第33卷第3期2020年6月
Vol.33No.3
Jun.2020振动工程学报
Journal of Vibration Engineering
双约束非负矩阵分解的复合故障信号分离方法王华庆，王梦阳，宋浏阳，郝彦嵩，任帮月，董方
(北京化工大学机电工程学院"北京100029)
摘要：为了分离复合故障振动信号，提出了一种采用双约束非负矩阵分解算法的信号分离方法$首先对原始振动信号采用短时傅里叶变换，通过时频分布信息来描述信号的局部故障特征；其次在传统非负矩阵分解算法中引入仔散度约束与行列式约束，构成双约束非负矩阵分解算法，利用双约束非负矩阵分解算法实现数据的降维，并从低维空间中分离出特征分量；然后通过特征分量重构出时域波形，同时提出加权峰值因子的影响参数筛选重构信号；最后将筛选出的分离信号进行包络频谱分析，提取故障特征$仿真及轴承复合故障实验结果表明：所提出的方法可以有效分离并提取出外圈与滚动体冲击性特征，实现了轴承的复合故障诊断$
关键词：故障诊断；轴承；非负矩阵分解算法散度约束；行列式约束
中图分类号：TH165+.3；TH133.3文献标志码：A
DOI：10.16385/jki.issn.1004-4523.2020.03.018
文章编号：1004-4523(2020)03-0590-07
引言
基于振动信号分析法已被广泛地应用在机械设备的故障诊断中，因为振动信号通常包含设备运行状态的主要信息，且容易获取$复合故障表明多个故障同时出现，由于故障特征相互耦合，复合故障诊断方法相对较少，诊断难度较大$与单一故障条件相比，复合故障在实际应用中很常见，造成的危害更严重(1)$因此，有效地从振动信号中分离并提取出复合故障特征，对机械设备正常运行和系统健康管理具有重要意义$
对于包含多源信息的信号来说，通常可以采用变换域分解方法实现多源分量的分离$如：采用小波分解、经验模态分解、变分模态分解、稀疏分量分析等方法实现多源信号的分解［25］$非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization，NMF)作为一-种新的特征提取方法，其实现简单且分解形式和分解结果更具物理意义(6)，克服了一些传统算法的缺陷，在数字图像处理、机器学习、计算机视觉和信息检索等领域应用广泛$
随着研究的不断深入，NMF算法更多集中在盲源分离问题上。相比于独立分量分析和稀疏分量分析，非负矩阵分解需要的约束较少，收敛较快，分解效率更高$如在文献中，采用局部非负矩阵分解算法并结合内禀特征尺度分解，实现了轴承信号的盲分离；文献中研究了联合非负矩阵分解算法，通过增加稀疏性约束，实现了欠定模型下的盲源分离；文献［10］提出基于正则化约束的非负矩阵分解算法，成功分离了音乐混合信号$然而在旋转机械领域，由于轴承实际信号复杂，信噪比低，特征信息较微弱，多源分量信息相互干扰，传统NMF算法缺少相关约束，导致数据冗余性较大，特征提取的效果并不理想$综上，本文在传统非负矩阵分解算法中引入0散度约束与行列式约束，构成双约束非负矩阵分解算法模型，利用其局部学习能力，有效地将复合故障特征分量分离；同时构建加权峰值因子(Correlation Crest Factor，CCF)影响参数判别重构信号，减少信号的冗余成分$实际轴承复合故障数据分析结果验证了所提出方法的有效性，成功分离了轴承复合故障信号$
1NMF算法理论
非负矩阵分解的模型［11)可简单地描述为：对任意给定的非负矩阵V=［s,…，◎”)"R&%”，NMF 算法总能够出非负矩阵W"R&%'和H=(尼，…, (”)"R?"，满足下式
收稿日期=2018-11-11；修订日期：2019-05-10
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51675035)
第3期王华庆，等：双约束非负矩阵分解的复合故障信号分离方法591
!=W m X#r X n(1)
式中m为矩阵的维数，"为样本个数，'为矩阵的
秩。由于m#r，从而实现了矩阵维数的约减。自
NMF算法提出以来，已有大量文献针对损失函数，对
NMF算法进行优化改进。传统的NMF算法采用欧
式距离作为其损失函数，构成如下式的优化模型[12]
min||V-WH\I"=$"+-(WH(2)
+
式(2)的优化问题对于单独的矩阵W或矩阵H
来说，均是凸函数，但同时对于矩阵W和H却不是
凸函数$因此需采用乘性迭代算法交替求解，其迭
代更新规则如下
(VH8)-
(WHH8)-
(W
(W8WH)(3)
%$
因为在上述迭代规则下，欧式距离||!)WH\I"单调不增，所以当矩阵W和H达到最优点时，算法收敛。
