基于正确边界条件的宽板弯曲变薄理论
邬移华1
，彭炎荣2
，胡成武
1
(1.湖南工业大学机械工程学院，湖南株洲412007)(2.湘潭大学机械工程学院，湖南湘潭
411105)
摘要：指出了现有的宽板塑性弯曲变薄研究方面存在的问题，引入了应变增量中性层概念，提出了应变增量中性层处的切向应变增量等于零这一正确的边界条件，在此基础上推导出了宽板塑性弯曲变薄的理论解，最后给出了计算实例。
关键词：宽板塑性弯曲；弯曲变薄；应变增量中性层；应力中性层中图分类号:TG301文献标识码:A 文章编号:1672-1616(2011)03-0071-04宽板塑性弯曲是冲压生产中的一种典型工艺。由于板的宽度远大于厚度，
故沿宽度方向基本上不变形，一般作为平面变形问题处理。变形过程中，随着弯曲变形程度的增加，板的内、外表面的曲率半径r 和R 会不断减小(其变化量dR 、dr 均为负值)，板的厚度t(t =R-r )也随之发生变化。实践证明[1]，由于外半径比内半径减小得更多(即dR <dr 或|dR |>|dr |)，所以随着弯曲变形程度的增加，板的厚度会不断地变薄(即dt =dR -dr <0)，这是众所周知的客观事实。但是迄今为止，关于宽板弯曲变薄的理论一直没有很好地建立。希尔曾提出一种解法[2]，并已在成形领域广为应用。可是，当把希尔的解法用于理想塑性板材时，却得到宽板弯曲时板厚不会改变，既不增厚，也不变薄的结论[3]
。这就给从事冲压加工和模具设计的实际工作者带来巨大的困惑：为什么理论解会与客观事实矛盾?怎样求得能够真实反映弯曲变薄规律的理论解?近几年来，关于宽板塑性弯曲时的厚度变薄问题，已经引起了一些人的关注，先后发表了不少论文，提出了各种计算厚度变薄的公式[4-8]，但因理论推导还欠严谨，其求解结果还缺乏充分的说服力。本文首先分析现有书刊中关于宽板弯曲变薄理论研究方面存在的问题，然后根据宽板塑性弯曲变形的几个重要特点提出比较科学、合理的求解方法。
1
现有宽板弯曲变薄理论研究存在的问题
关于宽板弯曲变薄理论的研究[2-3]
，存在一
个普遍性的问题，就是在一个基本概念上发生了错
误，误以为应力中性层处的切向应变增量等于零，即误以为=处,d =0，并根据这种错误
的概念建立边界条件，用来确定微分方程解中的积分常数。正因为这一概念错误，才得出理想塑性板材弯曲时板厚不会改变的错误结论。笔者认为，正确的概念应该是在应变增量中性层处的切向应变增量等于零，即=d
处,d =0。计算应
变增量中性层半径
d
的公式[9]
为:
d
=
Rr 1+2
dt
t d
(1)
式中t 和分别为弯曲过程中的板厚和弯曲中心
角。
由式(1)知，弯曲应变中性层半径d 与板厚t 和弯曲中心角及其增量dt 和d 有关。随着弯曲变形程度的增加,
不断增大,t 不断减小，由此可
见,d >0,dt <0。而应变增量中性层半径
d
有d
<Rr
(2)
应该特别注意的是，只有当板厚不变(dt =0)时，才会有
d
=Rr (3)
众所周知，理想塑性板材的应力中性层半径为
=
Rr
(4)
对比式(3)、式(4)可以看出，只有当板材厚度不变(d t =0)时，理想塑性板材的应力中性层半径才会与应变增量中性层半径d 相等，即
=
d
=Rr (5)
由此可见，现有书刊及相关文献中认为理想塑
正则化宽厚比与板件截面关系
收稿日期6
作者简介邬移华(5)，女，湖南新化人，湖南工业大学讲师，硕士，主要研究方向为材料成型。
:2010-10-2:197-
性板材的应力中性层处的切向应变增量等于零
[2-3]
，这种观点只有当板厚不变(dt =0)时才
正确，这时应力中性层与应变增量中性层才会重合，二者半径才会相等。
换句话说，希尔等认为理想塑性板材的应力中性层处的切向应变增量等于零，客观上就是以为应力中性
层与应变增量中性层始终重合，而这只有在板厚不变的条件下才会出现。可见希尔解法客观上等于事先已经假设了板厚不变，所以最后求得板厚不变的结论也是不足为怪的。
但是现在的任务就是研究板材塑性弯曲时的变薄规律，怎么能事先假设板厚不变呢?要消除这种逻辑上的混乱，首先必须严格分清应力中性层与应变增量中性层这两个完全不同的概念：应力中性层是应力状态的分界线；应变增量中性层是应变增量d 的分界线。对理想塑性板材来说，在应力中性层
处应力状态将发生突变，在应变增量中性层d
处，切向应变增量为零(d
=0)。这两个中性层
在一般情况下是不会重合的，决不能互相混淆。
根据在应变增量中性层d 处，切向应变增量为零这种正确概念建立的边界条件:=
d
处,
d
=0，才能科学、合理地求解板材塑性弯曲变
薄问题，才能建立严谨的宽板弯曲变薄理论。
2
宽板塑性弯曲变形的特点
