第４６卷　第４期２０２４年４月系统工程与电子技术
ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａ
ｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＶｏｌ．４６　Ｎｏ．４
Ａｐ
ｒｉｌ２０２４文章编号：１００１ ５０６Ｘ（２０２４）０４ １２３６ １１　网址：ｗｗｗ．ｓｙ
ｓ ｅｌｅ．ｃｏｍ收稿日期：２０２２１２０６；修回日期：２０２３０４２６；网络优先出版日期：２０２３０７２５。
网络优先出版地址：ｈｔｔｐ：
∥ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．２４２２．ＴＮ．２０２３０７２５．１８０７．００２．ｈｔｍｌ 通讯作者．
引用格式：陈子睿，陈阿磊，刘维建，等．天波超视距雷达非均匀采样信号频谱重构［Ｊ］．系统工程与电子技术，２０２４，４６（４）：１２３６ １２４６．
犚犲犳犲狉犲狀犮犲犳狅狉犿犪狋：ＣＨＥＮＺＲ，ＣＨＥＮＡＬ，ＬＩＵＷＪ，ｅｔａｌ．Ｓｐｅｃｔｒｕｍｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍｌｙｓａｍｐｌｅｄｓｉｇ
ｎａｌｓｆｏｒｏｖｅｒ ｔｈｅ ｈｏｒｉｚｏｎｒａｄａｒ［Ｊ］．ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａ
ｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０２４，４６（４）：１２３６ １２４６．天波超视距雷达非均匀采样信号频谱重构
陈子睿，陈阿磊 ，刘维建，杨　军，陈文峰，马晓岩
（空军预警学院，湖北武汉４３００１９）
  摘　要：受瞬态干扰影响和空海同时探测的需求，
在长相参积累时间条件下，天波超视距雷达（ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｈｏｒｉ ｚｏｎｒａｄａｒ，ＯＴＨＲ）
回波信号的有效采样点往往缺损且非均匀，严重影响目标检测性能。针对此问题，提出了一种基于压缩感知的ＯＴＨＲ频谱重构方法。首先，建立了ＯＴＨＲ频域信号的稀疏模型；然后，提出了快速自适应
复近似消息传递（ｆａｓｔａｄａｐｔｉｖｅｃｏｍｐｌｅｘａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｍｅｓｓａｇｅｐａｓｓｉｎｇ，ＦＡＣＡＭＰ）频谱重构算法并给出了算法实现步骤；最后，利用ＦＡＣＡＭＰ算法实现了ＯＴＨＲ频谱重构并分析了重构性能。与现有重构算法相比，ＦＡＣＡＭＰ算法具有重构精度高、运算复杂度低、可自适应调整参数和保留背景噪声高斯性的优势。理论分析和仿真实验均验证了所提算法的有效性。
正则化参数的自适应估计关键词：天波超视距雷达；压缩感知；频谱重构；复近似消息传递中图分类号：ＴＮ９５８．９３    文献标志码：Ａ    犇犗犐：１０．１２３０５／ｊ．
ｉｓｓｎ．１００１ ５０６Ｘ．２０２４．０４．１２犛狆犲犮狋狉狌犿狉犲犮狅狀狊狋狉狌犮狋犻狅狀狅犳狀狅狀狌狀犻犳狅狉犿犾狔狊犪犿狆犾犲犱狊犻犵
狀犪犾狊犳狅狉狅狏犲狉 狋犺犲 犺狅狉犻狕狅狀狉犪犱犪狉
ＣＨＥＮＺｉｒｕｉ，ＣＨＥＮＡｌｅｉ ，ＬＩＵＷｅｉｊｉａｎ，ＹＡＮＧＪｕｎ，ＣＨＥＮＷｅｎｆｅｎｇ，ＭＡＸｉａｏｙ
ａｎ（犃犻狉犉狅狉犮犲犈犪狉犾狔犠犪
狉狀犻狀犵犃犮犪犱犲犿狔，犠狌犺犪狀４３００１９，犆犺犻狀犪）  犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｄｕｅｔ
ｏｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｔｒａｎｓｉｅｎｔｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅａｎｄｔｈｅｒｅｑ
ｕｉｒｅｍｅｎｔｏｆｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓａｉｒａｎｄｓｅａｄｅｔｅｃｔｉｏｎ，ｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｌｏｎｇｃｏｈｅｒｅｎｔｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｔｉｍｅ，ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｓａｍｐｌｉｎｇｐｏｉｎｔｓｏｆｔｈｅｓｋｙｗａｖｅｏｖｅｒ ｔｈｅ ｈｏｒｉｚｏｎｒａｄａｒ（ＯＴＨＲ）ｅｃｈｏｓｉｇｎａｌａｒｅｏｆｔｅｎｄｅｆｅｃｔｉｖｅａｎｄｎｏｎ ｕｎｉｆｏｒｍ，ｓｅｒｉｏｕｓｌｙａｆｆｅｃｔｉｎｇｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔａｒｇ
ｅｔｄｅｔｅｃｔｉｏｎ．Ｔｏｓｏｌｖｅｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍ，ａｎＯＴＨＲｓｐｅｃｔｒｕｍｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｂａｓｅｄｏｎｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔ
ｈｅｓｐａｒｓｅｍｏｄｅｌｏｆＯＴＨＲｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎｓｉｇｎａｌｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ａｆ
ａｓｔａｄａｐｔｉｖｅｃｏｍｐｌｅｘａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｍｅｓｓａｇｅｐａｓｓｉｎｇ（ＦＡＣＡＭＰ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｄｉｔｓｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔｅｐｓａｒｅｇｉｖｅｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅＯＴＨＲｓｐｅｃｔｒｕｍｒｅｃｏｎｆｉｇ
ｕｒａｔｉｏｎｉｓｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄｕｓｉｎｇＦＡＣＡＭＰａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄｔｈｅｒｅｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｉｓａｎａｌｙｚｅｄ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｅｘｉｓｔｉｎｇｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ＦＡＣＡＭＰａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｈｉｇｈｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙ，ｌｏｗｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，
