ｄｏｉ：
１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３－３１１４．２０２４．０２．００４
引用格式：
胡亚婷，史恩宇，许柏恺，等．ＲＩＳ辅助去蜂窝大规模ＭＩＭＯ系统低复杂度预编码算法设计［Ｊ］．无线电通信技术，２０２４，５０（２）：
２４５－２５２．［ＨＵＹａｔｉｎｇ，ＳＨＩＥｎｙｕ，ＸＵＢｏｋａｉ，ｅｔａｌ．ＬｏｗＣｏｍｐｌｅｘｉｔｙＰｒｅｃｏｄｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍＤｅｓｉｇｎｆｏｒＲＩＳ ａｉｄｅｄＣｅｌｌ ｆｒｅｅＭａｓｓｉｖｅＭＩＭＯＳｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＲａｄｉｏＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０２４，５０（２）：２４５－２５２．］
ＲＩＳ辅助去蜂窝大规模ＭＩＭＯ系统低复杂度预编码算法设计
胡亚婷，史恩宇，许柏恺，郑家康，章嘉懿，艾　渤
（
北京交通大学电子信息工程学院，北京１０００４４）摘　要：构思了一种智能超表面（ＲｅｃｏｎｆｉｇｕｒａｂｌｅＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＳｕｒｆａｃｅ，ＲＩＳ）辅助去蜂窝大规模多输入多输出（Ｃｅｌｌ ｆｒｅｅ
ＭａｓｓｉｖｅＭｕｌｔｉｐｌｅ ＩｎｐｕｔＭｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｕｔｐｕｔ，ＣＦｍＭＩＭＯ）通信系统，提出了一种低复杂度预编码和ＲＩＳ反射相位交替优化（ＡｌｔｅｒｎａｔｉｎｇＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＡＯ）算法。对于传统正则化迫零（ＲｅｇｕｌａｒｉｚｅｄＺｅｒｏＦｏｒｃｉｎｇ，ＲＺＦ）预编码算法复杂度过高的问
题，
利用共轭梯度（ＣｏｎｊｕｇａｔｅＧｒａｄｉｅｎｔｓ，ＣＧ）法，提出一种低复杂度的ＲＺＦ ＣＧ预编码算法，将ＲＺＦ预编码的逆矩阵转换为线性方程组最小化问题，
推导算法的残差以更新搜索方向，迭代求解逆矩阵。以最大化系统用户的总频谱效率为目标，推导了ＲＩＳ相位闭合表达式，基于统计的信道状态信息提出一种低复杂度的投影梯度上升（ＰｒｏｊｅｃｔｅｄＧｒａｄｉｅｎｔＡｓｃｅｎｔ，ＰＧＡ）算法。仿真结果表明，所提的ＡＯ算法能有效地提升系统性能，算法复杂度降低了约７３．２％
。关键词：智能超表面；去蜂窝大规模多输入多输出通信系统；预编码；低复杂度
中图分类号：ＴＮ９２９．５  　文献标志码：Ａ  　开放科学（资源服务）标识码（
ＯＳＩＤ）：文章编号：１００３－３１１４（
２０２４）０２－０２４５－０８ＬｏｗＣｏｍｐｌｅｘｉｔｙＰｒｅｃｏｄｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍＤｅｓｉｇｎｆｏｒＲＩＳ ａｉｄｅｄＣｅｌｌ ｆｒｅｅＭａｓｓｉｖｅＭＩＭＯＳｙｓｔｅｍｓ
ＨＵＹａｔｉｎｇ，ＳＨＩＥｎｙｕ，ＸＵＢｏｋａｉ，ＺＨＥＮＧＪｉａｋａｎｇ，ＺＨＡＮＧＪｉａｙｉ，
