第39卷第4期              温 州 大 学 学 报（自 然 科 学 版）              2018年11月 V ol 39, No 4                Journal of Wenzhou University (Natural Science Edition)                Nov, 2018
基于p l 范数正则化的混合噪声去除模型
范黎杨，张笑钦，严玉芳，刘倩倩
(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州  325035)
摘  要：提出了一种基于p l 范数正则化的混合噪声去除模型．首先构造一个基于p l 范数的低秩-稀疏模型，同时对加性高斯白噪声和脉冲噪声进行处理，然后利用交替方向乘子法求解该优化模型，并将其应用于观测图像的混合噪声去除中．实验结果表明，该方法相比于目前比较先进的方法，能够有效地去除混合噪声，恢复原始图像．
关键词：加权混合噪声；低秩稀疏分解；加权Schatten-p 范数；lpp 范数
中图分类号：TP391.41    文献标志码：A    文章编号：1674-3563(2018)04-0041-09
DOI ：10.3875/j.issn.1674-3563.2018.04.007    本文的PDF 文件可以从xuebao.wzu.edu/获得
在图像采集和传输的过程中，或多或少的都会引入一些噪声．因此在图像处理过程中，去噪是一个基本问题，用于从带噪声的观测数据中恢复原始图像，并尽可能地保留图像的边缘、纹理等信息和整体规模．在图像去噪中，主要有两种常见的噪声，分别为加性高斯白噪声和脉冲噪声．加性高斯白噪声主要由电子相机传感器和电路的热运动产生①；脉冲噪声在相机传感器的故障像素、硬件有错误的内存位置或传输过程中的比特误差处产生[1]．
目前有很多去除加性高斯白噪声的模型和方法，如三维块匹配算法（BM3D ）[2]，线性子空间分割算法（LSSC ）②
，加权核范数最小化模型（WNNM ）③
等．这些方法对于单像素的异常值非常敏感，因此在去除脉冲噪声时效果较差．而在实际应用中，我们遇到的常常是由加性高斯白噪声和脉冲噪声引起的混合噪声，由于这两种噪声不同的特性，所以混合噪声的分布通常不具有参数化模型，且其边际分布相比于拉普拉斯分布有明显的空白，使得去除混合噪声变得十分困难．在过去十几年里，研究者们提出了一些去除混合噪声的方法．如Abreu 等人[3]提出基于中值信号依赖秩序列平均滤波，既可以用于去除脉冲噪声也可用于去除混合噪声．Lin 等人[4]参考中位数判断当前像素是否是噪声像素，提出基于检测和变换的双边滤波改进方法，通过变换去除加性高斯白噪声和去除脉冲噪声来去除混合噪声．Schulte 等人[5]提出模糊脉冲噪声检测和减少方法
收稿日期：2017-11-03
作者简介：范黎杨(1993- )，女，河南南阳人，硕士研究生，研究方向：智能系统与控制
① Li R, Zhang Y J. A hybrid filter for the cancellation of mixed Gaussian noise and impulse noise [C] // ICICS, IEEE, Singapore, 2003: 508-512.
② Mairal J, Bach F, Ponce J, et al. Non-local sparse models for image restoration [C] // ICCV , IEEE, Japan, 2009: 2272-2279.
③ Gu S, Zhang L, Zuo W, et al. Weighted nuclear norm minimization with application to image denoising [C] // CVPR, IEEE, America, 2014: 2862-2869.
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（FIDRM 滤波），包含脉冲噪声检测和噪声去除两步．该方法可以有效的去除椒盐脉冲噪声，但由于随机脉冲噪声不会产生较大的梯度值，在去除时性能不是很好．Cai 等人[6]提出了一种改进的两相法用于恢复被混合噪声破坏的图像，并证明了该方法的有效性[7]．Xiao 等人[8]提出10l l -最小化方法，该方法
虽然去噪效果非常好，但其计算复杂度相当高．Rodríguez 等人①给出一个包含全变分正则化项和分别约束脉冲噪声和加性高斯白噪声的21l l ，范数数据保真项的模型，该模型去除混合噪声的结果非常好，但需要更好的计算性能．Huang 等人[9]提出一种基于全变分（Total V ariation ）先验的去噪模型以除去脉冲噪声和高斯噪声．Li 等人[10]通过最小化一个包括依赖数据保真项和类似于1l 范数的几何框架系数正则化项的函数，处理被混合噪声污染的图像．尽管上述混合噪声去噪模型和方法取得了一定的效果，但仍存在着一些不足，主要表现在：首先，现存的大多数混合噪声去除方法都基于脉冲噪声检测和加性高斯白噪声移除，分阶段的去除混合噪声；其次，在测量噪声的存在下，这些算法的凸松弛恢复性能大大降低，容易导致模型偏离原始最小化模型．
本文提出了一种基于p l 范数正则化的混合噪声去除模型（A Hybrid Noise Removal Model Based on p l  Norm Regularization ，即HNRM ）．首先构造一个基于p l 范数正则化的低秩-稀疏模型框架，同时引入权重来对加性高斯白噪声和脉冲噪声进行不同的约束处理，然后利用交替方向乘子法（ADMM 算法）[11]求解该优化模型，并将其应用于观测图像的混合噪声去除中，检测去除加性高斯白噪声和脉冲噪声的效果，取得了原始图像更好的近似．
1 基于p l 范数的低秩-稀疏模型
1.1 低秩-稀疏模型的提出
对于矩阵R
m n
X ⨯∈，其)10(<<p l p 范数[12]和加权Schatten-p 范数[13]的定义分别为：
1
,11
()m
n
p p
i j p
i j X
x ===∑∑，                                                  （1）
1
,(),(min{,})r
p
p
i i p
i
X
ωσr n m ω==∑，                                    （2）
其中j i x ，表示矩阵X 的第i 行第j 列的元素；(1,,)i σi r = 表示矩阵X 的第i 个奇异值；
0(1,,)i ωi r ≥= 表示对应于每一个i σ的权重，1r []ω,,ωω= ．（1）式中，当0=p 时表示秩
函数，即0
rank()X X =，当1=p 时表示1l 范数，即1X ；（2）式中，当1=p 时表示加权核
范数，即,*
1r
i i i X ωωσ=∑．所以，矩阵X 的lpp 范数和加权Schatten-p 范数的p 次方可以分
别表示为：
,,11
m n
p
p i j p p i j X
x ===∑∑，                                                  （3）
① Rodríguez P, Rojas R, Wohlberg B. Mixed Gaussian-impulse noise image restoration via total variation [C] // ICASSP, IEEE, Japan, 2012: 1077-1080.
