Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：
其中。
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∙ 1 性质
∙ 2 伽玛函数与贝塔函数之间的关系
∙ 3 导数
∙ 4 估计
∙ 5 不完全贝塔函数
o 5.1 性质
∙ 6 参见
∙ 7 参考文献
∙ 8 外部链接
[编辑] 性质
Β函数是对称的，也就是说：
它有许多其它的形式，包括：
其中是伽玛函数。
就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：
[编辑] 伽玛函数与贝塔函数之间的关系
为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：
现在，设, ，因此：
利用变量代换a = rcos θ和b = rsin θ，可得：
因此，有：
[编辑] 导数
贝塔函数的导数是：
其中ψ(x)是双伽玛函数。
[编辑] 估计
斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：
[编辑] 不完全贝塔函数
不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。
不完全贝塔函数定义为：
当x = 1，上式即化为贝塔函数。
正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：
当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：
[编辑] 性质
[编辑]二项式分布的正则化 参见
∙ 贝塔分布
∙ 二项分布
∙ 伽玛函数
伽玛函数和贝塔函数在概率统计中的应用
周占杰 
【摘要】：首先通过伽玛函数和贝塔函数的定义及性质;然后将他们应用到概率统计中。例如一些常见分布的数字特征:数学期望,方差等以及一些常见分布密度函数的推导。最后给出他们在Bayes统计应用及概率统计证明问题。
【作者单位】： 铁岭师范高等专科学校;
【关键词】： 伽玛函数及贝塔函数 Bayes估计 伽玛分布 正态分布 概率统计 数学期望 随机变量 数字特征 广义指数分布 两参数
【分类号】：O211.3
【正文快照】：
0引言在高等数学及概率统计中,经常会看到伽玛函数和贝塔函数这两个熟悉的名字,但是关于这两个函数性质及详细的应用却很少提及,然而这两个函数在积分运算中经常起到意想不到的简便效果。也有一些文献讨论它们在积分运算和概率统计中的应用,但是篇幅太少,并没有详细的介绍。

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