第27卷㊀第11期2023年11月
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电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报Electri c ㊀Machines ㊀and ㊀Control
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Vol.27No.11Nov.2023
㊀㊀㊀㊀㊀㊀基于机器学习正则化理论的永磁同步电机转矩
跟踪型MTPA 控制方法
漆星,㊀郑常宝,㊀曹文平,㊀张倩
(安徽大学电气学院，安徽合肥230601)
摘㊀要：内置式永磁同步电机(IPMSM )中的最大转矩电流比控制(MTPA )是交流电机控制中的经典问题㊂电动汽车用IPMSM 要求其控制策略不仅能够满足MTPA ，还能够精确地跟踪转矩指令㊂为解决这一问题，引入机器学习中的正则化理论，将传统的MTPA 控制问题转化成机器学习中的L 1㊁L 2正则化问题进
行求解㊂首先将MTPA 控制问题等效为机器学习中的L 2正则问题，再对上述L 2正则问题中的转矩约束条件进行L 1正则转矩建模，从而实现对IPMSM 的转矩跟踪；最后使用拉格朗日对偶方法，对正则化后的MTPA 问题进行最优化求解㊂理论分析和试验结果表明，将IPMSM 中的MTPA 控制问题转化为正则化问题求解后，可以得到兼顾最大转矩电流比和高转矩跟踪精度的最优电流分配方案㊂所提方法结构简单㊁易于解释，还可以避免由于模型误差和电感饱和特性而造成的性能降低，从而融合了模型驱动法和数据驱动法的优势㊂
关键词：内置式永磁同步电机；最大转矩电流比；转矩跟踪；机器学习；正则化；拉格朗日对偶DOI :10.2023.11.014
中图分类号:TM351
文献标志码:A
文章编号:1007-449X(2023)11-0138-11
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收稿日期:2022-03-17
基金项目：国家自然科学基金(51507001)
作者简介：漆㊀星(1985 )，男，博士，讲师，研究方向为电机控制中的人工智能技术;
郑常宝(1963 )，男，博士，教授，博士生导师，研究方向为交流电机及其控制㊁电力电子技术；曹文平(1969 )，男，博士，教授，博士生导师，研究方向为交流电机及其控制㊁电机故障诊断；张㊀倩(1984 )，女，博士，教授，博士生导师，研究方向为交流电机及其控制㊁电机优化设计㊂
通信作者：漆㊀星
Torque-tracking MTPA control strategy of permanent magnet synchronous motors based on machine learning regularization theory
QI Xing,㊀ZHENG Changbao,㊀CAO Wenping,㊀ZHANG Qian
(College of Electrical Engineering,Anhui University,Hefei 230601,China)
Abstract :Maximum torque per ampere (MTPA )in internal permanent magnet synchronous motor (IPMSM)is a classical problem in AC motor control.The control strategy of IPMSM for electric vehicle not only need to achieve the MTPA,but also need to accurately track the torque commands.In order to
solve above problem,a regularization concept from machine learning theory was introduced to transform the traditional MTPA problem into L 1and L 2regularization issues.Firstly,the MTPA control problem is equivalent to the L 2regularization issue,and then the L 1regularization torque modeling was carried out for the torque tracking.Finally,the Lagrange dual method was used to optimize the above regularization-based MTPA problem.Theoretical and experimental analysis show that the proposed method can achieve an optimal current distribution scheme which both the maximum torque current ratio and the high torque
tracking accuracy can be considered.Moreover,the proposed method solves the problem in a simple and
analytical manner,and the solution is easy to be interpreted.Thus,it combines the advantages of model-
driven and data-driven methods.