ＡＩＢｏ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＢｅｉｊｉｎｇＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００４４，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒａＲｅｃｏｎｆｉｇｕｒａｂｌｅＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＳｕｒｆａｃｅ（ＲＩＳ） ａｉｄｅｄＣｅｌｌ ｆｒｅｅｍａｓｓｉｖｅＭｕｌｔｉｐｌｅ ＩｎｐｕｔＭｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｕｔｐｕｔ（ＣＦｍＭＩＭＯ）ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄｐｒｏｐｏｓｅａｌｏｗ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｐｒｅｃｏｄｉｎｇａｎｄＲＩＳｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｐｈａｓｅｓｈｉｆｔｓＡｌｔｅｒｎａｔｉｎｇＯｐｔｉ ｍｉｚａｔｉｏｎ（ＡＯ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ＩｎｏｒｄｅｒｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｔｈａｔｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＲｅｇｕｌａｒｉｚｅｄＺｅｒｏＦｏｒｍｉｎｇ（ＲＺＦ）ｐｒｅｃｏｄｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｔｏｏ
ｃｏｍｐｌｅｘ，
ｗｅｐｒｏｐｏｓｅａｌｏｗ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙＲＺＦ ＣＧｐｒｅｃｏｄｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｕｓｉｎｇｔｈｅＣｏｎｊｕｇａｔｅＧｒａｄｉｅｎｔｓ（ＣＧ）ｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｃｏｎｖｅｒｔｓｔｈｅｉｎ ｖｅｒｓｅｍａｔｒｉｘｏｆＲＺＦｐｒｅｃｏｄｉｎｇｉｎｔｏａｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ，ｄｅｒｉｖｅｓｔｈｅｒｅｓｉｄｕａｌｓｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｕｐｄａｔｅｔｈｅ
ｓｅａｒｃｈｄｉｒｅｃｔｉｏｎ，
ａｎｄｉｔｅｒａｔｉｖｅｌｙｓｏｌｖｅｓｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｍａｔｒｉｘ．Ｗｉｔｈｔｈｅｇｏａｌｏｆｍａｘｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅｔｏｔａｌｓｐｅｃｔｒａｌｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｕｓｅｒ，ｗｅｄｅｒｉｖｅｔｈｅＲＩＳｐｈａｓｅｃｌｏｓｅｄ ｆｏｒｍｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎａｎｄｔｈｅｎｐｒｏｐｏｓｅａｌｏｗ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙＰｒｏｊｅｃｔｅｄＧｒａｄｉｅｎｔＡｓｃｅｎｔ（ＰＧＡ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｃｈａｎｎｅｌｓｔａｔｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄＡＯａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｎｏｔｏｎｌｙｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｉｍｐｒｏｖｅｓｙｓｔｅｍｐｅｒ ｆｏｒｍａｎｃｅ，ｂｕｔａｌｓｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｂｙａｂｏｕｔ７３．２％．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＲＩＳ；ＣＦｍＭＩＭＯｓｙｓｔｅｍｓ；ｐｒｅｃｏｄｉｎｇ；ｌｏｗ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ
收稿日期：２０２３－１１－２３
基金项目：国家自然科学基金（６１９７１０２７
）
ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＩｔｅｍ：
ＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（６１９７１０２７
）
０　
引言
随着未来无线通信技术的快速发展和数据需求量的爆炸性增长，５Ｇ无线通信系统无法满足通信需求。
因此，研究人员逐渐将目光转向６Ｇ无线通信技术的研发中。“去蜂窝”（Ｃｅｌｌ ｆｒｅｅ，ＣＦ）
网络架构被认为是６Ｇ的变革性技术之一［１
］，将ＣＦ网络架构
应用于大规模多输入多输出（ＭａｓｓｉｖｅＭｕｌｔｉｐｌｅ ＩｎｐｕｔＭｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｕｔｐｕｔ，ｍＭＩＭＯ）系统能有效地为系统用户
提供高服务质量（ＱｕａｌｉｔｙｏｆＳｅｒｖｉｃｅ，ＱｏＳ）
［１－３
］，所以对“去蜂窝”ｍＭＩＭＯ（Ｃｅｌｌ ｆｒｅｅｍＭＩＭＯ，ＣＦｍＭＩＭＯ）系统的研究具有重要的应用价值和现实意义。智能超表面（ＲｅｃｏｎｆｉｇｕｒａｂｌｅＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＳｕｒｆａｃｅ，ＲＩＳ）被认为是６Ｇ的关键技术之一，是一种由大量低成本的
被动无源反射单元组成的电磁超表面，可以部署在接入点（ＡｃｃｅｓｓＰｏｉｎｔ，ＡＰ）和用户之间，能够对入射信号的相位／幅度进行调控，实现可调控的智能无线电磁波传播环境，改善系统性能［２－９］。因此，将ＲＩＳ应用到ＣＦｍＭＩＭＯ系统成为当前的研究热点之一。近年来，ＲＩＳ辅
助ＣＦｍＭＩＭＯ系统的研究也取得了诸多成果。文献［８］通过拉格朗日对偶重构和多维复数二次变换对预编码进行解耦，重构与解耦后的问题转化为两个二次约束二次规划子问题，基于信道状态信息逐步逼近联合预编码设计的可行解，证明了低成本和高能效的ＲＩＳ辅助ＣＦ网络可以实现比传统ＣＦ网络更高的系统容量。文献［９］考虑了发射机的信道状态信息不确定性和容量受限的回程，利用惩罚凹凸规划和逐次凸逼近方法分别进行ＲＩＳ相移和预编码优化，证明了ＲＩＳ相移优化的重要性和ＲＩＳ在ＣＦ系统中分散部署的优势。