图1右边表示的是宽板弯曲过程中当中心角为
时刻板材的弯曲变形情况。设宽板在弯曲过程
中恒保持圆弧状，并且切向横截面恒保持平面。图1左边表示的是在经过微小时间间隔后，内半径由r 变为r +dr ，外半径由R 变为R +dR，厚度由t 变为t +dt(注意:dr ,d R 和d t 均为负值)，而弯曲中心角
变为+d (d 为正值)
。
图板材弯曲过程中的尺寸变化
应该指出，宽板塑性弯曲变形有下述几个重要特点，这些特点是我们建立弯曲变薄理论的依据。
2.1塑性弯曲变形时体积不变
对于平面变形的宽板而言，体积不变也可用侧
面积A 不变来表示，即:
A =
(R 2-r 2)
2
=常值
于是，由dA =0得:
d =2(r d r -RdR)
R 2-r 2
(6)
2.2弯曲变形服从平面假设
平面假设已如前述，即沿切线方向的横截面恒
保持平面。于是，弯曲后外表面层切向长度(R )将伸长d(R )，内表面切向长度(r )将缩短d(r )，而且伸长量d(R )和缩短量d(r )与内、外表面到应变增量中性层的法向距离成比例，即:
d(R )d(r )=R -d r -d 因为d(R )
d(r )=
dR +R d
dr +r d
=
dR +R d dr +r
d ,
故
dR +R d dr +r
d
=R -d r -d
(7)
2.3
应变增量中性层处的切向应变增量为
零
在应变增量中性层处，切向应变增量为零。即：当=d 时,d =0。
因为切向应变增量为d =d()=d
+d
，
在应变增量中性层处，切向应变增量为零，故:
d
=
d
d d
+
d
=0
于是有:
d =-d
d
d (8)
上述式(6)、式(7)和式(8)就是体现宽板塑性弯曲变形3个重要特征的表达式。根据这3个表达式，就可以建立宽板塑性弯曲变薄的理论解。
3
宽板塑性弯曲变薄的理论解
建立这种理论解的依据是塑性弯曲变形体积不变和弯曲变形服从平面假设这两个特征，求解方法是将式(6)、式()联立求解，将式(6)代入式
1
7
(7)左边，有:
(R2+r2)dR-2Rr dr (R2+r2)dr-2Rr dR =
R-d
d
-r
=
R-r
d
-r
-1
从而求得
(R2+r2)dr-2Rr d R
+r=d(9)现在将式(1)中用t和表示的d改用R和r 来表示，由前面已知,t=R-r,dt=dR-d r。
将式(6)代入式(1)，即可得到确定应变增量中性层半径d的另一计算公式:
2 d =Rr r dR-Rdr
r dr-Rd R
或
d =Rr
r dR-Rdr
r dr-R dR
(10)
将式(10)代入式(9)，得
(R2+r2)dr-2Rr dR+(Rr-r2)(dR+dr)
(R-r)(dR+dr)
=
Rr r dR-Rdr r dr-R dR
即:
(R2+Rr)-(r2+Rr)dR dr
Rr(R-r)1+dR
d r
=
r dR
d r
-R
r-R dR
dr
(11)
式(11)系dR
dr
=f(R,r)的隐函数表达式。如果已
知内外半径r和R，用逐次逼近法即可求得d R dr。如
果将弯曲全过程分成n步，则对第i步来说，式(11)可写成:
(R2i+R i r i)-(r2i+R i r i)d R dr i
R i r i(R i-r i)1+dr
i
=
r i dR
dr i
-R i
r i-R i dR
dr i
(12)
对第(i+1)步来说，则有:
(R++R++)(++R++)R
+
R++(R++)+R
+
=
r i+1
dR
dr i+1
-R i+1
r i+1-R i+1
dr i+1
(13)
而两步之间的导数具有下述用差分方程表示的关
系:
R i+1=R i+
1
2
dR
dr i+1+
dR
d r i[r i+1-r i](14)
即:
dR
dr i+1
=
2(R i+1-R i)
i+1i
-
dR
dr i
(15)
如果已知某瞬间的R i和r i值，代入式(12)，即
可求得dR
d r i
，再将求得的dR
dr i
代入式(15)，并
将式(15)与式(13)联立求解，即可求得下一步的
R i+1和
dR
dr i+1
。
这样，从开始的i=0，一直计算到最后的i=
n-1，即可得出整个弯曲过程中外表面半径R随
内表面半径r变化的规律。
最后将求得的R和r代入式(16):
t i=R i-r i(16)
即可得出板料厚度t随内表面半径r变化的规律。
再将求得的板厚t代入式(17)即可求得变薄
系数随内表面半径r变化的规律:
i=
t i
t0=
R i-r i
t0(17)
式中t0为板的原始厚度。
由应变中性层半径=
r
t
+
2
t和K t=
-r=
2t
