第8节 二项分布及正态分布
最新考纲    1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用
.
知 识 梳 理
1.条件概率
2.事件的相互独立性
(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立.
(2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ). 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则
P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ). (2)二项分布
在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发
生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k
(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率. 4.正态分布
(1)正态分布的定义
如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a
b φμ，σ(x )d x ，则
称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2
).其中φμ，σ(x )＝1
2πσe （x －μ）2
2σ
2
(σ>0).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1
σ2π
；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682__6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954__4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997__4. [常用结论与微点提醒]
1.运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A ，B 相互独立时，公式才成立.
2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.(  )
(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.(  )
(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k ，k ＝0，1，2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.(  )
(4)从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取3次，则取到红球的个数X 服从超几何分布.(  )
解析 对于(1)，相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故(1)错；对于(2)，只有当A ，B 为相互独立事件时，公式P (AB )＝P (A )P (B )才成立；对于(4)，取到红球的个数X 服从二项分布. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(选修2－3P54练习2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(  ) A.310
B.13
C.38
D.29
解析 设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件B ，依题意P (A )＝210＝15，P (AB )＝2×310×9＝115，
故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）
＝13.
答案    B
3.(2018·烟台调研)设袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为________.
解析 由题意得取出红球个数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫6，23，所以P (X ＝2)
＝C 26⎝ ⎛⎭⎪
⎫
232·⎝ ⎛⎭
⎪⎫134＝20
243. 答案 20
243
4.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为1
4.假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________. 解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，
两人均不去的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－14＝1
2，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅
游，故所求概率为1－P (A B )＝1－12＝1
二项式分布的正则化
2.
答案 12
5.已知随机变量X 服从正态分布N (0，82)，若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝________.
解析 因为μ＝0，所以P (X >2)＝P (X <－2)＝0.023，所以P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 答案
0.954
考点一 条件概率
【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝(  ) A.18
B.14
C.25
D.12
(2)(2018·河北“五个一”名校联盟二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为1
2，两次闭合后都出现红灯的概率为1
5，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(  ) A.110
B.15
C.25
D.12
解析 (1)法一 P (A )＝C 23＋C 2
2C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22
C 25
＝110.由条件概率计算公式，
得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）
＝1
1025
＝1
4.
法二 事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个.
事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝
n （AB ）n （A ）
＝14.
(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝1
5，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1
512＝2
5
.故选C.
答案 (1)B  (2)C
规律方法 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）
，这是求条
件概率的通法.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝
n （AB ）n （A ）
. 【训练1】 (2018·桂林调研)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(  ) A.35
B.59
C.110
D.25
解析 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝3
5， 第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26
C 210
＝13，
∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1
335＝5
9
.
答案    B
考点二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 (2018·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成

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