文献［１０］利用改进的交替方向乘子法算法优化非凸约束的增广拉格朗日目标，实现处的混合波束成形设计。然而，上述文献［８－１０］所用求解预编码方案是关于凸优化问题的解决方法，通常具有较高的计算复杂度［１１］。文献［１２］对比了最大比（ＭａｘｉｍｕｍＲａｔｉｏ，ＭＲ）传输预编码方案和正则化迫零（ＲｅｇｕｌａｒｉｚｅｄＺｅｒｏＦｏｒｃｉｎｇ，ＲＺＦ）预编码方案的效果，结合用户间的干扰，最终采用了组合矢量主动抑制干扰的ＲＺＦ方案进行预编码设计。文献［１３－１４］采用最小均方误差（ＭｉｎｉｍｕｍＭｅａｎＳｑｕａｒｅＥｒｒｏｒ，ＭＭＳＥ）和加权最小均方误差进行处的预编码。然而，矩阵求逆的计算复杂度在ｍＭＩＭＯ系统中呈（Ｋ３）指数增长。文献［１５－１６］使用截断多项式展开（ＴｒｕｎｃａｔｅｄＰｏｌｙｎｏｍｉａｌＥｘｐａｎｓｉｏｎ，ＴＰＥ）技术以便通过具有少量项的泰勒级数展开来逼近逆矩阵，降低了复杂性，其系数与天线（或用户）数量成比例增长。文献［１７－１８］推导了基于ＲＺＦ预编码的Ｒａｎ ｄｏｍｉｚｅｄＫａｃｚｍａｒｚ（ｒＫＡ）算法，证明了使用ｒＫＡ算法在ｍＭＩＭＯ系统下能有效地降低矩阵求逆的复杂度。文献［１９－２０］推导了多用户超大规模多天线系统
的互信息表达式，分析了天线阵列等关键因素对超大规模多天线系统的近场通信性能的影响机理。然而，基于ＴＰＥ技术需要根据信道向量的统计量预先计算多项式系数，并且上述文献［１２－２０］考虑的都是蜂窝结构ｍＭＩＭＯ系统下的低复杂度预编码问题。目前还没有出现ＲＩＳ辅助ＣＦｍＭＩＭＯ系统相关低复杂度预编码算法的研究。因此，针对ＲＩＳ辅助ＣＦｍＭＩＭＯ系统进行低复杂度的预编码方案研究很有必要。
基于ＲＩＳ辅助ＣＦｍＭＩＭＯ系统，建立了系统模型，提出了一种低复杂度正则化迫零－共轭梯度（ＲｅｇｕｌａｒｉｚｅｄＺｅｒｏＦｏｒｃｉｎｇ ＣｏｎｊｕｇａｔｅＧｒａｄｉｅｎｔｓ，ＲＺＦ ＣＦ）预编码算法，提出一种低复杂度的相移优化算法。仿真结果表明，基于所提算法能有效地降低计算复杂度，系统性能比任意相移的情况下有所提升。
１　系统模型和问题描述
１．１　系统模型
考虑ＲＩＳ辅助ＣＦｍＭＩＭＯ系统，如图１所示。该系统模型由Ｋ个用户、Ｎ个ＡＰ、Ｌ个分布式的ＲＩＳ、一个中央处理器（ＣｅｎｔｒａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＵｎｉｔ，ＣＰＵ）和用于ＡＰ与ＣＰＵ间进行数据传输的回程链路组成。假设每个ＡＰ配备了Ｓ根天线，每个用户配置单根天线，每个ＲＩＳ配备了Ｍ个反射元件，所有ＡＰ通过回程链路与ＣＰＵ连接，ＣＰＵ负责计算资源分配和调度，Ｒ
ＩＳ连接到ＣＰＵ或ＡＰ，其相移配置由ＣＰＵ或ＡＰ控制。
图１　分布式ＲＩＳ辅助ＣＦｍＭＩＭＯ系统模型
Ｆｉｇ．１　ＤｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄＲＩＳ ａｉｄｅｄＣＦｍＭＩＭＯｓｙｓｔｅｍｍｏｄｅｌ令ｈｄ，ｎ，ｋ∈ Ｓ×１表示第ｎ个ＡＰ和第ｋ个用户之
间的直连信道矩阵，Ｇｎ，ｌ∈ Ｍ×Ｓ表示第ｎ个ＡＰ和第ｌ个ＲＩＳ之间的级联信道矩阵，ｈｒ，ｌ，ｋ∈ Ｍ×１表示第ｌ个ＲＩＳ和第ｋ个用户之间的级联信道矩阵，ｗｎ，ｋ∈ Ｓ×１表示第ｎ个ＡＰ给第ｋ个用户的预编码矩阵，Θｌ＝ｄｉａｇ｛ｅｊθｌ，１，ｅｊθｌ，２，…，ｅｊθｌ，Ｍ｝表示第ｌ个ＲＩＳ的相位矩阵，其中ｅｊθｌ，ｍ代表第ｌ个ＲＩＳ上的第ｍ个反射单元的相位控制。因此，第ｎ个ＡＰ和第ｋ个用户之间的等效信道ｈＨｎ，ｋ∈ １×Ｓ为：
    ｈＨ
ｎ，ｋ＝ｈ