ａｄａｐｔｉｖｅｐａｒａｍｅｔｅｒａｄｊｕｓｔｍｅｎｔａｎｄｒｅｔａｉｎｉｎｇｔｈｅＧａｕｓｓｉａｎｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｎｏｉｓｅ．Ｂｏｔｈｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｖｅｒｉｆｙｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇ
ｏｒｉｔｈｍ．犓犲狔狑狅
狉犱狊：ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｈｏｒｉｚｏｎｒａｄａｒ（ＯＴＨＲ）；ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇ；ｓｐｅｃｔｒｕｍｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｌｅｘａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｍｅｓｓａｇｉｎｇｐａｓｓｉｎｇ（
ＦＡＣＡＭＰ）０　引　言天波超视距雷达（ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｈｏｒｉｚｏｎｒａｄａｒ，ＯＴＨＲ）作为一种特殊体制的远程预警雷达，利用电离层对电磁波的折射和反射效应，能够突破地球曲率的
限制，实施视距之外的海况信息提取和舰船目标检测等任务［１４］。与常规微波雷达相比，ＯＴＨＲ能够更早地发现大、中型舰船，将海面预警效率提高了３０～５０倍［５］。但利用ＯＴＨＲ快速、
及时地定位海面目标需要克服许多尚未解决的难题［６］。在对海探测模式下，强大的海杂波是影响海面目标检测的主要因素，杂噪比（ｃｌｕｔｔｅｒｔｏｎｏｉｓｅｒａｔｉｏ，ＣＮＲ）通常在５０ｄＢ以上［７８］，因此需要足够长的相参积累时间（ｃｏｈｅｒｅｎｔｉｎｔｅｇ
ｒａｔｉｏｎｔｉｍｅ，ＣＩＴ）来
　第４期
陈子睿等：天波超视距雷达非均匀采样信号频谱重构·１２３７　·
　提高信杂噪比（ｓｉｇ
ｎａｌ ｃｌｕｔｔｅｒ ｎｏｉｓｅｒａｔｉｏ，ＳＣＮＲ）与多普勒分辨率［１］。而较长的ＣＩＴ会带来两个问题［７，９］：①对于空海探测兼容工作模式，对海探测的长ＣＩＴ会导致空中目标被照射的间隔过长、数据更新率较低，不利于目标的快速跟踪。②ＯＴＨＲ的电波传播路径中存在严重的相位污染和瞬态干扰问题，长ＣＩＴ条件下通常难以得到完整、
均匀采样的有效数据。针对上述问题，有两种解决方案：①短Ｃ
ＩＴ条件下的目标检测。通过缩减ＣＩＴ克服上述问题，此方案受到ＣＩＴ较短
的限制，
通常利用超分辨谱估计方法解决多普勒分辨率较低的问题［１０］，或利用杂波抑制方法抑制海杂波以凸显目标［１１１３］。②长ＣＩＴ条件下非均匀采样信号的目标检测。将长ＣＩＴ中受到干扰的信号或用于对空探测的信号抽出
，然后通过带有缺损的非均匀采样信号重构完整频谱［１４１８］。本文主要针对方案②的非均匀采样信号频谱重构问题进行研究。由于信号缺损，一般采用先对缺损信号补零、再采用快速傅里叶变换（ｆａｓｔＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＦＴ）的方法实现，但这会导致频谱出现严重的栅瓣。为解决此问题，文献［１５１６］利用海杂波与目标信号在频域上的稀疏特性，通过基于压缩感知（ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇ，ＣＳ）