2双约束NMF复合故障信号分离方法
2.1双约束NMF算法模型
NMF算法损失函数的选取由处理的数据类型及应用环境决定，在对多源信号特征提取的过程中，如果源
信号之间的相关性越差，则表现出来的局部性越强，分解降维效果就越好。在机械设备的故障诊断中，若源信号之间彼此特征信息差异不明显，那么分解降维后基向量就会存在冗余，导致重构信号不能完全表达故障特征。针对故障信号特征，选择0散度约束与行列式约束双重约束作为非负矩阵分解的损失函数。0散度约束可以减少数据结构上的限制，适应性更强；行列式约束可以保证矩阵分解时基矩阵W 的唯一性。双重约束有效地增强局部特征，更有利于后续信号的重构。0散度(13)的表达式如下
01+0——0"R/#1-dp(yo)=&/In——/+0，0=1
十一)十一1，0=0
⑷式中R/,,1}为不包含0和1外的实数$
由上式可知，对任意的0，均满足下式
d0(,X x)=X0d(y,x)(5)当0=0时，可知式(5)具有尺度移不变性，即与尺度"无关。这种尺度移不变性表明在进行NMF 算法分解时，幅度谱！中高、低能量成分拥有同等的权重值，而当0)0时，则过度依赖！中能量较高的成分，不利于耦合信号的分离，所以这里选择0=0$为了保证分解后的基矩阵W具有唯一性，同时 也为了得到更好的重构效果，增加行列式约束$定义由#个m维列矢量W1,W",…，"”张成的空间记为P(W)，则P(W)的体积可由下式表示
'槡det(W"T),m V#
vol(")=&det("),m=#(6)
|ydet(W"),m〉#
当wl(W)最小时，得到的对应矢量W1"2,…，"”可唯一确定$
将0的散度约束(0=0)与行列式约束作为非负矩阵分解算法新的目标函数，其表达式为
F(W,H)=d0=0(V,WH)+a・ol(P(W))(7)式中a为平衡参数，通常取值为1$
根据梯度下降法，得出迭代规则：
"%"(8)
H%H
W T[VCWH)_")
W t(wh)T
(9)
由于0散度约束与行列式约束是加入到NMF 算法目标函数优化方程中，所以通过梯度下降法不断迭代更新矩阵W和H，直到目标函数收敛，即可实现约束项的优化$具体算法步骤如下：
(1)随机初始化非负矩阵W,H；
(2)由式(7)计算目标函数初始值；
(3)根据式(8)和(9)，交替迭代更新矩阵W,H；
(=)若目标函数收敛则停止迭代，输出矩阵W, H；否则循环执行步骤(2)和(3)$
2.2加权峰值因子
峰值因子是用来检测振动信号中有无冲击的指标，反映了峰值在波形中的极端程度。相关系数可以表征两个信号的相似程度。考虑到这两个指标的优缺点，构建两个指标的综合影响参数称为加权峰值因子(Correlation Crest Factor,CCF)，定义如下：
CCF=C.CF
8=9(C o—x))y—y)
=E[(o—,)2]E[(/—-))
CF_max{o(#)}
(10)
(11)
(12)
式中CF(Crest Factor)为信号o(n)的峰值因子, 1为信号的长度C为信号0和y的相关系数,
592振动工程学报第33卷
E [・)代表数学期望$根据Schwartz 不等式，可知 ：C |. 1。因此，它可以看成是峰值因子的权重, 故CC
F 可称为加权峰值因子。由于滚动轴承的故 障为冲击性特征，相关系数可以反映重构信号与原
信号的相关性，所以根据式(10)可知CCF 值越大, 重构信号所包含的特征信息越丰富，更能表征故障
特征信号，故此值可作为筛选重构信号的标准$
2. 3双约束NMF 复合故障信号分离方法
基于上述分析，针对旋转机械中轴承复合故障 信号，提出了一种双约束非负矩阵分解的复合故障
信号分离方法，具体实现步骤如下，流程图如图1
所示。
(1) 对原始振动信号采用短时傅里叶变换
(STFT )，这里的窗函数选用常见的矩形窗，获得表 征局部信息的高维特征矩阵；
(2) 取特征矩阵的能量值，对其采用双约束
NMF 算法进行降维，得到基矩阵W 和系数矩阵H  ；
(3) 利用基矩阵W 和系数矩阵H 在低维空间
中重构，并采用短时傅里叶逆变换(ISTFT )将时频
信息变换到时域中，得到特征分量的重构波形；
(4) 计算每一个重构信号的CCF 值；
(5)筛选出CCF 值较大的重构信号进行包络频 谱分析，提取轴承的故障特征。
图1轴承复合故障诊断流程图
Fig. 1 Flow  chart  of  bearing  compound  fault  diagnosis
3仿真信号分析
为了验证所提出方法的特征分离效果，采用如
下的模型来模拟轴承复合故障的振动信号：
;()=e )2=
f #()
T )
sin (
!f n  槡 1 一 = (
<；一 ?))
