多分类逻辑回归公式和参数求解方法
多分类逻辑回归（Multinomial Logistic Regression）是一种用于多类别问题的分类算法，它通过将多个二分类逻辑回归模型组合起来，来进行多分类任务。
多分类逻辑回归的公式如下：
对于第 k 类样本，我们定义其对应的概率为：
P(y=k|x) = exp(Wk * x) / sum(exp(Wj * x))
其中，Wk 表示第 k 类的参数，x 是输入样本特征向量。
这些概率之和为1，我们可以根据这些概率来预测样本的分类。
参数求解方法主要有两种，一种是基于概率的最大似然估计（Maximum likelihood estimation, MLE），另一种是基于优化算法的迭代方法。
1. MLE 方法：
假设我们有 N 个样本，每个样本都有 C 类，对于第 i 个样本，它的真实分类是 Yi。我们可以将其转化为一个 one-hot 向量形式，即第 Yi 位为 1，其余位为 0。
对于第 i 个样本，我们可以计算出它属于每个类别的概率 P(y=k|x)。然后，我们可以使用极大似然估计的方法，最大化样本集的对数似然函数。具体来说，我们可以最大化所有样本的对数似然函数之和：
L = sum(log(P(yi=k|xi)))
这个问题可以通过梯度上升法进行求解。
2. 迭代方法：
另一种参数求解方法是通过迭代算法，比较常用的有随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent, SGD）和牛顿法（Newton's method）等。正则化逻辑回归模型
迭代算法的思想是通过不断迭代更新参数来逼近最优解。其中，SGD 是一种基于一阶导数的优化方法，牛顿法则是一种基于二阶导数的优化方法。
对于 SGD，它的迭代更新公式为：
Wk = Wk + α * ∑(P(yi=k|xi) - (yi=k)) * xi
其中，α 是学习率，表示每次迭代更新的步长。
对于牛顿法，迭代更新公式为：
Wk = Wk - H^-1 * (∑(P(yi=k|xi) - (yi=k)) * xi + λ * Wk)
其中，H 是 Hessian 矩阵，λ 是正则化项系数，Wk 表示第 k 类的参数。
通过不断迭代更新参数，直到满足停止条件，我们可以得到多分类逻辑回归模型的参数解。

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