的贪婪类重构算法对非均匀采样信号进行频谱重构。此类算法在处理低维度、小尺度问题上具有较高的运算效率，但重构精度并不理想。此外，包括贪婪算法在内的大多数ＣＳ重构算法注重对稀疏信号的重构，忽略对背景特性的保留，因此通过ＣＳ重构的信号难以与现有的杂波抑制和恒虚警（ｃｏｎｓｔａｎｔｆａｌｓｅａｌａｒｍｒａｔｅ
，
ＣＦＡＲ）处理方法相结合，为后续处理增加了难度［１９］。文献［９］通过构造具有低秩特性的Ｈａｎｋｅｌ矩阵，利用非精确增广拉格朗日乘数（ｉｎｅｘａｃｔａｕｇｍｅｎｔｅｄＬａｇｒａｎｇｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ，ＩＡＬＭ）法实现低秩矩阵恢复（ｌｏｗ ｒａｎｋｍａｔｒｉｘｒｅｃｏｖｅｒｙ，ＬＲＭＲ）。文献［１８］利用修正的奇异值阈值（ｓｉｎｇ
ｕｌａｒｖａｌｕｅｔｈｒｅｓｈｏｌ ｄｉｎｇ，ＳＶＴ）
算子的思想求解鲁棒主成分分析（ｒｏｂｕｓｔｐｒｉｎ ｃｉｐａｌｃｏｍｐｏｎｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ，ＲＰＣＡ）问题，从而实现ＬＲＭＲ。ＬＲＭＲ类方法在缺损信号数量较少的条件下，具有较高的重构精度，而随着缺损信号数量增加，重构性能急剧下降，且此类算法较长的运算时间难以满足ＯＴＨＲ对实时探测的要求。针对上述方法的不足，本文提出了一种快速自适应复近似消息传递（ｆａｓｔａｄａｐｔｉｖｅｃｏｍｐｌｅｘａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｍｅｓｓａｇｅｐａｓｓｉｎｇ，ＦＡＣＡＭＰ）频谱重构算法对非均匀采样信号进行频谱重构。首先，建立了ＯＴＨＲ频域信号的稀疏模型。然后，针对复近似消息传递（ｃｏｍｐｌｅｘａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｍｅｓｓａｇｅｐａｓｓｉｎｇ，ＣＡＭＰ）算法［２０］自适应参数选择问题和重构误差问题［２１］，对ＣＡＭＰ算法进行改进，使用基于最小均方误差（ｍｉｎｉｍｕｍｍｅａｎｓｑ
ｕａｒｅｅｒｒｏｒ，ＭＭＳＥ）准则的复降噪函数代替复软阈值函数，并在迭代过程中自适应估计阈
值参数。最后，利用ＦＡＣＡＭＰ实现ＯＴＨＲ频谱重构，通过实测数据与现有方法对比分析其重构性能。ＦＡＣＡＭＰ频谱重构算法具有以下优势：①重构精度高。不仅能够恢复海杂波与目标信号的幅度和相位信息，而且能够保留原噪声背景的高斯性，使得重构信号能够直接与现有信号处理方案结合并进行后续处理。②运算复杂度低。具有较快的收敛速度和较低的单次迭代复杂度，算法的运算时间能够满足ＯＴＨＲ对实时探测的需求。③自适应性强。能够在不同环境的海杂波
背景和不同采样数条件下，
自适应估计并选择合适的阈值参数。理论分析和仿真实验均验证了所提算法的有效性。１　信号模型与犆犃犕犘算法本节分别对ＯＴＨＲ完整和非均匀采样回波信号进行建模，阐述了如何使用ＣＡＭＰ解决频谱重构问题，并指出了现有方法的不足。１．
１　完整回波信号模型信号重构实现于波束形成和匹配滤波之后，ＯＴＨＲ使用ＦＦＴ实现相参积累，将某个距离单元的慢时间回波向量狔∈犆犖×１变换到频域狓∈犆犖×１，通过逆快速傅里叶变换
（ｉｎｖｅｒｓｅｆａｓｔＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＩＦＦＴ）得到，即狔＝ＩＦＦＴ（狓）
，其中犖为一个ＣＩＴ内的脉冲个数，狔可表示为
狔（
狀）＝狊（狀）＋犮（狀）＋狉（狀），狀＝１，２，…，犖（１）式中：狀为脉冲数索引；狊、犮和狉分别表示目标向量、杂波向
量和噪声向量，维数均为犖×１。由于海面舰船目标运动速度较慢，
可视其为匀速运动，且由于ＯＴＨＲ的距离分辨单元尺寸较大，其在一次ＣＩＴ内的距离走动可以忽略
［２２］。因此，
目标向量狊的第狀个数据［２３２４］为狊（狀）＝犪ｅｘｐ（ｊ２π犳犱（
