kohn-sham方程
Kohn-Sham方程式是密度泛函理论(DFT)的核心数学表达式，用于描述多电子体系的基态性质。密度泛函理论是一种计算量子力学体系的方法，它基于电子密度而不是波函数。
Kohn-Sham方程的推导始于一组基本假设，其中最重要的假设是将多电子体系的总能量表达为从单电子波函数派生的泛函。这样的波函数被称为Kohn-Sham波函数，它们是通过求解一组单电子方程获得的。每个单电子方程描述了一个虚拟的非相互作用粒子在一个有效外势场中运动。
Kohn-Sham方程的形式如下：
[-(h^2/2m)∇^2+ V(r) + V_H(r) + V_{xc}(r)] ψ_i(r) = ε_i ψ_i(r)
其中，h是普朗克常数除以2π，m是电子的质量，V(r)是电子在外势场下的有效势能，V_H(r)是Hartree势，它描述了电子之间的经典库伦相互作用，V_{xc}(r)是交换-相关势，它描述了电子之间的量子力学交换和相关效应。ψ_i(r)是Kohn-Sham波函数，ε_i是对应的能量。
正则化长波方程这个方程是一个自洽方程，因为V_H(r)和V_{xc}(r)依赖于电荷密度ρ(r)，而电荷密度本身又依赖于Kohn-Sham波函数。因此，需要通过迭代求解来确定一个自洽的解。
Kohn-Sham方程的求解可以通过各种数值方法来实现。其中最常用的方法是使用基组(expansion basis)来表示波函数，并将方程离散化为一个矩阵特征值问题。这个矩阵特征值问题可以通过对角化得到波函数的能量和形式。
Kohn-Sham方程被广泛应用于材料科学、凝聚态物理、化学和生物物理等领域的计算研究中。它可以用于计算分子的电子结构、材料的能带结构和光谱性质等。密度泛函理论和Kohn-Sham方程的发展使得计算材料性质和分子模拟等变得更加可行和准确。
尽管Kohn-Sham方程是密度泛函理论一个重要的数学表达式，但它也存在一些局限性。其中一个主要的问题是交换-相关泛函的近似。准确的交换-相关泛函是很难获得的，因此目前的研究主要依赖于一些近似方法来处理交换-相关势。
总的来说，Kohn-Sham方程是密度泛函理论的核心方程之一，它描述了多电子体系的基态性质。通过数值求解Kohn-Sham方程，我们可以计算出材料和分子的各种性质，这对于材料科学和计算化学等领域的研究具有重要意义。

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