[第12讲]
“一次量子化”与“二次量子化”
━━ “古怪”与“不古怪”
I，前言
II，量子力学的建立━━“无厘头”的一次量子化
III,  Maxwell场协变量子化━━需要“鬼光子”的一次量子化1，Lorentz规范下协变形式量子化
2, 不定度规、负模态、鬼光子
3、附加条件━━“协变性要求有鬼，条件保证了看不见它们” IV，“ Schrödinger 场”的二次量子化━━其实不古怪
1，“ Schrödinger 场”的“经典”场论
2，“ Schrödinger 场”按对易规则二次量子化
3，“Schrödinger 场”按Jordan-Wigner规则二次量子化
4，将两种二次量子化结果转入粒子数表象
5, 与全同多体量子力学的等价性━━所以不古怪
6，二次量子化中对易规则选择问题
V，自作用“ Schrödinger 场”的二次量子化━━再次的不古怪1, 自作用“ Schrödinger 场”的二次量子化
2，转入粒子数表象
3，转入坐标表象
VI，二次量子化方法评论━━可以理解的古怪
※            ※            ※
I, 前  言
正则化几何因子
学过量子力学的人都知道，文献和书中经常会遇到说法：经典力学经过“一次量子化”“过渡到”量子力学。其实，从科学观点看，这个“一次量子化”实在是个“无厘头”的东西。然而，古怪并不到此为止，更有甚者：在量子力学中，再经过 “第二次量子化”，还可以从单粒子量子力学转向建立相对论量子场论。并且
理论与实验还广泛符合，十分成功！本讲专门谈谈这两个古怪。结论是: 一次量子化是“无厘头”的古怪，二次量子化的基础是波粒二象性，是理性的不古怪。 II ，量子力学的建立━━“无厘头”的一次量子化
先简单重复一下“一次量子化”具体内容：将牛顿力学的力学量转化为作用到系统状态空间上的算符（开始了“无厘头”的逻辑飞跃！），同时也就得到坐标和动量的对易规则，构成算符的非对易代数：
()ˆˆˆ,,ˆˆ,,,,i j i j r r p p i E E i t x p i i j x y z δ∂⎧→→=-∇→=⎪∂⎨⎪⎡⎤==⎣⎦⎩
接着再将牛顿力学能量等式()22p E V r m
=+  对应地转化成算符方程，作用到表征状态的实变数复值函数(),r t ψ
上，就得到状态运动方程：
()
()()2,,2r t i V r r t t m ψψ∂⎛⎫-=∆+ ⎪∂⎝⎭      现在得到了算符的非对易运算规则，又有了状态运动方程，再添加一点与实验测量和物理解释有关的辅助公设，就能建立起非相对论量子力学。这就是著名不讲道理的、十分古怪的“一次量子化”过程。
其实，这是“人择原理”和“先入为主”的偏执所激发的逆向思维的
结果。为了说明这个观点，需要从光学和电磁波理论的关系谈起（虽然它俩之间并不存在经典与量子的过渡）。众所周知，Maxwell理论取极短波长极限，使能量流转化为光线概念，便顺理成章地、准确地建立起几何光学1。但如果设法将这个推理过程逆转过来，想要从（极短波长极限下）几何光学“导出”或“理解”（一般波长）Maxwell理论，那就必需引入一些很古怪的、“无厘头”的假设才行。当然，物理学历史事实是人们没有这样做，而是根据电磁现象的众多实验事实结合逻辑归纳，直接地构建了（包容几何光学的）Maxwell电磁波理论。
牛顿力学和量子力学的传承关系也类似如此。从微观世界过渡到宏观世界时，宏观物体的de Broglie波波长趋于零，在极短波长极限下，（具有波动性的）量子力学便过渡到了（描述质点轨道运动的，不具有波动性的）牛顿力学。同样，从牛顿力学发展到量子力学，如同建立Maxwell电磁波理论那样，最直观简捷的办法就是根据微观现象的实验事实结合逻辑归纳，直接去构建起（包容牛顿力学的）量子力学。物理学的历史事实正是这样、也不得不这样。
但是，基于固有的尺度、质量范围和观测系统，我们注定属于这个特定尺度下的宏观世界。我们别无选择地首先掌握了宏观世界的物理学━━牛顿力学。应当意识到，我们最先掌握的物理学只是离我们手边最近的物理学，未见得就是自然界中最基本最普适的物理学。尽管如此，从此开始，人类自然而不自觉地进入了“人择原理”的偏颇，经典观念的束缚，制约了人们的认知能力，形成了思维的成见。人们