狀－１）犜狉）（２）式中：犪为目标幅度；犳犱为目标多普勒频率；犜狉为脉冲重复周期；犼槡＝－１。根据Ｂｒａｇｇ散射理论［２５２６］，ＯＴＨＲ海杂波频谱可建模为两个关于０Ｈｚ对称的Ｂｒａｇｇ峰［２７２８］，称为一阶海杂波，
而二阶及更高阶海杂波比一阶海杂波低约１０～４０ｄＢ，
一般可直接用高斯白噪声或正弦信号表示［７］。因此，在不考虑频谱展宽的情况下，海杂波向量的第狀个数据为犮（狀）＝犫１ｅｘｐ（ｊ（２π犳犫（
狀－１）犜狉＋ １（狀）））＋犫２ｅｘｐ（ｊ（－２π犳犫（
狀－１）犜狉＋ ２（狀）））（３）式中：犫１、犫２分别为正负Ｂｒａｇｇ峰对应的幅度系数；犳犫为海杂波对应的Ｂｒａｇｇ频率； １（狀）、 ２（狀）为由电离层不稳定造成的相位扰动项［２９３０］。将式（２）和式（３）代入式（１）得到：狔（狀）＝犪ｅｘｐ（ｊ２π犳犱（
狀－１）犜狉）＋犫１ｅｘｐ（ｊ（２π犳犫（
狀－１）犜狉＋ １（狀）））＋犫２ｅｘｐ（ｊ（－２π犳犫（
狀－１）犜狉＋ ２（狀）））＋狉（狀），狀＝１，２，…，犖（４）慢时间向量狔与频域向量狓的对应关系可通过逆傅里叶矩阵犃∈犆犖×犖表示：
狔＝犃狓（５）式中：矩阵犃的第（狆，狇）个元素为犪狆，狇＝ｅｘｐ（ｊ２π（狆－１）（狇－１）／犖），狆＝１，２，…，犖；狇＝１，
２，…，犖。由式（４）可知，目标和杂波对应的频率分别为犳犱和±犳犫，
而噪声相对杂波和目标较弱。因此，
频域向量狓具有近似稀疏性，非零值集中在频率犳犱和±犳犫处。
　·１
２３８　·系统工程与电子技术第４６卷
　１．２　非均匀采样回波信号模型使用集合Ψ表示非均匀采样信号的脉冲序列，Ψ
－则表示Ψ在集合｛狀｜狀＝１，２，…，犖｝
中的补集对应缺损信号的脉冲序列。将狔（狀）中的缺损信号剔除得到非均匀时域回波
信号狔′（犿）∈犆犕×１，
有：狔′（犿）＝狔（狀），狀∈Ψ ，狀∈Ψ烅烄烆－
，犿＝１，２，…，犕；狀＝１，２，…，犖（６）式中：犕＜犖； 表示空集。将矩阵犃中与缺损信号索引值
对应的行向量剔除并进行列归一化，得到局部逆傅里叶矩阵犃′（即感知矩阵），信号采样方式和感知矩阵犃′的构造方式如图１所示
。
图１　感知矩阵构造方式Ｆｉｇ．１　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｗａｙｏｆｓｅｎｓｉｎｇｍａｔｒｉｘ因此，式（５）
在非均匀采样条件下可改写为欠定方程组：狔′＝犃′狓（７）式（７）的解有无穷多个，但由于狓具有近似稀疏性，式（７）可转换为最小绝对收缩和选择（ｌｅａｓｔａｂｓｏｌｕｔｅｓｈｒｉｎｋａｇ
ｅａｎｄｓｅｌｅｃｔｉｏｎｏｐ
ｅｒａｔｏｒ，ＬＡＳＳＯ）问题，从而通过ＣＳ重构算法恢复信号完整频谱［２０，３１］：
狓＾＝ａｒｇｍｉｎ狓１２狔′－犃′狓２２＋λ狓１（８）式中：·１为矢量的 １ 范数；λ为正则化参数。１．３　犆犃犕犘算法针对式（８），ＣＡＭＰ算法执行迭代如下［２０］：狓～狋＝犃′Ｈ狕狋－１＋狓＾狋－１（９）狕狋＝狔′－犃′狓＾狋－１＋狕狋－１１δ η犚 狓犚（狓＾狋；τσ狋）＋ η犐 狓犐（狓＾狋；τσ狋）烄烆烌烎（１０）狓＾狋＝η（狓～狋；τσ狋）（１１）式中：狓＾狋表示在迭代狋处对狓的稀疏估计；狓
～狋表示在迭代狋处对狓的非稀疏估计；〈·〉表示矢量的均值；降采样率δ＝
犕／犖表示有效信号与原信号长度的比值；σ狋是迭代狋处的噪
声标准差；η（·；τσ狋）表示复软阈值函数，其定义为η（狌；λ） （｜狌｜－λ）ｅｊ 狌１（｜狌｜＞λ），其中狌为输入的复数矢量，｜狌｜表示对复数矢量狌取模，ｅｊ 狌表示狌的相位信息，１（
·）为指示函数；η犚和η犐分别是复软阈值函数的实部和虚部； η犚／ 狓犚和 η犐／
狓犐分别为η犚对输入的实部求偏导和η犐对输入的虚部求偏导。此外，阈值参数与噪声标准差τσ狋一起使用则
