费米-狄拉克统计
在统计力学中，费米-狄拉克统计是一种由Enrico Fermi 和保罗⋅狄拉克发展起来的特殊粒子统计用来确定费米子在一个热平衡系统中各能量状态上的统计分布。换句话说，就是在给定能级上一个费米子出现的几率。费米子是不可分辨的并且服从泡利不相容定律，即，不会有超过一个的粒子在同时处以同一量子态。统计热力学用来描述大量粒子的行为。无相互作用的费米子的集合称为费米气体。
F-D 统计在1926年由Enrico Fermi 和保罗⋅狄拉克提出，并在1926年由拉尔夫⋅富勒用于描述恒星到白矮星的塌缩，在1927年由Arnold Sommerfeld 用于金属中的电子。 对于F-D 统计，处于一种能量状态i 的粒子数的期望值是
1/)(+=
-kT i i i e g n με  这里：
n i  为粒子在状态i 的数量
εi  为第i 个状态的能量
g i  状态i 的简并度
μ 为化学势（作为一种低温近似，有时用费米能量E F 代替）
k 为玻尔斯曼常数
T 为绝对温度
在μ为E F 而且g i =1时，这个方程称为费米方程：
11)(/)(+=
-kT E F i e E F ε
对于四种不同的温度，作为ε/μ的函数的费米-狄拉克分布（⎺n为n i/g i即同一能级平均每个模式（状态）上分布的粒子数，它与被占据的状态数成正比）。温度越高曲线越光滑
作为温度的函数的费米-狄拉克分布。温度越高被占据的状态越多。
作为ε的函数的费米-狄拉克分布。高能态对应低概率，或低能态对应高概率。
这些统计的应用
费米-狄拉克和玻-爱因斯坦统计在量子效应必须考虑以及粒子被认为是“不可分辨的”时起作用。如果粒子的浓度(N/V)≥n q（这里n q是量子浓度）量子效应就会显现。量子浓度是当粒子间距等于热德·布罗意波长也就是当粒子的波函数相互接触但还未重叠时的浓度。量子浓度依赖于温度；高温会使大多数系统处在经典的限制中除非它们有非常大的密度例如白矮星。费米-狄拉克统计适用于费米子（服从泡利不相
容定律的粒子），玻-爱因斯坦统计适用于玻子。在高温或低浓度下费米-狄拉克和玻-爱因斯坦统计都变为麦克斯韦-玻耳兹曼统计。
麦克斯韦-玻耳兹曼统计是通常用来描述“可分辨的”经典粒子的。换句话说，处在状态1的粒子A和处在状态2的粒子B的组合相比于粒子B是状态1和粒子A是状态2是不同的。当沿着这条思路充分展开时，就会导出适当的（玻耳兹曼）对于能量状态的粒子分布，但由于熵也会导出非自然（non-physical）的结果，如吉布斯悖论。当认识到所有的粒子实际上都是不可分辨的，这些问题就消失了。这些分布在高温和低密度限制下都会趋近于麦克
斯韦-玻耳兹曼分布，而不需要任何额外的假设。麦克斯韦-玻耳兹曼统计对于研究气体非常有用；F-D 统计经常用于固体中的电子的研究。同样的，它们都成为半导体设备和电子学理论的基础。
推导
考虑一个多粒子系统的一个单粒子态，它的能量为ε。例如，如果我们的系统是一个盒子里的量子气体，那么这个状态就可以是一个特定的单粒子波函数。回忆一下，对于巨正则系综，巨分配函数为
()∑--=
s kT s N s E e Z /)()(μ  这里
E(s)是状态s 的能量，
N(s)是在状态s 时系统拥有的粒子数
μ表示化学势
s 是遍历（runs through ）了所有可能的系统微状态的序号
在前面，我们将我们的系统设定为一个固定的单粒子态（不是一个粒子）。所以当这个状态被n 个粒子占据时我们的系统的能量为n ε，而如果不被占据时为0。将单粒子态的平衡设想为环境。因为系统和环境占据同样的物理空间，很明显在二者之间有粒子的交换（实际上，这就是我们要研究的现象）。这就是我们为什么要使用巨正则方程，将化学势考虑进系统和它的热环境之间的粒子流中。
对于费米子，一个状态只能由一个粒子占据或不占据。因此我们的系统有二重态：被一个粒子占据，或不占据，分别称为s 1和s 2。我们看到E(s 1)=ε，N(s 1)=1和 E(s 2)=0，N(s 2)=0。分配方程因此为
1)(21/))()((+==--=--∑kT i kT s N s E e e
Z i i μεμ
对于巨正则系综，一个系统处于微状态s α下的几率由下式给出
Z
e s P kT
s N s E /))()(()(ααμα--=  我们的被一个粒子占据的状态意味着系统处于微状态s 1，它的几率为
1
11)1(/)(/)(/)(/))()((11+=+===-------kT kT kT kT s N s E e e e Z e s P n μεμεμεμ
n 称为费米-狄拉克分布。对于一个固定的温度T ，)(εn 就是一个能量为ε的状态被一个费米子占据的几率。注意n 是对ε的减函数。这和我们的能态越高越不易被占据的预期是一致的。
注意如果能级有简并度g ε，我们会得到简单的修正：
11/)(+=-kT e g n μεε
这个数就是所有的处于能量ε的粒子的期望值。
对于所有的温度T ，21)(=
εn ，即，能量为μ的状态被占据或不被占据的几率总是相等的。
在T →0的极限下，n 变为一个阶梯函数（见上面的图）。所有能量低于化学势的状态被占据的几率都为1，而高于μ的能量状态不被占据。在温度为0时的化学势称为费米能量，表示为E F ，即
)0(==T E F μ 也许已经注意到，通常化学势是依赖于温度的。然而，对于低于费米温度k E T F F =
的系统，经常使用近似μ≈E F 。
其它的推导
之前我们已经使用巨分配方程（或吉布斯状态求和）。等价的，可以通过分析系统的组合来直接得到同样的结果。
设有两个费米子置于一个四能级系统中。系统有六种可能的排列，如下所示
ε1    ε2    ε3    ε4
A          ＊    ＊
B        ＊          ＊
C        ＊              ＊
D              ＊    ＊
二项式分布的正则化E              ＊        ＊
F                      ＊  ＊
这些组合的每一种称为系统的微状态。假设，在热平衡下，在固定的总能量和总粒子数的限制下，这些微态中的每一种的可能性都是相等的。

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