0.引言
Pereg rine
[1,2]首先提出广义正则长波(GRL W)方程
u t +u x +β(u p
)x -γu xx t =0(1.1)其中p 是正整数,β与γ是正的常数.正则长波(RLW)方程作为GRLW 方程的一个特例,
它描述的波的运动与KdV 方程
u t +u x +uu x -u xxx =0
具有相同的逼近解，而且能较好的模拟KdV 方程的所有应用，因此引起了人们的重视.文[4,5,3,7]讨论了它的数值方法.文[6]对GRL W 方程进行了研究，提出了一个三层的格式.
本文考虑以下GRL W 方程的Cauchy 问题
u t +u x +β(u p )x -γu xx t =0(1.1)
u|t =0=u 0(x)
(1.2)
其中p 为正整数,β>0,γ>0方程(1)满足以下守恒律,
E(t)=u
2
L 2
+γ
u x
2L
2
=C onst (1.3)
方程(1)有孤波解,
u(x,t)=Asech 2
p-1
(k(x+x 0-σt))
(1.4)
其中
A=
(P+1)(σ-1)2β
!"
2p-1
,k=p-1
2γ
σ-1σ
#
,p ≥2,σ,x 0为任意常数.1.差分格式与守恒律
我们将应用下面的记号.对平面区域X l ,X r !"×0,!"
T 作网格剖分，取空间方向步长h=(X r -X l )/J，时间方向步长为τ,x j =X l =jh ,t n =n τ,j=0,1,
L,,J,N=T τ定义网格比
r=τ/h，结点(x j ,t n )=(jn,n τ)处的数值解记作u n j ，即
u n j =u(jh,n τ).
(u n
j )x
=u n
j +1-u n j h ,(u n j )x %=
u n
j -u n
j -1
h
(u n
j )t
=un+1j τ,(u n j )t %=u n j
-u n-1
j
τ
(u n
j )x$=u n
j+1-u n
j -12h ,u n+1
2=
u n+1
j
2(u n
,v n
)=h j
&u n j v n
j ,
v
n
2
=(v n
,v n
)
v
n
∞
=sup j
v n
j ,
,,.
在本文中总假定为广义常数，即在不同的位置C 可以表示不同的数值.
对于方程(1.1),(1.2)我们引入参数η(0≤η≤1)，从而提出如下差分格式,
1-η
2
(u n j+1+u n j-1)t +η(u n
j )t
+(u n+12
j
)
x$
-γ(u n+1
j
)
xxt
+
p βp+1u j
n+12
()p-1
u n+12
j
()x$
!"
(2.1)u 0j =u 0(X l +jh)
(2.2)
其中j=0,,L,J,n=1,L N.
差分格式(2.1)对于(1.1)的数值模拟为:
引理1差分格式(2.1)满足如下的离散守恒律，即
E n
=1-η2h J
j &(u n j+1u n j +u n j u n
j-1)+ηu
n
2
+γu x
n
2
=E
n-1
=L =E 0
(2.3)
证明(2.1)式与u n+1+u n 作内积，得
1-η2τh J
j
&(u n+1j+1+u n +1j -1u n+1j -u n j+1u n j -u n j-1u n
j )+η
τ(u
n+1
2
-
u n
x
2
)=0
令E n
=1-η2h J
j
&(u n j+1u n j +u n j u n j-1)+ηu
n
2
+γu x
n
2
则E n =E n-1=L E 0.W
2.差分格式(2.1)的收敛性与稳定性
下面我们将分析差分格式(2.1)的截断误差.
考虑差分格式(2.1)的截断误差R n j ，记U n j =u(x J ,t n ),θn j =U n j -u n
j 则R n
j =1-η2(θn j+1+θn j-1)+η(θn j )
t
+(θn+12
j
)
x$
-γ(θn +1
j
)
xxt
+p β
p+1
(θn+1
2j
)
p-1
(θn+12
j
)x$+(θn +1
2
j
)p
x$
!"
