收稿日期：2021-01-15
基金项目：大庆市指导性科技计划项目（2020zd ）.
作者简介：徐磊，女，山东济宁人，黑龙江八一农垦大学理学院教师；张虹，高德宝，宋千红，张彩霞，邵云虹，黑龙江八一农垦大
学（黑龙江大庆163000）.
2021年第6期
第42卷总第315
期
学报
不适定问题的Landweber 迭代
正则化方法研究
徐
磊，张
虹，高德宝，宋千红，张彩霞，邵云虹
摘要：文章研究了解决不适定问题的Landweber 迭代正则化法.证明了Landweber 迭代正则化法
的收敛性，并且利用Landweber 迭代正则化法解决反向热传导问题.
关键词：不适定性；Landweber 迭代；正则化中图分类号：O17
文献标志码：A
文章编号：1008-7974（2021）06-0036-04
DOI ：10.13877/jki22-1284.2021.06.007
近年来数学知识不断深入到诸多领域，而这些领域的发展都体现出了由问题结果反推问题原因，此类问题即为反问题.反问题大部分都具有不适定性，众多学者发现对于不适定问题可以用正则化理论很好地解决.正则化包括Tikhonov 正则化、迭代正则化和elastic-net 正则化等.Tikhonov 正则化是最著名的正则化方法.迭代正则化方法是Tikhonov 正则化的一种很好的替代方法.1951年，LAND⁃WEBER
［1］
首次提出利用Landweber 迭代法求
解线性不适定方程.迭代求解这种方程x k =x k -1+a ()y -Tx k -1,k ∈N .MARTIN 等人［2］证明了
Landweber 迭代法是求解非线性不适定问题的
一种稳定方法.对于噪声水平的扰动数据δ提出了一个停止规则，在适当的条件下产生收敛速率O ()
δ1
2
.
李中锋［3］利用Landweber 迭代方法研究了含对流项的反向热传导问题和Helmholtz 方程Cauchy 问题.通过数值例子表明所用的方法是稳定可行的.刘霄［4］利用Landweber 迭代法解决了分数阶反应扩散方程的未知源识别问题、非齐次分数阶反应扩散方程的反演初值等不适定问题.并给出了相应的后验正则化方法.本文主要考虑Landwe⁃ber 迭代正则化方法，研究其方法的收敛性.并利用Landweber 迭代方法求解反向热传导问题
.
徐磊，等：不适定问题的Landweber 迭代正则化方法研究
1预备知识
讨论线性算子方程的适定性和不适定性，
不适定性是指数学问题不满足Hadamard ［5］定义的适定性，即以下性质之一不成立：
①问题的解存在；②问题的解唯一；
③问题的解连续依赖于定解条件.考虑不适定线性算子方程
Ax =y ，
（1）
其中：
x 在某个标准正交基下是稀疏的，A 是有界线性算子.事实上，y 不能准确得到，而只
能得到它的近似观测值y δ，满足
y
-y δ≤δ，
称y δ为带有噪声的数据，δ为噪声水平.式（1）
的不适定性意味着解决方案不会仅依赖于数据.因此，它们需要被正则化，以消除解的合理近似.
定义1
［6］
设A :X →Y 是赋范线性空间X
到赋范线性空间Y 的一个线性算子.方程Ax =y
是适定的，若A 是一个双射且逆算子A -1:Y →X 是连续的.否则称为不适定的.
定义2［6］若有一族有界线性算子R α:Y →X ,α>0，
称其为式（1）的正则化解算子，若满足lim α→0R αKx =x ，并且对所有x ∈X 成立，称α为正则化参
数.
定义3对任何一个函数f ()t 都可以通过某种操作变为另一种对应函数F ()w .因此这一函数称为连续傅里叶变换
F ()w =ψ()f ()t =
∫
-∞
+∞f ()t e
-iwt
d t ，
称F ()w 是f ()t 的象函数，称f ()t 是F ()w 的原象函数.||F ()w 为f ()t 的振幅谱.得到振幅谱
后，将其逆变换，即f ()t =ψ-1()f ()w =
1
2π
∫-∞
+∞F ()w e -iwt d w ，
称其为连续傅里叶变换的逆变换.
定理1［7］若y ∈D ()T +，那么当k →∞时，x k →T *y .若y ∉D ()T +，
那么当k →∞时,
x k
→∞.
2
主要内容
2.1
Landweber 迭代正则化方法的收敛性Landweber 迭代提供了一个初始值x *，其
作用与Tikhonov 正则化相同，使用x δ0=x *
迭
代计算进一步的近似{}x δk ，即x δk +
1
=x δk +T *
()y δ-Tx δk -
1
,k ∈N .（2）
在式（2）中的T *前面引入一个参数0<a <
T -2
，进行迭代x δk +
1
=x δk +aT *()y δ-Tx δk -1
,k ∈N .
这与式（2）乘以a 并迭代效果相同.接下来我们考虑Landweber 迭代正则化方法的收敛性.
定理2令y ∈R ()T ，考虑对于Tx =y 的任意解x ，如果  y δ-Tx δk >δ，用k 表示迭代的终止指数.那么就有
x +
-x δk +1
2
<  x +
-x δk 2
.