作为复软阈值门限。定义向量狑狋＝狓～狋－狓，表示ＣＡＭＰ在迭代狋处的噪声向量，狑狋近似服从零均值高斯分布［３２］。因此，狓　＾表示对频谱狓的目标与杂波进行重构，狓～表示对频谱狓的目标、杂波与噪声进行重构。由于杂波背景的复杂性和缺损信号数量的不确定性，最佳阈值参数τ是变化的。文献［１９］给出了一种自适应方案，但需要多次执行ＣＡＭＰ算法以选择最佳阈值，运算量较高。此外，ＬＡＳＳＯ问题导出的复软阈值函数会导致重构精度下降［２１］。为解决上述问题，本文提出ＦＡＣＡＭＰ频
谱重构算法。
２　犉犃犆犃犕犘频谱重构算法本节对ＦＡＣＡＭＰ算法进行理论分析，首先推导了基于ＭＭＳＥ准则的复降噪函数ηＭＭＳＥ，并以此代替复软阈值函数；其次，给出了ηＭＭＳＥ参数的自适应估计方案；最后，给出了ＦＡＣＡＭＰ算法的实现步骤。２．１　构造复降噪函数文献［３３］
针对实数信号，将稀疏信号的非零元素建立为伯努利高斯先验模型［３４］：
犘（狓）＝（１－狆）δ（狓）＋狆２πσ槡
２１ｅｘｐ－狓２２σ（）
２１（１２）式中：函数δ（·）是狄利克雷δ函数；狆表示出现非零元素的概率，狆＝ｌｉｍ犖→∞
犽／犖，犽为非零元素的个数，式（１２）表示非零元素服从方差为σ２１的零均值高斯分布。但是，ＣＡＭＰ算法需要先对复数信号取模，取模后的非零元素幅度均大于零。因此，将非零元素的分布表示为式（１２）的零均值高斯分布并不合适，且会导致下一步参数估计的偏差较大。因此，对式（１２）增加幅度约束，即认为非零元素都是大于零的，将稀疏信号模型建立为非零均值高斯先验模型：
犘（狓）＝（１－狆）δ（狓）＋狆２πσ槡２１ｅｘｐ－（狓－μ）２２σ烄烆烌烎２
１（１３）式（１３）表明非零元素遵循均值为μ、方差为σ２１的高斯分布，且μ＞０。假设背景噪声
方差为σ２０，通过贝叶斯公式的ＭＭＳＥ准则和Ｓｔｅｉｎ公式［３５３６］得到复降噪函数ηＭＭＳＥ：
ηＭＭＳＥ（狓～）＝｜狓～｜σ２１σ２０＋σ（）
２１
×狆犳（｜狓～｜；μ，σ２０＋σ２１）（１－狆）犳（｜狓～｜；０，σ２０）＋狆犳（｜狓～｜；μ，σ２０＋σ２１）ｅｘｐ（犼 狓～）（１４）式中：犳（狓；μ，σ２）＝１２πσ槡２ｅｘｐ－（狓－μ）２２σ烄烆烌烎２（１５）在处理实际问题时，使用复降噪函数ηＭＭＳＥ，需估计参数σ２０、狆、μ与σ２１，下面具体阐述参数估计方法。２．２　参数估计在算法执行迭代时，需要不断更新参数估计值。因此，将上述参数改写为σ０狋、狆狋、μ狋和σ１狋，
下标狋表示迭代次数。
　第４期
陈子睿等：天波超视距雷达非均匀采样信号频谱重构·１２３９　·                                                  　２．２．１　σ０狋的估计根据ＣＡＭＰ的状态演化（ｓｔａｔｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎ，ＳＥ）可知，
每一次迭代的背景狑狋是近似服从零均值高斯分布的。由于
中位数对异常值具有鲁棒性，可通过式（１６）从狓～狋＝狓＾狋＋狑狋中估计狑狋的噪声标准差：σ＾０狋＝１槡
ｌｎ２ｍｅｄｉａｎ（｜狓～狋｜）（１６）式中：ｍｅｄｉａｎ（｜狓～狋｜）表示对向量狓～狋的模求中位数，详细的证明在文献［１９］中已经给出，这里不进行过多的阐述。２．２．２　狆狋的估计使用奈曼皮尔逊（Ｎｅｙｍａｎ Ｐｅａｒｓｏｎ，ＮＰ）准则判决狓＾狋中的非零元素，并以此估计非零元素出现的概率狆狋。当狓～狋中的元素输出为噪声时，用假设犎０表示，当狓～狋中的元素输出为非零元素时，用假设犎１表示：犎０：｜狓～犻｜＝｜狑犻｜，　犻＝１，２，…，犖犎１：｜狓～犻｜＝｜狓＾犻＋狑犻｜，　犻＝１，
