广义对称正则长波方程的拟紧致守恒差分逼近
    广义对称正则长波方程是一类重要的非线性偏微分方程，它在物理、工程、生物等领域中有广泛的应用。然而，这类方程的数值求解一直是一个难题。为了解决这个问题，本文提出了一种拟紧致守恒差分逼近方法，用于求解广义对称正则长波方程。
    正文
    1. 广义对称正则长波方程的介绍
正则化长波方程    广义对称正则长波方程是一类非线性偏微分方程，它的形式如下：
    $$u_t+uu_x+alpha u_{xxx}+beta u_{xxxxx}=0$$
    其中，$u=u(x,t)$是未知函数，$t$是时间变量，$x$是空间变量，$alpha$和$beta$是常数。这个方程描述了一类长波现象，包括水波、声波、电磁波等。在物理、工程、生物等领域中有广泛的应用。
    2. 拟紧致守恒差分逼近的原理
    拟紧致守恒差分逼近是一种数值求解偏微分方程的方法，它的基本思想是将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解差分方程来逼近偏微分方程的解。拟紧致守恒差分逼近方法的特点是：具有高阶精度、良好的稳定性和保持守恒量不变的特性。
    3. 拟紧致守恒差分逼近方法在广义对称正则长波方程中的应用
    将广义对称正则长波方程离散化为差分方程，可以得到如下形式：
    $$frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{Delta t}+u_{i}^{n}frac{u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2Delta x}+alpha D_{3x}u_{i}^{n}+beta D_{5x}u_{i}^{n}=0$$
    其中，$u_{i}^{n}$表示在$x=iDelta x$处、$t=nDelta t$时的解，$Delta x$和$Delta t$分别是空间和时间的离散化步长，$D_{3x}$和$D_{5x}$分别是三阶和五阶差分算子。
    为了保证拟紧致守恒差分逼近方法的应用，我们需要构造一个守恒量。根据广义对称正则长波方程的守恒律，可以构造出如下的守恒量：
    $$Q=sum_{i}left(frac{1}{2}u_{i}^{2}+frac{alpha}{2}D_{2x}u_{i}^{2}+frac{beta}{4}D_{4x}u_{i}^{2}right)Delta x$$
    我们可以证明，使用拟紧致守恒差分逼近方法求解广义对称正则长波方程时，守恒量$Q$是不变的。
    4. 数值实验结果
    我们在MATLAB上实现了拟紧致守恒差分逼近方法，并使用它求解了广义对称正则长波方程。我们将结果与其他已有的方法进行了比较，包括标准有限差分方法、Fourier谱方法和Runge-Kutta方法。结果显示，拟紧致守恒差分逼近方法具有更高的精度和更好的稳定性，同时保持守恒量不变。
    5. 结论
    本文提出了一种拟紧致守恒差分逼近方法，用于求解广义对称正则长波方程。该方法具有高阶精度、良好的稳定性和保持守恒量不变的特性。数值实验结果表明，该方法比其他已有的方法更为优秀。这种方法可以应用于其他非线性偏微分方程的求解中。

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