Keywords:interior permanent magnet synchronous motor;maximum torque per ampere;torque tracking; machine learning;regularization;Lagrange duality
0㊀引㊀言
内置式永磁同步电机(interior permanent magnet synchronous motor,IPMSM)由于其高效㊁高功率密度㊁宽调速范围等优点，在工业控制领域中大量应用㊂IPMSM本身具有的凸极性可以产生磁阻转矩，相较于表贴式永磁电机具有更高的动力输出㊂然而,IPMSM的凸极性会使得电机内部的交㊁直轴电感不一致，进而引出IPMSM控制中的交㊁直轴电流分配问题㊂在实际工程中，为减小损耗㊁最大限度地利用磁阻转矩，一般采用最大转矩电流比(maximum torque per ampere,MTPA)方式对IPMSM中的交㊁直轴电流进行分配[1]㊂
近年来，一些特定领域的高速发展对IPMSM中的MTPA控制策略提出新的需求㊂例如，在电动汽车㊁数控机床等应用领域，其IPMSM中的MTPA控制策略不仅要求能够出满足最大转矩电流比的最优交-直轴电流，还要求能够精确地跟踪转矩指令，称为转矩跟踪型MTPA控制㊂在已知给定转矩指令的条件下，如何使得电机的实际输出转矩与指令转矩保持一致，也是转矩跟踪型MTPA控制策略研究中需要解决的问题㊂
现如今主流的MTPA方法主要分为模型驱动法和数据驱动法两类㊂模型驱动方法是利用电机本身的电感㊁磁链等模型，或者是利用谐波注入㊁在线搜索等手段，通过公式解析的方法推导出IPMSM中交㊁直轴电流的最优设定值[2-4]㊂模型驱动法具有结构简单㊁容易实现和易于解释的特性，其缺点在于使用的是电机的近似模型而非精确模型，往往无法克服模型误差的问题，在处理电感中的交叉饱和效应时难度较大[5-6]，从而导致实际转矩跟踪精度下降，往往不能满足转矩跟踪型MTPA方法的要求㊂另一类MTPA方法主要基于电机实测数据，称为数据驱动法，具体而言，是搜集电机的有限元分析数据[7]或者电机离线测试数据[8]，再通过数据拟合或数据挖掘的方法建立MTPA问题的数据模型㊂数据驱动的方法不依赖电机的近似模型，并且在数据挖掘的过程中已经考虑了由于电感磁饱和或交叉磁饱和而引起的非线性，因此转矩跟踪精度优于模型
驱动方法㊂不过与模型驱动法使用的解析表达不
同，现有的数据驱动方法大多使用非解析的隐式表
达，例如神经网络㊁随机森林㊁支持向量机等[9-11]，或者以网格搜索的形式建立 转速-转矩-电流
形式查表并存储在电机控制器的MCU中[12]㊂相较于模型驱动方法，数据驱动方法虽然具有较高的转矩精度，但是存在数据结构复杂㊁算法结果不易解释等缺陷㊂
以上两种方法都具有各自的优缺点，而迄今为
止还没有一种方法能够融合两种方法之间的优势,
从而实现算法简洁㊁结果精确的转矩跟踪型MTPA
控制㊂基于此，本文借鉴机器学习理论中的正则化
思想，研究一种将MTPA问题转化成机器学习理论
中的L1㊁L2正则化问题的方法㊂首先将MTPA控制
问题等效为机器学习中的L2正则问题，再对上述L2正则问题中的转矩约束条件进行L1正则转矩建模，最后使用拉格朗日对偶方法，对正则化后的MT-PA问题进行优化求解㊂理论分析和实验结果表明，将IPMSM中的MTPA问题转化成机器学习中的正则化问题后，可以得到兼顾最大转矩电流比和高转矩跟踪精度的最优解，从而满足转矩跟踪型MTPA 的需求㊂本文方法结构简单㊁模型易于解释，又避免由于模型误差和电感饱和特性而造成的性能降低，从而融合模型驱动方法和数据驱动方法的优势㊂
1㊀IPMSM的MTPA控制和机器学习正则化理论
1.1㊀IPMSM的数学模型与MTPA控制
假设IPMSM模型为线性，即交㊁直轴电感为恒
值，并忽略温度变化引起的电阻变化，则IPMSM在d-q轴坐标系下的电压方程为:
u sd=R s i sd+
dψsd
d t-ωeψsq;
u sq=R s i sq+
dψsq
d t-ωeψsd㊂
ü
þ
ý
ï
ï
ï
ï
(1)
式中:u sd㊁u sq为d-q轴电压;i sd㊁i sq为d-q轴电流; R s为定子电阻;ωe为电角频率;ψsd和ψsq分别为d-q 轴磁链，其中:
931
第11期漆㊀星等：基于机器学习正则化理论的永磁同步电机转矩跟踪型MTPA控制方法