Ｈ
ｄ，ｎ，ｋ＋
∑Ｌ
ｌ＝１
正则化改进算法ｈＨ
ｒ，ｌ，ｋΘｌＧｎ，ｌ＝
ｈＨ
ｄ，ｎ，ｋ＋
∑Ｌ
ｌ＝１
ｖＨ
ｌ
Ｚ
ｎ，ｌ，ｋ＝ｈ
Ｈ
ｄ，ｎ，ｋ＋ｖ
ＨＺ
ｎ，ｋ
，    （１）
式中：ｖｌ
＝［ｅｊθｌ，１
，ｅｊθｌ，２
，…，ｅｊθｌ，Ｍ
］Ｈ
，
Ｚｎ，ｌ，ｋ
＝ｄｉａｇ｛ｈＨ
ｒ，ｌ，ｋ
Ｇｎ，ｌ
｝表示第ｎ个ＡＰ和第ｋ个用户通过第ｌ个ＲＩＳ之间的级联信道。为了简洁性表达，进一步定义ｖ＝［ｖＨ１
，ｖＨ２
，…，ｖＨＬ
］Ｈ
＝［ｖ１
，ｖ２，…，ｖＬ·Ｍ］Ｈ＝［ｅｊθ１
，ｅｊθ２
，…，ｅｊθＬ·Ｍ］Ｈ，Ｚｎ，ｋ
＝［ＺＨｎ，１，ｋ，ＺＨｎ，２，ｋ
，…，
ＺＨｎ，Ｌ，ｋ］Ｈ
。假设ｓ＝［ｓ１，ｓ２，…，
ｓｋ］Ｔ∈ Ｋ×１
是发射信号矩阵，满足 ｛ｓｋ
２｝＝１， ｛ｓｋｓ ｊ
｝＝０， ｋ≠ｊ，
那么第ｋ个用户的接收信号ｙｋ
∈ 为：
    ｙｋ
＝∑Ｎｎ＝１（ｈＨ
ｄ，ｎ，ｋ
＋ｖＨ
Ｚｎ，ｋ
）ｗｎ，ｋｓｋ
＋
∑Ｎ
ｎ＝１∑Ｋ
ｊ≠ｋ
（（ｈＨｄ，ｎ，ｋ
＋ｖＨ
Ｚｎ，ｋ
）ｗｎ，ｊｓｊ
）＋ｎｋ
，    （２）式中：第ｋ个用户的加性高斯白噪声服从正态分布ｎｋ
～（０，σ２ｋ
）。第ｋ个用户的信干噪比（ＳｉｇｎａｌｔｏＩｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅＰｌｕｓＮｏｉｓｅＲａｔｉｏ，ＳＩＮＲ）为：ＳＩＮＲｋ＝
∑Ｎ
ｎ＝１（
ｈＨｄ，ｎ，ｋ
＋ｖＨ
Ｚｎ，ｋ）ｗｎ，ｋ
２
∑Ｋ
ｊ≠ｋ
∑Ｎ
ｎ＝１（
ｈＨ
ｄ，ｎ，ｋ
＋ｖＨ
Ｚｎ，ｋ）
ｗｎ，ｊ
２
＋σ２
ｋ
。（３）
第ｋ个用户的可达速率为：
γｋ
＝ｌｂ（
１＋ＳＩＮＲｋ
）。（４）  因此，
系统中所有用户的可达速率总和为：
＝∑Ｋ
ｋ＝１
γｋ
。（５）
１．２　
信道估计
时分双工系统中利用上下行信道的互易性获得下行信道信息的方法，和频分双工系统中将用户估
计的下行信道经过上行信道反馈给ＡＰ的方法，
都不能使ＡＰ获得完全准确的下行信道状态信息，在实际中需要对ＡＰ的下行信道进行精确估计［２１
］。假设ＡＰ发射端已知部分信道状态矢量信息，第ｎ个ＡＰ对第ｋ个用户估计的信道矩阵为：
ｈ＾ｎ，ｋ＝１－τ槡２
·ｈｎ，
ｋ＋τ·ｎｋ
，（６）式中：ｈｎ，ｋ表示已知部分信道状态矢量信息，ｎｋ
表示信道噪声信息；τ∈［０，１］表示瞬时信道状态信息的可信度，τ＝０表示瞬时信道状态信息完全已知，τ＝１表示瞬时信道状态信息完全未知，此时只存在噪声。１．３　
问题描述
以最大化系统的和速率为目标，ＲＩＳ辅助ＣＦｍＭＩＭＯ系统下行链路的低复杂度预编码及相移优化的设计问题描述为：
ｍａｘ
Ｗ，ｖ
，
（７ａ）ｓ．ｔ．∑Ｋｋ＝１ｗｎ，ｋ
２
２
≤Ｐｎ， ｎ＝１，２，…，Ｎ，（７ｂ）ｖｍ′
＝１， ｍ′＝１，
２，…，Ｌ·Ｍ，（
７ｃ）式中：Ｐｎ
为第ｎ个ＡＰ的最大功率约束，Ｗ ｛ｗｎ，ｋ
｝为所有预编码的向量集合，ｖｍ′
＝ｅｘｐ（ｊθｍ′
）∈ｖ，
ｖｍ′＝１为每个反射ＲＩＳ单元的单位模约束。求解式（７ａ
）的困难之处在于和速率计算公式为非凸函
数，约束项式（７ｂ）和式（７ｃ）也是非凸约束，特别是预编码矩阵ｗｎ，ｋ
和相移矢量ｖ耦合在一起，使其设计进一步复杂化。在下行链路中，此问题采用线性预编码技术对发射的信号进行处理，但是在ＲＩＳ辅助ＣＦｍＭＩＭＣ中，随着天线数量和用户数量的增加，系统中用户间的干扰会随之增大，从而导致对有用信号检测难度的增大，同时还存在着噪声的干扰。ＲＺＦ预编码算法不仅能有效平衡用户间的干扰影响，还可以有效地平衡噪声干扰。然而随着天线数量的增