２，…，犖（１７）设置一个阈值γ狋，将｜狓～狋｜中超过阈值的元素视为狓＾狋的非零元素，将其余元素视为背景噪声（类似于复软阈值函数，但这里仅将其视为对狓＾狋中非零元素的初步估计）。在假设犎０下，｜狓～狋｜的概率密度函数为狆（｜狓～犻犎０）＝｜狓～犻｜σ２０狋ｅｘｐ－｜狓～犻｜２２σ２０（）
狋
（１８）则错误判决概率为
狆（犎１狘犎０）＝∫∞γ狋狘狓～犻狘σ２０
狋ｅｘｐ－狘狓～犻狘２２σ２０（）狋ｄ狘狓～犻狘＝ｅｘｐ－γ狋２２σ２０（）
狋
（１９）  将错误判决概率设为α，得到阈值γ狋：γ狋＝－２σ２０狋ｌｎ槡α（２０）基于现实需求，确保正确判决狓＾狋的非零元素是最重要的，即可以允许存在一定的错误判决，本文经验性地将α设为０．１。因此，狆狋的估计值为经判决为非零元素的个数与信号长度犖的比值：狆＾狋＝ｓｕｍ（１（｜狓～犻｜＞γ狋））犖（２１）式中：ｓｕｍ（·）为计数函数；１（·）为指示函数。２．２．３　狌狋与σ１狋的估计
由于稀疏信号服从的分布已经假定，通过最大似然估计（ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ＭＬＥ）得到μ狋与σ１狋的估计值。将大于阈值γ狋的元素｜狓～犻｜构成新的矢量χ，长度为犽＾。已知矢量χ的元素服从的分布为狆（χ）＝１２πσ２１槡狋ｅｘｐ－（χ－μ狋）２２σ２１烄烆烌烎狋（２２）假设各元素独立同分布，构造似然函数：犔（χ１，χ２，…χ犽＾；σ２１狋，狌狋）＝（２πσ２１狋）－犽＾２ｅｘｐ－∑犽＾犻＝１（χ犻－μ狋）２２σ２１烄烆烌烎狋（２３）  分别令 犔 σ２１狋＝０和 犔 μ狋＝０，得到参数μ狋与σ１狋的估计值：μ＾狋＝∑犽＾犻＝１χ犻犽
＾，σ＾２１狋＝∑犽＾犻＝１（χ犻－μ狋）２（２４）  至此，给出了所有未知参数的估计。将式（１４）改写为η＾ＭＭＳＥ狋（狓～）＝｜狓～｜σ＾２１狋σ＾２０狋＋σ＾２１烄烆烌烎狋×狆＾狋犳（｜狓～｜；μ＾狋，σ＾２０狋＋σ＾２１狋）（１－狆＾狋）犳（｜狓～｜；０，σ＾２０狋）＋狆＾狋犳（｜狓～｜；μ＾狋，σ＾２０狋＋σ＾２１狋）ｅｘｐ（犼 狓～）（２５）
２．３　犉犃犆犃犕犘频谱重构算法实现步骤
综上所述，ＦＡＣＡＭＰ频谱重构算法流程归纳为算法１所示。
算法１　ＦＡＣＡＭＰ频谱重构算法输入　非均匀采样慢时间信号狔′，感知矩阵犃′；输出　频谱狓的非稀疏估计狓～；初始化：狓＾０＝０，狕０＝狔′，狋＝１，狋ｍａｘ＝１００；步骤１　更新非稀疏估计狓～狋＝犃′Ｈ狕狋－１＋狓＾狋－１；步骤２　通过式（２０）计算阈值γ狋；步骤３　分别通过式（１６）、式（２１）、式（２４）计算估计值σ＾０狋，狆＾狋，σ＾１狋和μ＾狋；步骤４　更新中间变量狕狋＝狔′－犃′狓＾狋－１＋狕狋－１１δ η＾ＭＭＳＥ狋（犚） 狓（犚）（狓～狋）；步骤５　更新稀疏估计和迭代次数狓＾狋＝η＾ＭＭＳＥ狋（狓～狋），狋＝狋＋１；步骤
６　迭代终止条件若狋＞狋ｍａｘ或狓＾
狋＋１－狓＾狋２２／狓＾狋２２＜１０－５终止迭代，否则执行步骤１至步骤５的循环操作。算法１
中， η＾ＭＭＳＥ狋（犚） 狓（犚）表示对狓～狋的实部求偏导，这里选择忽略虚部的偏导是因为复数信号的结构化特征，即实部与虚部同时为零或同时为非零［２０］。由于η＾ＭＭＳＥ狋（狓～）是处处可导的，
通过简单计算可得： η＾ＭＭＳＥ狋（犚） 狓犚（狓～狋）＝σ＾２１狋σ＾２０狋＋σ＾２１
烄烆烌烎狋×狆＾狋犳２（１－狆＾狋）犳１＋狆＾狋犳２＋狓～狋（犚）狆＾狋（１－狆＾狋）（犳１犳′２－犳′１犳２）（（１－狆＾狋）犳１＋狆＾狋犳２）烄烆烌烎２（２６）式中：狓～狋（犚）表示狓～狋的实部，且犳１、犳２、犳′１、犳′２分别为犳１＝犳（狓～狋（犚）；０，σ＾２０狋），犳２＝犳（狓～狋（犚）；μ＾狋，σ＾２０狋＋σ＾２１狋），犳′１＝ 犳（狓～狋（犚）；０，σ＾２０狋） 狓（犚），犳′２＝ 犳（狓～狋（犚）；μ＾狋，σ＾２０狋＋σ＾２１狋）
狓（犚）（２７）