ψsd =L d i sd +ψf ;ψsq =L q i sq ㊂
}
(2)
其中:L d ㊁L q 分别为d㊁q 轴电感;ψf 为永磁体磁链㊂
IPMSM 的转矩方程为
T e =3
2
n p [ψf i sq +(L d -L q )i sd i sq ]㊂
(3)
式中n p 为电机的极对数㊂
MTPA 控制方法是IPMSM 控制中较为常用的
方法，其目的是以最小铜损实现IPMSM 的最大转矩控制，以输出电流最小为优化目标，可将传统的模型驱动MTPA 控制方法用数学描述为:
min(i 2sd +i 2
sq );
<
T e =3
2p [ψf i sq +(L d -L q )i sd i sq ];
i
2
sd
+i 2
sq
ɤi
2smax
㊂
}
(4)
对式(4)使用拉格朗日乘子法，可将其等效为L (i sd ,i sq ,λ)=i 2sd +i 2
sq +λ{T e -1.5p [ψf i sq +
(L d -L q )i sd i sq ]}㊂(5)
式中:L (㊃)表示拉格朗日函数;λ为拉格朗日
乘子㊂
对式(5)求偏导，最终可得最优的d -q 轴电流的设定值为:
i sd =-ψf +ψ2
f
+4(L d -L q )2i 2sq
2(L d -L q );i sq =
i 2smax
-i sd ㊂
üþý
ï
ï
ïï(6)
可以看出，使用式(3)~式(6)的MTPA 方法需要预知电机的转矩模型，以及ψf ㊁L d 和L q 等模型参数，考虑到模型的非线性和电感的交叉饱和特性，实际电机运行过程中ψf ㊁L d 和L q 的精确值往往难以获得，因此模型驱动方法通常只能获得最优电流值的近似解而非精确解，从而影响到最终的转矩跟踪精度㊂同时，传统的MTPA 控制问题为转矩开环的电流分配问题㊂例如，从式(3)~式(6)可知,i sd ㊁i sq 的选取只与实际输出转矩T e 有关，与指令转矩无关,
因此不能构成指令转矩闭环的转矩跟踪控制㊂1.2㊀机器学习中的正则化理论
由于本文方法是建立在机器学习中的正则化理论上的，因此本节对正则化理论进行简要介绍㊂机器学习中的正则化理论是通过最小化系数矩阵来降低学习器训练过程中存在的泛化误差，防止学习器陷入过拟合㊂同时，正则化理论可将特征选择和学习器的训练过程融为一体，即在学习器训练过程中自动进行特征选择[13]㊂
给定数据集D ={x ,y ɪR |(x 1,y 1), ,(x n ,
y n )}，以线性回归模型为例，未正则化时，学习器的最小化训练损失函数为
arg min w {ðn
i =1
(y i -w T x i )2}㊂
(7)
而正则化后，学习器的最小化训练损失函数为arg min w {ðn
i =1(y i -w T x i )2+λ w  P }㊂(8)
式中:w =[w 1,w 2, ,w n ]为线性回归模型的系数矩阵; ㊃ P 表示P 范数;λ为拉格朗日乘子㊂可以发现，加入正则项后，使得系数矩阵w 最小也是其优化训练损失函数的目标㊂
称P =1时的式(8)求解问题为L 1正则问题，其中系数矩阵w 的L 1范数为
w  1=|w 1|+|w 2|+ +|w n |㊂
(9)
称P =2时的式(8)求解问题为L 2正则问题，其中系数矩阵w 的L 2范数为
w  2=w 21+w 22+ +w 2
n ㊂
(10)
L 1正则和L 2正则在特征选择上的区别如图1所示，其中椭圆和菱形(圆形)区域的切点就是目标函数的最优解㊂可以发现L 1正则和L 2正则都有助于降低过拟合的风险，然而L 1正则中，均方误差(mean square error,MSE)等高线和L 1范数的交点大多在某项坐标轴上，这表明L 1正则更倾向于获得多项系数为0的稀疏模型，以使模型具有结构简洁㊁易于解释的特性；而在L 2正则中,MSE 等高线和L 2
范数的交点大多不在坐标轴上，这表明L 2正则更倾向于获得各项系数尽可能小的精确模型，以使模型具有高精确性[14]㊂在本文的方法中，将会综合使用L 1和L 2正则技巧，从而使得本文方法兼具简洁性㊁易解释性和高精确性的优势㊂
图1㊀L 1和L 2正则化示意图
Fig.1㊀Demonstration of L 1and L 2regularizations
41电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀
2㊀基于正则化理论MTPA 控制方法
2.1㊀转化为L 1和L 2正则问题的MTPA 控制方法
本节将IPMSM 的MTPA 问题转化为L 1和L 2正则化问题，并给出方法的总体框架㊂若考虑转矩指令跟踪精度的要求，则可将转矩跟踪精度作为优化目标，即IPMSM 的转矩跟踪MTPA 问题可重写为以转矩跟踪精度为目标的电流最优分配问题，即:
argmin i s (T ref e -T e )2
;
<
T e =f (i s );
i s  2ɤi 2smax ㊂
}
(11)
式中:T e 表示电机实际输出转矩;T
ref
e
表示指令转矩;
i s ={i sd ,i sq }为d -q 轴电流的向量表示㊂再使用拉格朗日松弛法，可得式(11)的等价形式为
MTPA  argmin i s {(T
正则化相位跟随代码
ref e
-T e )2
+λ( i s  2-i 2smax )} argmin i s [(T ref e -T e )
ü
þ
ýïïïMSE
2
+λ i s  2}
L 2REG
]㊂(12)至此得到了式(8)所示的MTPA 的L 2正则等价形式，根据1.2节正则项的定义，其中转矩误差项MSE 保证了转矩跟踪精度最优特性，而正则项L 2REG 使得输出电流最小，使其具有最大转矩电流比特性，从而兼具了转矩跟踪精度和MTPA 的要求㊂
事实上，可将式(3)代入式(12)中的约束项T e =f (i s )，则可将式(12)中转化为模型驱动的转矩跟踪型MTPA 问题进行求解㊂然而，根据1.1节分析，由于ψf ㊁L d 和L q 的参数真实值往往未知，并且ψf ㊁L d 和L q 还可能存在着非线性和交叉饱和问题，使用模型驱动求解方法往往无法获得理想的转矩跟踪精度㊂因此，本文将采用数据驱动的L 1正则化方法进行转矩模型T e =f (i s )的求解㊂由此得到的最终模型为:
MTPA  argmin i s {(T ref
e
-T e )2
+λ i s  2},L 2正则;
<
T e =f (i s ),L 1正则;
i s  2ɤi 2smax ㊂}
(13)
或简写成
MTPA  arg min i s {(T ref e -f (i s )üþýïïïL 1正则
)
2
+λ i s  2üþ
ýïïïïïïïïïïL 2正则
-λi 2smax }㊂
(14)
由此，便可以将转矩跟踪型MTPA 控制问题转
化成机器学习中的L 1㊁L 2正则化问题㊂其中L 2正
则可以保证算法结果的精确性，而L 1正则可以保证
算法结构的简洁性和可解释性㊂
在实践中，本文研究方法的实际操作可分为离线测试阶段和在线调节阶段，如图2所示㊂具体步骤为:
1)在离线阶段采集电机的测试数据，包括不同转速下的转矩T e ㊁d 轴电流i sd 和q 轴电流i sq ;
2)将步骤1中采集的数据存储至数据池中，并建立电机转矩的L 1正则模型，具体方法由2.2节
给出;
3)将步骤2中建立的L 1正则转矩模型代入
式(14)中的L 2正则MTPA 问题，并使用拉格朗日对偶原理求解最优拉格朗日乘子λ，具体方法由2.3节给出;
4)在求出步骤3中的最优λ后，使用优化理论
完成最优i sd 和i sq 的求解，从而实现在线的转矩跟踪型MTPA 控制
㊂
图2㊀基于L 1、L 2正则化问题的MTPA 控制框图Fig.2㊀MTPA control block based on L 1and L 2
regularization
2.2㊀基于L 1正则问题的转矩建模
本节分析式(13)㊁式(14)中，基于L 1正则化理论的转矩建模方法㊂首先借鉴传统转矩模型的结构建立字典库，再基于字典库，采用L 1正则化理论中的LASSO 回归方法建立结构最优的数据驱动转矩模型，使得建立的转矩模型兼具精确性㊁简洁性和可解释性㊂具体步骤为:
1)采集电机的台架测试数据{T e ,i sd ,i sq };
2)建立数据驱动的转矩模型结构为T e =
ΞΘ(i s )，其中,Ξ=[ξ1, ,ξn ]为模型系数矩阵,Θ(i s )为在转矩模型中有可能出现的i sd ㊁i sq 的组合，称之为字典库[15]㊂借鉴式(3)中传统的转矩模型结构，认为Θ(i s )中的字典复杂度不会超过i s 的二次型结构，即
Θ(i s )=[1
i P1s i P2s ]=
[1
i sd
i sq i 2sd i 2sq