范黎杨等：基于p l 范数正则化的混合噪声去除模型
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tr(W ),(min{,})r
p
p p i i ,p
i
X
ωσr n m ω==∆=∑，                            （4）
其中W 是对角线元素为i ω的对角阵；∆是对角线元素为i σ的对角阵．
对于给定的观测矩阵R
m n
Y ⨯∈，本文提出基于p l 范数正则化的低秩-稀疏模型，该模型带有
F -范数数据保真项、加权Schatten-p 范数和lpp 范数低秩-稀疏正则化项，旨在到一个矩阵X 使其尽可能接近Y ，该算法模型可以表示为：
111
2ω,,X
1
arg min
2
p
p F
p
p p Y X E αX
βE --++，                            （5）
其中00α,β>>表示两个平衡参数，用于平衡数据保真项和正则化项，R m n
E ⨯∈表示一未知的
稀疏矩阵．
当,p ω同时为1，1p 为0时，即为01l l -范数混合噪声去除模型． 1.2 模型的求解过程
运用ADMM 算法[11]求解基于p l 范数正则化的低秩-稀疏模型（5），其算法基本迭代步骤为：
11121,2
11,1arg min 21arg min 2p k k
p p F E p
k k ωp F X E Y X E βE X Y E X αX +++⎧=--+⎪⎪
⎨
⎪=--+⎪⎩
，                              （6） 首先对于迭代算法（6）的第一步，把k X Y Z -=看成一个整体，即为lpp 范数优化问题[12]：
111
2,1ˆarg min 2
p F
p p E E
Z E βE
=-+．                                        （7）
正则化包括dropout
要解决（7）式，首先考虑一个与之相似的标量问题：
21ˆarg min ()2
p
e e z e βe =-+．                                            （8）
当10<<p 时，引入两个阈值参数：1
2[2(1)]p
a e βp -=-；1-+=p a a a pe e h β．
则（8）式存在一个非平凡解：
0,ˆ()sgn(),a
a
z h e τz z e z h *
⎧≤⎪==⎨>⎪⎩．                                            （9） 当a h z >时，迭代执行（10）式可得(,)a e e z *
∈的解析解：
(1)
()1(0)
()[,]
k k p a e
z βp e e e z +-⎧=-⎪⎨∈⎪⎩．                                              （10） 其次对于迭代算法（6）的第二步，把k E Y M -=看成一个整体，即为一个加权Schatten-p 范数的优化问题[13]：
2,1ˆarg min 2
p F
w p
X X
M X αX
=-+．                                      （11）
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假设矩阵M 的奇异值分解为T V U M ∑=，其中1diag()r σ,,σ∑= 表示由矩阵M 的奇异值
0(1)i σi ,,r >= 构成的对角阵，,U V 分别表示两个正交矩阵．假定所有的奇异值都按降序排
列，则（11）式存在最优解T V U X ∆=，其中1diag()r δ,,δ∆= 表示由矩阵X 的奇异值
0(1,,)i δi r >= 构成的对角阵，每一个i δ可由下式[13]解得：
12,,11
min [()]2
0r
r
p i i i i δδi i i j
σδωδs.t.δ;i j,δδ⋯=-+≥≤≥∑对所有的．                                        （12） 当权重满足r ωωω≤⋅⋅⋅≤≤≤210时，奇异值的大小满足（12）式中的约束条件，即
r δδδ⋅⋅⋅≥≥21．那么当我们忽略其约束条件时，（12）式就转化为r 个的独立的子问题[13]：
201
min f()()(1)2
i p i i i i i δδσδωδ,i ,,r ≥=-+=⋅⋅⋅．                                （13） 类似于p l 范数最小化模型，对于给定的参数i p ω,，存在一个特定的阈值：
p
p i i p
i i p p ωp ωp ωωτ----+-=2121))
1(2())
1(2()(，
使得（13）式中的每一个f()i δ存在一个非平凡解：
0,()ˆsgn()()