1M.玻恩，E.沃耳夫，《光学原理》，北京：科学出版社，1978年。第三章。
顽固地觉得：微观世界物理学和所熟悉的宏观世界物理学如此相悖，总是想从宏观世界物理学的角度去理解它。由此激发起了从牛顿力学去理解（甚至“推导”）量子力学的“逆向思维”式的努力，于是拼凑出这么个无厘头的“一次量子化”。
其实，物理学发展并不需要这个古怪的“一次量子化”，不需要它所显示的神秘和误导，唯一需要的只是“相信实验，相信逻辑”的科学理性精神。不正是这种科学精神导致Einstein 一次又一次地超越前人获得巨大成就吗？
III, Maxwell 场协变量子化━━需要鬼光子的一次量子化
1，Lorenz 规范下协变形式量子化
i ，序言。众所周知，Maxwell 场蕴藏着物理上多余的规范
自由度，应当采用约束系统量子化办法进行量子化 2。
直观地说就是，用势A μ表述的电磁场，要保持Lorentz 变换协变形式，必须带有纵向
和标量的非物理自由度；一旦消除这些非物理自由度，形式就不是协变的。于是，只依赖于物理的动力学自由度的正则量子化方法和协变形式互不相容。辐射规范优点是只量子化该场的物理自由度，但这样
就牺牲了协变形式。本节就来叙述保持协变形式的量子化，看结果到底如何。在Lorenz 规范下，取Lagrangian 密度()212em
A μν=-∂L ，有 ()
3120 ,,0H d x A A A A A μμμμμμμμμπππ⎧=+∇⋅∇⎪⎨⎪==∂=⎩⎰  显然，4组正则场量对()()(),A x x μμπ之间如果没有约束条件0A μμ∂=                                          2 协变量子化可见张永德《高等量子力学》，北京: 科学出版社，2010年。第7章。
相互关联，彼此完全独立，此理论就扩大了经典Maxwell 理论，包含了非Maxwell 的自由度。
ii ，协变形式等时对易规则。现在暂且不管附加的协变规范条件0A μμ∂=，于是4个A μ运动方程可以当作平行独立的4个自由度
处理。对4组(),A μμπ同时实施正则量子化，即设定
(),()()(),()(),()0
A xt x t i x x A xt A x t xt x t μνμνμνμνπδδππ⎧⎡'⎤'=-⎪⎣⎦⎨⎡'⎤⎡'⎤==⎪⎣⎦⎣⎦⎩        3 由量子场场量的运动方程，
11,,,A A H H i i
μμμμππ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦  为记号简明，下面记(),()A xt A A x t A μμνν''==
等，于是得到
()232311,,22A d x A A d x A i i μμννμννπππ⎡⎤'''''⎡''⎤=+∇=⎣⎦⎣⎦⎰⎰  31()d x i x x i
μννμδδππ'''=-=⎰  ()232311,,22d x A d x A A i i μμννμννππππ⎡⎤'''''⎡''''⎤=+∇=∇⋅∇⎣⎦⎣⎦⎰
⎰  3()()d x x x A A xt μννμδδ''''=⋅-∆=∆⎰
将两者结合，即得与原先形式相同的场算符()A xt μ
的量子场方程, ()0A x μ=
iii ，向动量空间转换。由于方程形式完全相同，可以直接采
3 对第一式两边μ∂，左边由于0A μμ∂=为零，而右边不为零。这说明，此处对易规则已和Lorentz 条件相矛盾，算符()A x μ作为时空函数已不能满足Lorentz 条件。由下面知道，Lorentz 条件总是要将纵分量和类时分量联系起来。这个矛盾似乎可以只对2个模分量量子化，而不对类时、纵向分量也量子化来解决。但这是非协变的，因为纵横分解和Lorentz
观察系有关。上面这些讨论也可对非等时对易子(),()()A x A x i D x x μνμνδ⎡⎤'=-⎣⎦进行。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。