13 )
%() = A (i  ()，2 ())T
(14)
式中 =o 0.
1为阻尼系数，源信号51( <)和；"( <)分
别取以下参数：固有频率f #分别取3000和
5000 Hz，特征频率f  = 1/T 分别取73和207 Hz，采 样频率f ；为100 kHz ，分析点数取0. 5 s 时间片段。
A  = [0.8147 ,. 9058]为一个随机产生的混合矩阵,
通过式(14)混合得到信号S ( <)，图2所示为混合信 号归一化后的时域波形图和包络频谱图。
(a)时域波形图
(b)包络频谱图
(b) Envelope  spectrum
图2仿真信号的时域波形图和包络频谱图
Fig. 2
Waveform  and  envelope  spectrum  of  simulated
signals
对于混合的仿真信号，采用所提出的方法进行 分析，首先通过短时傅里叶变换获得特征矩阵X ，对
其取能量值X 2 ；采用双约束NMF 算法对能量值矩
阵X 2降维分解，得到维数均为10的基矩阵W 和系 数矩阵H  ；将矩阵W 和H 在子空间重构，并采用短
时傅里叶逆变换将其变换到时域中，得到10组重构
信号；计算10组重构信号的CCF 值，如表1所示。
表1重构信号的CCF 值
Tab. 1 CCF  of  reconstructed  signal
123451. 08
0. 19
0. 270. 17
0. 20678
910
1. 144. 55
0. 183 .87
0. 16
由表1可知，第7组与第9组的CCF 值较大, 表明这两组重构信号中所包含的特征信息较丰富,
选择这两组重构信号作其包络频谱图，归一化处理
后如图 3 所示 $
从图3可以看出，包含于源信号的两种特征成
分73与207 Hz 经所提出方法处理后可以分离得 到。因此，从仿真信号的分析中可以得出结论，
本文
第3期王华庆，等：双约束非负矩阵分解的复合故障信号分离方法593
1.0,-------1
X:73.24
Y:1
0.5-
—100200300400
频率/Hz
(a)分离信号1
(a)Separated signal1500
承座上的加速度传感器对竖直方向的振动信号进行
采集，旋转机械的模拟实验台如图5所示，其中采样
频率为100kHz，采样时间为10s$将电机转速分
别设为1300和900r/min，根据轴承结构参数(如表
2所示)及下式计算得到滚动轴承各部件的理论特
征频率，如表3所示$
(b)Separated signal2
图3仿真信号的分离信号包络频谱图
Fig.3Envelope spectrum of the simulated separated
图5旋转机械实验台Fig.5Expe(imentalplatfo(m
signals
所提出的方法可以有效地从混合信号中分离得到源信号，在包络频谱中也可以提取源信号特征频率，验证了该方法的有效性。值得注意的是，当选择表1中第三大CCF值，即第6组信号进行重构，并作其包络频谱图，如图4所示。从图4中也可以发现207Hz及其高次谐波频率成分，与图3(b)相似，说 明原始信号已得到有效分离，同时也表明原始信号中仅包含两种特征频率成分。
表2滚动轴承结构参数
Tab.2Structure parameters of the rolling bearing 内径/mm外径/mm滚子数量接触角/() 2047100
1.0
養0.5X:207.5
Y:1
外圈缺陷特征频率
>o=A(1—.cos#)>r(15)
滚动体缺陷特征频率
九—(.cos#)2)>r(16)
式中A为滚动体个数.为滚动体直径，为轴承
外节圆直径，#为滚动体与保持架间的接触角，>r
为电机转频$
°0
X:413.5
7:0.7344
100200300400500
频率/Hz
图4第6组信号的包络频谱图
Fig.4EnvelopeGpectrum ofthegroup6
表3各部件的理论特征频率Tab.3Fault characteristic frequencies