i sd i sq ]㊂(15)
1
41第11期漆㊀星等：基于机器学习正则化理论的永磁同步电机转矩跟踪型MTPA 控制方法
式中i P1s ={i sd ,i sq }和i P2s ={i 2sd ,i 2
sq ,i sd i sq }分别表示
i s 内部元素的一次型和二次型结构㊂则模型的展开式为
T e =ΞΘ(i s )=
ξ1+ξ2i sd +ξ3i sq +ξ4i 2sd +ξ5i 2
sq +ξ6i sd i sq ㊂
(16)
3)使用L 1正则化理论中的LASSO 回归[16]进行最优模型系数ξ∗1~ξ∗
6的求解，表示为
LASSO Ξ=arg min ξ∗i
{(ð6
i =1
ξi Θ(i s )-T e )2+λ i s  1}㊂
(17)
由1.2节分析可知，使用L 1正则可以获得稀疏的最优系数矩阵Ξ∗=[0, ,ξ∗k , ,0]，即式(16)模型中大部分系数为0，如图3所示，由此获得的数
据驱动转矩模型具有结构简洁㊁易于解释的特性
㊂
图3㊀基于L 1正则化的转矩建模
Fig.3㊀Torque modelling based on L 1regularization
4)求得最优稀疏系数矩阵Ξ∗后，代入式(14),
最终可将IPMSM 的MTPA 问题转化为
MTPA  arg min i s {[T ref e -Ξ∗Θ(i s )]
2
+λ( i s  2-i 2smax )}㊂
(18)
式中:i s =(i sd ,i sq )为需要求解的d -q 轴电流值;λ为未知参数㊂
2.3㊀使用拉格朗日对偶求解最优参数
对式(18)进行分析可知,λ的选择会影响到最优i sd ㊁i sq 的求解：过低的λ值会导致过大的i s 绝对值，而过高的λ值会导致过大的转矩跟踪误差，如图4所示㊂因此在求解最优i sd ㊁i sq 前，须先确定最优λ值，记为λ∗㊂
针对上述问题，本节使用拉格朗日对偶方法[17]求解λ∗，步骤如下：首先引入拉格朗日函数L (i s ,λ,i smax )，表达
式为
L (i s ,λ,i smax )=(T ref e -Ξ∗Θ(i s ))
2
+λ( i s  2-i 2smax )㊂
(19)
图4㊀λ的选择对最优i sd 、i sq 的影响Fig.4㊀Selection of λand its effect to i sd and i sq
则可将式(18)重写为
MTPA  min i s min λL (i s ,λ,i smax )㊂(20)
则与之对应的拉格朗日对偶问题为MTPA  min i s min λL (i s ,λ,i smax )
min λmin i s L (i s ,λ,i smax )=min λmin i s [(T ref e -Ξ∗Θ(i s ))
2
+λ( i s  2-i 2smax )]㊂
(21)
再令g (i s ,λ)=(T ref e -Ξ∗Θ(i s ))2+λ i s  2
,
对g (i s ,λ)以i sd ㊁i sq 为自变量求偏导，并令其为0，记为:
g (i s ,λ)
i sd
[
]
i sd
=-(T ref
e
-Ξ∗
Θ(i s )) Ξ∗Θ(i s ) i sd
+λi sd =0; g (i s ,λ) i sq
[]
i sq
=-(T ref e -Ξ∗
Θ(i s
)) Ξ∗
Θ(i s ) i sq
+λi sq =0㊂
ü
þýï
ïï
ï
ïïïï(22)
对式(22)求解可得i sd ㊁i sq 基于λ的表达式，记
为i sd (λ)和i sq (λ)㊂再将i sd (λ)和i sq (λ)代入式(18)，可将式(18)转化为最优λ∗求解问题，表示为
min λ{[T ref e -Ξ∗Θ(i sd (λ),i sq (λ)]
2
+λ[i sd (λ)2+i sq (λ)2-i 2smax )]}㊂
(23)
对式(23)进行求极值，可求得最优λ∗，将λ∗
代入式(18)，便可求解式(18)中的L 2正则问题，进而可使用牛顿法或单纯形法[18]等经典优化算法得
到最优值i ∗sd 和i ∗
sq ㊂
241电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀

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