  BA~BAB
  A~B,AB,AB
  即P为正交矩阵时，由r(A)r(B)（三）
  1、矩阵等价：①同型矩阵而言
  ②一般与初等变换有关
  ③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的
  本质是秩相等
  2、矩阵相似：①针对方阵而言  ②秩相等是必要条件
  ③本质是二者有相等的不变因子 3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵  ②秩相等是必需条件

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