(3)
在(x j ,t n )处,(3)式中的线性部分作T ay lor 展开，得
R n j =1-η2
(θn j+1+θn j-1)+η(θn
j )t +(θn +1
2
j
)
x$-γ(θn+1
j
)xxt =(u t +u x -γu x xt )|(x j ,t n )+O (τ2+h 2),
记(3)式中的非线性部分为
N=p βp+1
(U n+12j )p -1(U n+12j )x$+(U n+
1
2j )p
x$!
"
,
在(x j ,t n )处,N 作T ay lo r 展开并整理，得N=β(u p )x |(x j ,t n )+O(τ2
+h 2)，因此
R n j =O(τ2
+h 2)
于是，我们就得到下面的引理:
引理2假设u(x ,t)足够光滑，则差分格式(2.1)的局部截断误差为O(τ2
+h 2)
理3(离散的so blev 不等式)对于离散函数u 和任意给定的ε>0，存在仅依赖ε与n 常数n (ε,n )，使得
u
n
∞
≤εu n
x
+C(ε,n)
u
n
引理4假设u 0∈H 10[X l ,X r ]，则柯西问题(1.1),(1.2)的解满足如下
估计:
u
L ≤C,
u x
L ≤C,u
L ∞
正则化长波方程≤C
证明由(3)式得
广义正则长波方程隐式差分格式
潘新田
(潍坊学院
山东
潍坊
261061)
【摘要】首先提出了一个求解广义正则长波方程的新的守恒的隐式差分格式，引入了参数η(0≤η≤1)，并对该格式作了稳定性与收敛性
分析，格式的截断误差为O(τ2+h 2)数值结果表明，该方法具有较高的精度，是有效的，可靠的。
【
关键词】广义正则长波方程；守恒的差分方法；稳定性；收敛性A NE W CONSERVATIVE FINIT E DIFFERENCE M ETHO D FOR GE NERALIZED REGULARIZ ED LONG WAVE EQUATION
Pan Xin -tian
(Weifan g Univer sity,Weifang,Shan dong,261061)
【Ab str act 】In this paper ,a new co nservativ e imp licit finite difference metho d for a Cauchy pro blem o f generalized long wave equatio n is
considered ,we intro duce a parameter η(0≤η≤1)to the scheme,who se truncatio n error is O (τ2
+h 2).
Anenergy co nserv ative finite difference
schem e is pro posed and its co nverg ence and stability are pro ved.A num erical example sho ws that the m ethod has go od accuracy and efficiency .
【Key word s 】GRL W equation;co nservativ e finite difference metho d;conv ergence;stability
55
2
2
1.2
(上接第534页)
[2]申葆嘉.国外旅游研究进展(连载之二)[J].旅游学刊,1996(2):48-52.[3]崔凤军.旅游环境研究的几个前沿问题[J].旅游学刊,1998(5):35-39.
[4]刘晓冰，保继刚.旅游开发的环境影响研究进展[J].地理研究,1996,15(4):92-99.
[5]杜炜.关于旅游对环境影响问题的思考[J].旅游学刊,1994(3):49-53.[6]张邦俊.风景区环境噪声的模糊综合评价[J].中国环境科学.1994(6):182-184.[7]Blackw ood.L G.Environmental monitori ng a nd assessm e nt.1995:55-75.
[8]吴楚材.广州市流溪河森林公园总体规划[M].中南林学院旅游规划室.1995.[9]吴楚材.新化大熊山旅游规划[M].中南林学院旅游规划室.1997.
[10]石强，钟林生，吴楚材等.森林环境中空气负离子浓度分级标准[J].中国环境科学.2002(4):320-323.
[11]朱亮锋.芳香植物及其化学成分[M ].海口：海南人民出版社,1993.12.[12]崔凤军.论旅游环境承载力[J].经济地理,1995(1):105-109.
[13]崔凤军，许峰，何桂梅.区域旅游可持续发展评价指标体系的初步研究[J].旅游学刊,1999(4):42-45.