多，ＲＺＦ预编码算法的对矩阵求逆会导致其计算复杂度急剧增加。因此，结合基于投影梯度上升（Ｐｒｏ
ｊｅｃｔｅｄＧｒａｄｉｅｎｔＡｓｃｅｎｔ，ＰＧＡ）
法的ＲＩＳ相移优化算法，提出一种低复杂度的ＲＺＦ ＣＧ预编码算法。２　
算法设计
２．１　ＲＺＦ ＣＧ低复杂度预编码算法首先考虑ＲＺＦ预编码，在给定ＲＩＳ相移后，ＲＺＦ预编码矩阵ｗＲＺＦ
ｎ，ｋ
∈ Ｓ×１
为：ｗ
ＲＺＦ
ｎ，ｋ
＝εｈｎ，ｋ
（∑Ｋｉ＝１
ｈＨ
ｎ，ｉ
ｈｎ，ｋ
＋ξＩＫ
）－１
，
（８）
式中：正则化因子ξ＝
１ＳＮＲ＝σ２
Ｐ
，令Ｆｎ，ｋ
＝ｈｎ，ｋ
（∑Ｋｉ＝１
ｈＨｎ，ｉ
ｈｎ，ｋ
＋ξＩＫ）－１
，ε表示功率控制因子，
满足ε＝Ｐ
ｔｒ｛［Ｆｎ，ｋ
］ＨＦｎ，ｋ
｝
槡
＞０。第ｎ个ＡＰ发射给第ｋ个用户的信号为：
ｕｎ，ｋ＝ｗＲＺＦ
ｎ，ｋｓｋ＝εｈｎ，ｋ
（∑Ｋ
ｉ＝１
ｈＨ
ｎ，ｉ
ｈｎ，ｋ
＋ξＩＫ
）－１
ｓｋ
。
（９）
所有ＡＰ发送给所有用户的信号可表示为ｕ＝［ｕ１，ｕ２
，…，ｕＮ］Ｈ∈ Ｎ×Ｓ×Ｋ
，其中ｕｎ＝［ｕｎ，１，ｕｎ，２
，…，
ｕｎ，Ｋ
］∈ Ｓ×Ｋ
。然后，
定义ｓ＾ｋ
为：ｓ
＾ｋ＝（∑Ｋ
ｉ＝１
ｈＨ
ｎ，ｉ
ｈｎ，ｋ
＋ξＩＫ
）－１
ｓｋ
。
（１０）
  ＲＺＦ ＣＧ
预编码算法的核心思想是采用迭代
ＣＧ的方法寻（∑Ｋ
ｉ＝１
ｈＨ
ｎ，ｉ
ｈｎ，ｋ＋ξＩＫ
）－１
，
而不直接进行矩阵求逆。令Ａｋ
＝∑Ｋ
ｉ＝１
ｈＨｎ，ｉ
ｈｎ，ｋ＋ξＩＫ，ｂｋ＝ｓｋ
，
然后求解ｘｋ＝ｓ＾ｋ。对于所有用户有Ａ＝［Ａ１，Ａ２，…，ＡＫ
］，ｘ＝［ｘ１，ｘ２，…，ｘＫ］，ｂ＝［ｂ１，ｂ２，…，ｂＫ
］
，得到线性方程组Ａｘ＝ｂ。不难看出Ａ是对称正定的矩阵［２２
］。对于上述线性方程组求解问题，构造一个二次函数，即：
ｆ（ｘ
）
＝
１２
ｘＴ
Ａｘ－ｂＴｘ。（１１）
  该函数的最小值ｘ
可以根据一阶最优条件得到，即令导数为零： ｆ（ｘ ）＝Ａｘ
－ｂ＝０。（１２）  因此最小化ｆ（ｘ）等价于求解线性方程组Ａｘ＝ｂ，
且此解具有唯一性［２３
］。ＣＧ法是通过残差的共轭来构造搜索方向。这
种选择有其合理性［２３
］：
残差作用于最陡下降方向；残差具有与前面搜索方向正交的良好性质。因此，
除非残差为零，否则始终保证产生新的线性无关的搜索方向。给定初值ｘ０＝０（ｘｔ
代表的是算法第ｔ步的迭代向量），计算方程的残差ｒ０＝ｂ－Ａｘ０
。构造一组Ａ共轭且线性无关的向量组ｐ０，ｐ１
，…，ｐＴｍａｘ
（Ｔｍａｘ
为算法达到收敛的最大迭代次数），满足ｐＴ
ｉ
Ａｐｊ
＝０， ｉ≠ｊ，取初始化值ｐ０＝ｒ０
。
对每一步选择的点计算更新ｘｔ＋１＝ｘｔ＋φｔｐｔ
，其中φｔ由文献［
２３］推导并证明为φｔ
＝ｒＴｔｒｔｐＴｔＡｐｔ
。由得到的ｘｔ＋１通过递推更新残差ｒｔ＋１
＝ｂ－Ａｘｔ＋１＝ｒｔ－φｔＡｐｔ，再根据新的残差更新搜索方向ｐｔ＋１＝ｒｔ＋１＋ρｔ＋１ｐｔ，
其中ρｔ＋１
＝ｒＴ
ｔ＋１ｒ
ｔ＋１ｒＴｔｒｔ
。总结ＲＺＦ ＣＧ预编码算法如算法１所示。算法１　ＲＺＦ ＣＧ预编码算法１．　初始化：Ａｋ
＝∑Ｋｉ＝１
ｈＨ
ｎ，ｉ
ｈｎ，ｋ
＋ξＩＫ
，ｂｋ
＝ｓｋ
， ｋ＝１，２，…，Ｋ，ｘ０
＝０；
２．　计算残差ｒ０
＝ｂ－Ａｘ０
；３．　计算残量ｐ０
＝ｒ０
；
４．　Ｆｏｒｔ＝０，１，…，Ｔｍａｘ
ｄｏ
５．  Ｉｆｐｔ＝０ｔｈｅｎ６．  ｒｅｔｕｒｎｘｔ＋１７．  ｅｎｄ８．  ｅｌｓｅ９．  　φｔ＝
ｒＴｔｒｔ
ｐＴｔＡｐｔ