i p i i *i i i p i στωδσδ,στω≤⎧⎪=⎨>⎪⎩．                                            （14） 当)(i p i ωτσ>时，可由（15）式迭代得出*
i δ：
(1)()1()k k p i i i i δσωp δ+-=-．                                                （15） 通过对（9）式和（14）式中ˆˆ,e
δ性质的了解和研究，在一定参数p 和ω的条件下，运用ADMM 算法[11]，通过迭代求解得到模型（5）的有效解．
由上述迭代过程，可以得出该方法的算法过程，如下所示： 算法1：HNRM 算法．
输入：观测矩阵Y ，参数1,p p ； 初始化：矩阵,0X Y E ==；
循环迭代：当目标函数达到收敛条件时，结束迭代． 第一步：计算权重参数ω、阈值参数()p τω；
第二步：由（10）式（15）式，计算矩阵X 奇异值的最优解δ*和E 的最优解e *；
第三步：由（6）式，求解低秩-稀疏矩阵ˆˆ,X E ； 输出：原始矩阵ˆX
． 2 算法模型的应用
图像去噪既是许多计算机视觉应用的预处理步骤，也是众多评估图像模型的一个测试床．为验证本文提出模型的有效性，将其应用到图像去噪中，从带有混合噪声的观测图像中恢复原始图
范黎杨等：基于p l 范数正则化的混合噪声去除模型
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像．本文的去噪过程基于图像块的非局部自相似性和自然图像的低秩稀疏性先验知识，以保证混合噪声去除性能．非局部自相似性是指对于一个自然图像可以用非局部相似块来恢复选定的块．非局部自相似性在很多图像去噪算法，如BM3D [2]，LSSC ，WNNM ，WSNM [13]中的得到运用并取得了良好的去噪效果．类似的，我们将本文提出的模型应用于由自然图像的非局部相似块构成的矩阵上来实现混合噪声去除． 2.1 混合噪声
本文用X 表示原始图像，,i j x 表示原始图像X 在(,)i j 处的像素值；Y 表示原始图像X 带有混合噪声的观测图像，,i j y Y ∈．对于带有混合噪声的图像，Y 的每一个噪声像素值可以表示为,,,,i j i j i j i j y x v e =++，其中,i j v V ∈是独立同分布，且服从均值为0，方差为2σ的高斯分布的噪声，,i j e E ∈表示离散型的脉冲噪声．脉冲噪声主要有椒盐脉冲噪声和随机脉冲噪声两种．本文主要考虑的是由加性高斯白噪声和随机脉冲噪声形成的混合噪声． 2.2 基于p l 范数正则化的混合噪声去除模型的应用
对于给定图像y 的一个局部块i y ，首先运用自适应中值滤波，过滤掉一些脉冲噪声，在没有脉冲噪声的影响下，运用块匹配方法（Block Matching Method ）获得i y 的非局部相似块i n
j j 1}~{=y ，
然后将其向量化(1,,)j i y j n =⋅⋅⋅ ，并堆叠形成矩阵i Y ，即矩阵i Y 的每一列由j y ~构成，则带有混合噪声的图像可以表示为矩阵形式：i i i i E V X Y ++=，其中i X 表示原始图像的矩阵块，,i i V E 表示混合噪声的矩阵块．假定观测图像y 是低秩-稀疏的，我们可以运用本文提出的基于p l 范数的低秩-稀疏模型，从矩阵i Y 中估计得出原始矩阵i X ，相应的基于p l 范数正则化的混合噪声去除模型为：
111
22
,,1ˆarg min p
p i i i i
i
i F
ωp
p p X n
X Y X E X E σ=--++，                        （16）
其中2
n σ表示噪声方差，第一项为F -范数数据保真项，第二项和第三项为低秩-稀疏正则化项．)(i j X σ表示矩阵i
X 的第j 个奇异值，且i X 的奇异值按从大到小排列，越大的奇异值对i
X 的数据组成越重要．
类似的，矩阵i X ˆ的奇异值)ˆ(i j X δ与)(i
j X σ有相似的性质．由于当奇异值)ˆ(i j X δ逐渐递减的过程中，权重j ω有一个增加的趋势，经验上来说，最直接的方法就是使得权重j ω和奇异值
)ˆ(i
j X δ有一定的反比例关系[5]，即：
1ˆ()]p j j i ωδX ε=+，
（17） 其中n 表示i Y 中相似块的个数．ε表示一个非常小的常数，以避免被除数等于0．2
22n σc =．由
于矩阵i X ˆ未知，无法直接得出)ˆ(i j X δ，所以可以用下式预估)ˆ(i
j X δ：
ˆ()j i δX =                                        （18） 为避免恢复后的图像被重复去噪，将迭代正则化算式（19）引入算法中，在去噪后的图像上

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