转速/((・minT)-
特征频率/Hz
外圈滚动体130086101
9006074
0= 0
4应用实例
4.1实验验证与分析
为了验证所提出方法的有效性，采用实测的复合故障轴承信号为研究对象。利用线切割加工技术，分别
在轴承的外圈和滚动体上加工宽度为0.5 mm、深度为0.15mm的缺陷，轴承型号为NTN N204型圆柱滚子轴承$实验过程中，通过安置在轴
将模拟实验台采集到的1300r/min外圈与滚动体复合故障信号，截取0.5s数据片段作归一化处理后的时域波形图和包络频谱图如图6所示$从时域波形图可以明显看出冲击脉冲成分，表明该轴承已发生故障，但周期特性并不明显，无法获取轴承有用的状态信息$包络频谱图中，外圈缺陷特征可以明显识别出来，但滚动体缺陷特征被噪声成分淹没，难以识别。
根据所提出的方法，
对原始信号进行短时傅里
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图6原始信号时域波形和包络频谱图
Fig.6Waveform and envelope spectrum ofsignal
叶变换，得到129X392的特征矩阵X，对其取能量值X2；采用双约束NMF算法对能量值矩阵X2降维分解，得到维数均为10的基矩阵W和系数矩阵H；将矩阵W和#在子空间重构，并采用短时傅里叶逆变换将其变换到时域中，得到10组重构信号；计算10组重构信号的CCF值，如表4所示$
表4重构信号的CCF值
Tab.4CCF of reconstructed signal
12345
1.6821.9811.971
2.7611.03
678910
1.8211.03  5.9317.53  5.62
由表4可知，第2组与第9组的CCF值较大，表明这两组重构信号中所包含的特征信息较丰富，选择这两组重构信号作其包络频谱图，归一化处理后如图7所示$同时选择第三大CCF值(表4中第4组信号)信号作对比分析，包络频谱如图8所示$由图7可以看出"经所提出的方法处理后得到
两种源信号成分分别对应滚动体故障特征频率图7(a)和外圈故障特征频率图7(b)，这与理论计算出的特征值相吻合，并且各自的高次谐波成分也被明显地提取出来$另外，保持架特征频率(8Hz)也出现在包络频谱图7(a)中，且出现以保持架特征频率分布的故障特征频率的边频带，这与滚动体出现故障时的特征相一致$与图8对比可知，当选择第三大CCF值重构信号作包络频谱图时，和图7(b)相似，说明实验信号已得到有效分离，也表明实验信
(a)滚动体故障
(a)The roller fault
(b)外圈故障
(b)The outer-race fault
图71300r/mm分离信号包络频谱图
Fig.7Envelope spectrum of the separated signals with 1300r/m in
图8第7组分离信号的包络频谱图
Fig.8Envelope spectrum of the group7separated sig-nalG
正则化的约束条件
号中仅包含两种特征频率成分$所以，结果表明所提出的方法可以有效地从混合信号中分离出故障源信号，在包络频谱图中也可以提取出故障特征频率，验证了该方法在轴承复合故障诊断中的有效性$同样地，对900r/min外圈与滚动体复合故障数据进行验证$取0.5s数据片段作归一化后的时域波形图和包络频谱图如图9所示$采用所提出的方法对实验数据处理"得到归一化的包络频谱图如
图10所示$
根据图10可以发现，用所提出的方法处理后，可以分离得到与理论值相吻合的外圈故障和滚动体故障特征频率，并且各自的高次谐波也被明显地提取出来$验证了该方法在轴承复合故障诊断中的有效性$
4.2对比传统NMF算法
为了验证所提出方法在轴承复合故障诊断的优势，
与传统采用欧式距离模型的非负矩阵分解算法

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