；
ｘｔ＋１＝ｘｔ＋φｔｐｔ
；
１０．  ｒｔ＋１＝ｒｔ－φｔＡｐｔ
；１１．  ρｔ＋１＝ｒＴｔ＋１ｒｔ＋１
ｒＴｔｒｔ
；
ｐｔ＋１＝ｒｔ＋１＋ρｔ＋１ｐｔ
；
１２．  ｅｎｄ
１３．　ｅｎｄ
１４．　Ｕｎｔｉｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
２．２　
基于ＰＧＡ的相移优化算法在给定预编码矩阵后，为进一步提升系统性能，考虑对ＲＩＳ反射单元的相移进行优化。此条件下式（６）可以表述为：ｍａｘｖ
，（１３ａ）ｓ．ｔｖｍ′
＝１， ｍ′＝１，２，…，Ｌ·Ｍ，（１３ｂ）式中：由式（５）给出。显然式（１３）是一个关于ｖ的非凸极大化问题。虽然上述优化问题关于ｖ是非凸的，并且关于ｖｍ′
有一个单位模约束，但是应用ＰＧＡ算法可通过在每一步将解投影到最近的可行点，直到收敛到一个稳定点，从而获得局部最优解［２４
］。具体来说，假设第ｔ步的相位为ｃｔ＝［ｖｔ，１，ｖｔ，２，…，ｖｔ，Ｌ·Ｍ
］Ｔ
。下一次
朝着收敛的方向迭代，基于单位模约束下的投影问
题ｍｉｎｖｍ′＝１，ｍ′＝１，２
，…，Ｌ·Ｍ
ｃ－ｃ槇２
得到：ｃ槇ｔ＋１＝ｃｔ＋μｑｔ
，（１４）ｃｔ＋１＝ｅｘｐ（ｊａｒｇ（ｃ槇ｔ＋１
）），（１５）式中：μ表示步长，每次迭代通过回溯线搜索计算合适的步长［１１
］。［ｑｔ］ｍ′
＝  ｖ
ｍ′
表示第ｔ步采用的上升方向，有： 
γｋ
ｖ
＝
２
ｌｎ２∑Ｋｊ＝１（∑Ｎｎ＝１
（ｈＨｎ，ｋ
）ｗｎ，ｊ
·∑Ｎ
ｎ＝１Ｚｎ，ｋｗｎ，ｊ
）∑Ｋ
ｊ＝１
∑Ｎ
ｎ＝１
（
ｈＨｎ，ｋ
）ｗｎ，ｊ
２
＋σ２ｋ
－
∑Ｋｊ≠ｋ
（∑Ｎ
ｎ＝１
（
ｈＨｎ，ｋ
）ｗｎ，ｊ
·∑Ｎ
ｎ＝１Ｚｎ，ｋ
ｗｎ，ｊ
）∑Ｋ
ｊ≠ｋ
∑Ｎ
ｎ＝１
（
ｈＨ
ｎ，ｋ
）ｗｎ，ｊ
２
＋σ２ｋ
，
  （１６）
ｖｍ′
＝∑Ｋ
ｋ＝１ γｋ
ｖ
·
ｖ ｖｍ′
＝
∑
Ｋ
ｋ＝１
γｋ ｖ
。
（
１７） 
所提算法的收敛性可以保证到一个局部最大值，因为它是由于功率约束而有界的，并且它通过设置［ｑｔ
］ｍ
而增加，
其中回溯线搜索用于到一个合适的步长。假设Ｔ＾ｍａｘ
表示比算法达到收敛所需的最
大迭代次数，总结基于ＰＧＡ的相移优化算法如算法２所示。
算法２　基于ＰＧＡ的相移优化算法
１．　初始化：ｃ０
＝ｅｘｐｊπ
２
()１Ｉ
，Θ０
＝ｄｉａｇ（ｃ０
），由式（５）给出０
＝ｆ（Θ０
）； ＞０；
２．　Ｆｏｒｔ＝０，１，…，
Ｔ＾ｍａｘ
ｄｏ
３． 
［ｑｔ］ｍ＝
ｖ ｍ
，ｍ＝１，２
，…，
Ｌ·Ｍ；４．  通过回溯线性搜索（ｆ（Θ０
），ｑｔ
，ｃｔ
）得到μ；５．  ｃ
槇ｔ＋１＝ｃｔ
＋μｑｔ
；６．  ｃｔ＋１
＝ｅｘｐ（ｊａｒｇ（ｃ槇ｔ＋１
））；Θｔ＋１
＝ｄｉａｇ（ｃｔ＋１
）；７．  ｔ＋１
＝ｆ（Θｔ＋１）
；８． 
Ｕｎｔｉｌｔ＋１
－ｔ
２
＜ ；得到Θ
＝Θｔ＋１
；９．　ｅｎｄｆｏｒ
２．３　
基于交替优化的迭代算法
结合上述低复杂度的预编码算法和相移优化算法，进行基于交替优化（ＡｌｔｅｒｎａｔｉｎｇＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＡＯ）的迭代求解。具体来说，根据ＡＯ迭代得到的
解，执行另一次ＡＯ迭代以确保可行的解决方案，循环往复直至收敛。总结ＡＯ迭代算法流程，
如算法３所示。
算法３　基于ＡＯ迭代算法
１．　初始化：迭代次数ｉ＝０，初始化Ｗ０
，ｖ
０
２．　Ｒｅｐｅａｔ３．  给定ｖｉ
，进行ＲＺＦ ＣＧ预编码算法，输出Ｗｉ＋１