2
-r(1-)可知，应变中性层内移系
数K i为:
K i=
2
i
2
-
r i
t0
(1-i)(18)
依据式(16)、式(17)、式(18)，不难得出宽板在
弯曲过程中任一时刻的板厚t、变薄系数、应变中
性层内移系数K以及它们随内表面半径r变化的
规律。
计算实例
已知原始厚度=的宽板在弯到R=
、=时，厚度还没有明显的变化。然
2
i1i1r i1-r2i1i1r i1
d
dr i1
i1r i1i1-r i11d
dr i1
4
t01mm0
10mm r09mm
后继续弯曲，直到最后r n =0.1mm 时，假设此时板材外表面仍未发生破裂。求在此弯曲过程中R,t，和K 等参数随r 变化的规律。
为了便于和冲压设计手册中介绍的
和K 的
实验值进行比较，本文选取与查表法中相同的12个r i 值进行计算，可得出宽板在弯曲过程中任一时刻的变薄系数、应变中性层内移系数K 随内表面半径r 变化的规律。宽板塑性弯曲变薄理论解和实验值
[10]
的比较如图2
所示。
图2宽板塑性弯曲变薄理论解和实验值的比较
通过实例的计算结果与实验数据的比较可以看出，二者相差不大。
5结束语
本文针对现有宽板塑性弯曲变薄研究中存在
的问题，提出了宽板塑性弯曲变薄的一个新的理论解，此理论解已通过实例计算并与实验数据作了比较，二者相差不大。根据该理论求得的变薄系数真实地反映了宽板弯曲变薄的实际情况。该解法对塑性成形理论与冲压工艺实践具有理论指导价值和实用意义。参考文献:
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The Strict Thinning Theory of the P lastic Wide Sheet Bending Based on Boundary
WU Yi-hua 1,PENG Yan-rong 2,H U Cheng-wu 1
(1.Hunan University of Technology,Hunan Zhuzhou,412007,China)
(2.Xiangtan University,Hunan Xiangtan,411105,China)
A bstract:It pro po ses the prob lems existing in the current re search ab out the wide sheet plastic bending attenuatio n,in -tro duces the co ncept ab out the strain-increment neutral lay er,and establish
es the right boundary co ndition which the tangential strain-increment in the strain-increment n eutral layer eq uals to zero.It d ed uces the wide sheet plastic bending theo retic solutio n.The solution has theo retic guiding values as well as practical significances for bo th the plastic f orming principle and the practice in sheet metal forming techno logy.
Key words:Wide Sheet Plastic Bending;Thinning;Strain-Increment Neutral Layer;Stress Neutral Layer (上接第70页)
y y f f q B S ,f f K y T L T T y;W S N (WSN);M f W ;W I f q practical protocol stack s stem and the s stem o locale in o rmation ac uisition based on /architecture in -tegrates the in o rmation o workshop with common database.
e words:wo-evel ree opolog ireless ensor etwork anu acturing orksho p ire -less n ormation Ac uisition

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