§1.3哈密顿正则方程
    上一节，我们给出了拉格朗日函数的定义式 ，并且发现拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数。给出拉格朗日方程的表达式。但拉格朗日方程是二阶常微分方程组。为了使方程降阶，即由二阶变为一阶，我们引入了一个新的量，称为广义动量。
一、广义动量
设体系的广义坐标为，对于每一个广义坐标，可以定义一个广义动量：
                              （1）
式中为拉格朗日函数，为广义速度。大家注意，这里我们定义的广义动量和我们一般所说的动量的含义不一定相同。例如，对于做平面圆周运动的质点，质点的自由度为1，为了研究方便，选方向角为广义坐标。则质点的速度为：，，
，广义动量相当于通常意义上的动量矩。
二、哈密顿正则方程
拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数，即，它的全微分
                （2）
由拉格朗日方程和广义动量的定义式得
                （3）
将(1)(3)代入(2)中，可写为
    （4）
而上式的第二项可写为
  （5）
把（5）式代入（4）式得
即
  （6）
定义：    称作哈密顿函数
所以（6）式可写为
      （7）
由上式可以看出只是各个和的函数。，式中及代表各个和。
对取微分可得
  （正则化长波方程8）
（7）和（8）式对比可得
    形式简单对称，故称为正则方程 
将这两个方程称为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程。包括个形式完全相同的一阶微分方程，建立求解这个一阶微分方程，会出现个积分常数，这些积分常数由初始条件决定。若已知体系在某时刻的各个广义坐标及广义动量的数值，根据这个已知值就可以确定个积分常数，于是体系各个时刻的状态，也就是体系的运动状态就完全确定了。
由此可见，一个自由度为的力学体系，可以用包含个一阶微分方程的哈密顿方程来描写其运动状态，也可以用包含个二阶微分方程的拉格朗日方程来描写。这两种方法是完全等效的。它们的积分解都包含个积分常数，这些积分常数由个初始条件决定。
在理论物理学中，以广义坐标和广义动量作为独立变量比用广义坐标和广义速度做独立变量要广泛和方便得多，这些在统计物理及量子力学中常常用到。由经典物理学过渡到近代物理学，正则方程也常被认为是最方便的形式。我们通常把广义动量和广义坐标叫做正则变量并用它们代表由广义坐标和广义动量所组成的维相空间中的一个相点。
三、哈密顿函数的物理意义
前面我们讲过，体系的哈密顿函数只是各个和的函数。的时变率
可见，在保守系中，哈密顿函数不随时间变化。下面我们来看哈密顿函数和体系的能量的关系。在保守系中，体系的势能只是坐标的函数，因此。回忆前面讲过的动能的表达式：，而该式中是广义动量各二次项的系数。它是各个广义坐标的函数，与广义速度无关。
所以
 
可见哈密顿函数等于体系的总能量。
四、非保守系
前面我们讨论了保守系中的拉格朗日函数，拉格朗日方程，哈密顿量及哈密顿正则方程。在非保守系中情况会怎样呢？
在非保守系中，势能不只是位置而且还是时间的函数。在非保守系中拉格朗日函数的定义，哈密顿函数的定义仍然不变。拉格朗日方程和哈密顿正则方程仍然成立。不同的是和都是时间的函数了，即，，的时变率不在为零了。
五、泊松括号
假如函数 是正则变量,（）及时间的函数，即， 因为，都是时间的函数，根据高等数学里面学过的复合函数求导法则，得 对 的微商为
 
由于已知 同样也是正则变量,（）及时间的函数，因此可以把哈密顿正则方程中的和代入上式，则有
   
此称泊松方程，其中的叫做泊松括号。任意两个量间的泊松括号定义为：   
使用泊松括号时，要注意所有的,都相互独立，任意一个对另外一个的偏导数都等于零。例如而相同的q,p 相互取偏导数则等于1。例如。这样，哈密顿正则方程也可用泊松括号表出：              （）
泊松括号性质：
（1），如果c 为常数
（2）
（3）
(4)
（5）
（6）
(7)   雅克比恒等式
    (8)
(9)

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