证明我们估计
x
+
-x δk +
1
2
-
x
+
-x δk 2
=
x
+
-x δk -T *T ()
x +
-x δk 2-  x
+
-x δk 2=
x +-x δk -T *()
y δ
-Tx δk 2
-
x
+
-x δk 2
=
x
+
-x δk 2
+
T *()
y
δ
-Tx δk 2
-
2x +-x δk ,T *()
y δ-Tx δk -
x +
-x δk 2
=
T *()
y δ-Tx δk 2
-2x +-x δk ,T *()
y δ
-Tx δk =y δ-Tx δk ,TT *y δ
-Tx δk
-
2021年
第6
期
学报
2x +-x δk ,T *()
y δ
-Tx δk =-2y -y δ,y δ-Tx δk
-
y
δ
-Tx
δ
k
2
+
y δ-Tx δk ,()TT *-I ()y δ
-Tx δk .
（3）
由
于
()TT *-I ()
y
δ
-Tx δk <δ，
y δ-Tx δk ,()I -TT *()y δ-Tx δ
k >0，
y δ-Tx δk >δ，于是可以证明式（3）
x
+
-x
δ
k +1
2
-
x
+
-x
δk
2
<-δ<0.
2.2利用Landweber 迭代法解决反向热传导
问题
考虑一维反向热传导方程，即如下问题：考虑热方程
∂u ∂t ()x ,t =∂2
u
∂t
2()x ,t .首先提出
f ()t =u ()1,t ，对于t ∈R ，
其测量数据为
g ()t =u ()0,t ，对于t ∈R ，
并且测量数据的左边界Ω=[]0,1是绝热的，即
∂u
∂t
()0,t =0，
对于t ∈R .这里u 满足热方程，假设对于所有的x ∈[]0,1，u ()x ,⋅∈L 2()R ，可以这样来处理
这个问题，通过取傅里叶变换：对于v =v ()x ,t ，用v 表示对t 的傅里叶变换［8］
v ()x ,w =
1
2π
∫-∞
+∞e -iwt v ()x ,t d t ,w ∈R .
因为∂u ∂t =iwv ，
即有∂2u ∂x
2=iwu .于是可以得到
v ()x ,w =
cosh (
)
x iw f ()
w cosh
(
)
iw
,x ∈[]0,1,w ∈R ，
于是可以令
f ()w =cosh
(
)
iw g ()w ,w ∈R ，
（4）
因此，利用傅里叶反变换，即
f ()t =
1
2π
∫-∞
+∞f ()w e -iwt d w ，
可以得到由g 确定f 形式的解f ()t =
1
2π
∫-∞
+∞e -iwt cosh
正则化的缺点
(
)
iw g ()w d w .（5）
然而式（5）只在某种合理意义时才有意义，我们考虑利用Landweber 迭代正则化法求f ()t 的近似解，
由于f T =g 且T 是自伴算子，则有T *=T ，由式（4）可得
T *=T =-1
cosh
(
)
iw
，（6）
方程fT =g 可以写成f =f +T *()g -fT .从而写出Landweber 迭代式
f δk +
1
=f δk +T *()
g δ-f k T ,k ∈N ，（7）
在式（7）中的T *前面引入一个参数0<a <  T -2
，
即为步长.进行迭代f δk +
1
=f δk +aT *()
g δ-f k T ,k ∈N .
迭代f k 可以通过非递归的方式表示
f δk =a ∑i =1
k -1()I -T *T k
T *g δ.
通过式（6）可得
f δ
k =a I -()I -T *T k
A
g δ
，
从而得到
f δk =
a
2π
∫-∞
+∞e -iwt
I -()I -T *T k
T
g δ
d w .
于是利用Landweber 迭代法解决了反向热传导问题.
3结语
文章对不适定问题的Landweber 迭代正则
化方法进行了研究.证明了Landweber 迭代正
则化方法的收敛性.并且利用Landweber 迭代
徐磊，等：不适定问题的Landweber迭代正则化方法研究
正则化方法求解反向热传导问题.
参考文献：
［1］LAND W.An Iteration Formula for Fredholm In⁃tegral Equations of the First Kind［J］.Am J Math，1951，73（3）：615-624.
［2］MARTIN H，ANDREAS N，OTMAR S.A Conver⁃gence Analysis of the Landweber Iterationfor Nonlinear ill-posed Problems［J］.Springer-Verlag，1995，72：21-37.
［3］李中锋.两个数学物理反问题的Landweber迭代正则化方法［D］.兰州：兰州大学，2010：15-20.
［4］刘霄.几类不适定问题的Landweber迭代正则
化方法和算法［D］.兰州：兰州理工大学，2018：40-50.
［5］HADAMARD J，MORSE P M.Lectures on the Cauchy Problems in Linear Partial Differential Equations ［M］.New Haven：Yale University Press，2005：20-30.
［6］刘继军.不适定问题的正则化方法和应用［M］.北京：科学出版社，2005：45-50.
［7］HEINZ W，MARTIN H.Regularization of Inverse Problems［M］.The Hague：Kluwer Academic Publishers，1994，30-36.
［8］ANDREAS N.On Landweber Iteration for Nonlin⁃ear ill-posed Problems in Hilbert Scales［J］.Springer-Verlag，2000，85：309-328.
（责任编辑：陈衍峰）
Landweber Iterative Regularization Method for Ill-posed Problems
XU Lei，ZHANG Hong，GAO De-bao，SONG Qian-hong，ZHANG Cai-xia，SHAO Yun-hong （School of Science，Hei longjiang Bayi Agricultural University，Daqing163319，China）Abstract：A Landweber iterative regularization method for solving ill-posed problems is studied in this pa⁃per.The convergence of Landweber iterative regularization method is proved，and the reverse heat conduc⁃tion problem is solved by Landweber iterative regularization method.
Keywords：ill-posed problem；Landweber iteration；regularization

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