　·１
２４０　·系统工程与电子技术第４６卷                                                  　至此，本文给出了ＦＡＣＡＭＰ频谱重构算法的实现步骤。下面对比现有算法对实测数据的处理结果，分析ＦＡＣＡＭＰ频谱重构算法的重构性能。３　实验与分析为验证所提算法的有效性，本文采用某ＯＴＨＲ海面回波实测数据进行
验证分析。数据的脉冲数量为犖＝５１２，在距离维度截取了８０个距离单元。通过ＦＦＴ进行相参积累，得到完整信号的距离多普勒（ｒａｎｇｅＤｏｐｐｌｅｒ，ＲＤ）图，如图２所示。幅度单位已转换为ｄＢ，为更好展示实验结果，值域范围设置为２３０～２９０ｄＢ，图中包含强海杂波和３个目标，分别标注为目标１、目标２和目标３，目标参数设置如表１所示，其中信噪比表示相参积累后的信噪比，由于目标频率均未设置在网格点上，各目标的相参积累增益不同。图２　完整回波信号ＲＤ图
Ｆｉｇ．２　ＲＤｄｉａｇｒａｍｏｆｃｏｍｐｌｅｔｅｅｃｈｏｓｉｇ
ｎａｌ表１　目标参数设置犜犪犫犾犲１　犜犪狉犵犲狋狆犪狉犪犿犲狋犲狉狊狊犲狋狋犻狀犵参数目标１目标２目标３信噪比／ｄＢ２６．５１７２０．４５４２９．５１５相参积累增益／ｄＢ２５．９３４２６．０８４２６．５５１频率／Ｈｚ１．１６０２．１１６－０．７９５
实验测试包括频谱重构结果、采样信号数量对重构精度的影响、算法复杂度分析和目标检测性能分析４个方面。对比算法分别为补零ＦＦＴ法、正交匹配追踪（ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｃ ｈｉｎｇｐｕｒｓｕｉｔ，ＯＭＰ）［１５１６］法、自适应复近似消息传递（ａｄａｐｔｉｖｅｃｏｍｐｌｅｘａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｍｅｓｓａｇｅｐａｓｓｉｎｇ，ＡＣＡＭＰ）［１９］法、奇异值阈值算子的鲁棒主成分分析（ｒｏｂｕｓｔｐｒｉｎｃｉｐａｌｃｏｍｐｏｎｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇ，ＲＰＣＡ ＳＶＴ）［１８］法和非精确增广拉格朗日乘
数（ｉｎｅｘａｃｔａｕｇｍｅｎｔｅｄＬａｇｒａｎｇｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ，ＩＡＬＭ）［９］法，参数设置与原文献保持一致。其中ＯＭＰ、ＡＣＡＭＰ和ＦＡＣＡＭＰ为ＣＳ重构算法，ＲＰＣＡ ＳＶＴ与ＩＡＬＭ为ＬＲＭＲ算法。３．１　频谱重构结果
分别将降采样率δ设置为０．５和０．７８，对应有效采样脉冲个数分别为犕＝２５６和犕＝４００，采样方式为随机采样。图３展示了当犕＝２５６时，
通过各算法重构的ＲＤ图，图４为第１３个距离单元（目标３）的频谱。图５展示了当犕＝４００时，通过各算法重构的ＲＤ图，图６为第４６个距离单元（目标２）的频谱。对重构的目标所在位置进行了标注。
从图３、图４可知：当犕＝２５６时，ＯＭＰ、ＡＣＡＭＰ、ＦＡ ＣＡＭＰ能够较好地实现频谱重构，补零ＦＦＴ、
ＲＰＣＡ ＳＶＴ和ＩＡＬＭ的重构性能欠佳。其中ＯＭＰ重构信号是不连续的，因为背景中包含许多零值，而ＡＣＡＭＰ和ＦＡＣＡＭＰ则能够较好地同时实现目标、海杂波与噪声的重构。从图５、图６可知：当犕＝４００时，除补零ＦＦＴ外的所
有算法均能实现信号与海杂波的重构。其中ＲＰＣＡ ＳＶＴ
重构的ＲＤ图含有较多的虚假重构点，ＩＡＬＭ、ＡＣＡＭＰ与ＦＡＣＡＭＰ的重构效果相对较好，与原信号频谱最为接近。此外，根据近似消息传递的状态演化分析［３２］，ＦＡＣＡＭＰ重构的噪声信号与原信号一样，均服从零均值高斯分布。

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