；４． 
给定Ｗｉ＋１，进行基于ＰＧＡ的相移优化算法，输出ｖｉ＋１
；５． 
更新ｉ＝ｉ＋１；
６．　Ｕｎｔｉｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
２．４　
复杂度分析
根据浮点数运算操作（ｆｌｏｐｓ）计算了所提方法的复杂度，考虑了实数和复数的混合运算。参考文献［２２］
来计算各种运算的复杂度。将总的计算过程分解为乘法和加法。
通过Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解［２２
］，
即Ａ＝ＭＭＨ
，其中Ｍ和Ｍ－１
都是下三角矩阵的。考虑Ａ的直接矩阵求逆，
具体为：Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解Ａ＝ＭＭＨ
需要４３Ｋ３
－Ｋ２
＋２
３
Ｋ＋
（Ｋ）
－１个ｆｌｏｐｓ（其中（Ｋ）来自Ｋ的平方根）；通过前向替换到Ｍ－１
需要４３Ｋ３
－１
３
Ｋ个ｆｌｏｐｓ；得到Ａ－１
＝（Ｍ－１
）Ｈ
Ｍ－１
需要４３Ｋ３
＋Ｋ２
＋２
３
Ｋ个ｆｌｏｐｓ。最终，Ａ的直接求逆需要４Ｋ３
＋Ｋ＋（Ｋ）
－１个ｆｌｏｐｓ。在ＲＺＦ ＣＧ预编码算法中，每一步迭代复杂度
具体为：计算φｔ
中的ｒＴｔｒｔ
需要８Ｋ－２个ｆｌｏｐｓ，计算ｐＴｔ
Ａｐｔ
需要８Ｋ２
＋６Ｋ－２个ｆｌｏｐｓ，得到φｔ
需要８Ｋ２
＋１４Ｋ－４个ｆｌｏｐｓ。计算ｘｔ＋１
需要８Ｋ个ｆｌｏｐｓ；利用φｔ
更新残差ｒｔ＋１
需要８Ｋ个ｆｌｏｐｓ；更新搜索方向ｐｔ＋１
需要８Ｋ个ｆｌｏｐｓ，更新系数ρｔ＋１
需要８Ｋ－２个ｆｌｏｐｓ。最终得到ＲＺＦ ＣＧ算法的总计算复杂度为８Ｋ２
＋４６Ｋ－６个ｆｌｏｐｓ。
３　
仿真结果与分析
通过仿真实验来评估所提算法在系统平均用户频谱效率和计算复杂度方面的性能。同时，还比较了ＡＰ天线数量、ＲＩＳ反射单元数量和迭代次数对系统速率的影响。
考虑一个拓扑结构，该网络中部署了分别位于
（
１００，０）、（－１００，０）、（０，１００）和（０，－１００）的４个ＡＰ，随机放置了４个ＲＩＳ，在该区域均匀分布并且遵循泊松点过程，在半径为Ｒ的圆圈中随机放置２Ｋ个用户。ＡＰ、ＲＩＳ和用户的高度分别设置为２０．０ｍ、５．０ｍ和１．５ｍ。
假设每个ＡＰ和用户之间的直连信道为瑞利信道，而级联信道为莱斯信道，故信道建模为：
Ｈ＝槡β
к
к＋１
槡ＨＬｏＳ＋１
к＋１
槡ＨＮＬｏＳ
(
)，（１８）
式中：к≥０
为莱斯因子，ＨＬｏＳ
为视距（
ＬｉｎｅｏｆＳｉｇｈｔ，ＬｏＳ）分量、ＨＮＬｏＳ为非视距（ＮｏｎＬｉｎｅｏｆＳｉｇｈｔ，ＮＬｏＳ）
分量。ＨＮＬｏＳ的列服从复数空间高斯分布，
均值和单位方差为零。瑞利通道仅包含ＮＬｏＳ分量。此外，当ＲＩＳ与用户之间的距离超过某个值时，假设由于障碍物的存在，没有ＬｏＳ路径。大尺度路径损耗β＝
β０
ｄ
ｄ
０()－α
，其中ｄ０
＝１ｍ为参考距离，β０
＝－３０ｄＢ为参考距离处的路径损耗，并且α是路径损耗指数。莱斯信道和瑞利信道的路径损耗指数分别用α１
和α２
表示。设置的系统默认仿真参数如表１所示。
表１　仿真参数
Ｔａｂ．１　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
仿真默认参数
参数值
ＡＰ数Ｎ
４每个ＡＰ的天线根数Ｓ
４ＲＩＳ数Ｌ
４每个ＲＩＳ反射单元数Ｍ
６０用户数Ｋ
２

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