[14]王计平，邹欣庆.沿海城市旅游环境质量评价研究———以江苏连云港市为例[J].海洋通报,2006(4):27-33.
[15]万绪才，张安，李刚等.旅游者的城市旅游环境质量综合评价研究[J].经济地理,2003(1):113-116.
[16]裴青.承德市旅游环境质量现状及其调控[J].地理学与国土研究,1997,7:35-3[]简王华，曹新桂西南旅游资源开发利用与旅游环境协调研究[]广西师范学
院学报(自然科学版),2002(2):56-60.
[18]Briassoulis.H.(1991).Tourism and Environment:Planning issues and approaches,Istanbul,Turke y:Y ildiz U niversity Press:78-83.
[19]Edward lnskeep.E nvironment Planning For Tourism
[J].Annals of Tourism.
1987,14(1):119-130.
[20]S heryl Ross,Geoflre y Wall.E cotourism:towards congruence betw een theory a nd practice[J].Tourism M anagement,1999,(20):123-132.
[21]林卫强，管东生.生态旅游和旅游环境影响评价[J].重庆环境科学,2000(1):23-26.
[22]钱益春.张家界国家森林公园旅游环境质量评价[J].东北林业大学学报.2007(1):76-78.
[23]张维.伊春林区生态旅游环境质量评价[J].哈尔滨师范大学自然科学学报.2005(6):103-108.
[24]郭来喜，保继刚.中国旅游地理学的回顾与展望[J].地理研究.1990,1.
[25]骆华松.区域旅游环境影响评价[J].云南师范大学学报(自然科学版).2002(3):53-57.
作者简介：金涛(1979—)，女，理学硕士，助教，从事旅游管理专业教学与研究。
吕焕哲(1978—)，女，博士，从事土壤生态方向研究。
[责任编辑张艳芳]
●
u
L 2
≤C,
u x
L 2
≤C
从而由不等式，得
引理5假设离散函数ωn 满足如下不等式ωn -ωn-1≤A τωn +B τωn-1+C n τ
其中A,B ,C n (n=1,L N)是非负常数，则ωn
∞
≤ω0+τ
N
k =1
#C k $%
e 2(A+B)τ
其中τ足够小，使得(A+B)τ≤N-12N
(N>1)
引理6假设u 0∈H 10[X l ,X r ]，则关于差分格式(2.1)的解有如下的估计
u
n
≤C,
u n
x
≤C,
u
n
∞
≤C
证明由Yo ung 不等式，得-(1-η)
u
n
2
≤1-η2h J
j
#(u n j+1u n j +u n j -1u n
j )≤(1-η)
u n
2
将上式代入(2.4)式，得(2η-1)
u
n
2
+γu x
n
2
≤E n =E n-1=L E 0=C
由上式，只要η>0.5就有u
n
≤C,u x n
≤C 从而由引理3，得
下面，我们将证明差分格式(2.1)的收敛性:
定理1假设u 0∈H 10[X l ,X r ],Cauchy 问题(1.1)(1.2)的解u ∈C (4,3)，只要η>0.5，则守恒差分格式(2.1)的解以L ∞范数收敛于Cauchy 问题
(1.1)(1.2)的解，收敛阶为O(τ2
+h 2)
证明(限于篇幅，证明略)
类似地可以证明差分格式(2.1)的收敛性，即
定理2假设u 0∈H 10[X l ,X r ],，并选取适当的时间步长τ，则差分格式(2.1)的解以L ∞范数稳定.
3.算法与数值试验
在数值试验中,
我们固定-Xl=X r =10即在[-10,10]上求解(1.1)(1.2)，根据孤波解(1.4)，我们增加边界条件u n 0=u n J =0或者取在(1.4)中，令
β=1
2,γ=1,σ=2,x 0=0，我们取步长h =0.1,τ=0.002,e n ∞
=max (U n
j -u n
j ),p=2,4并将所得结果列表，得
4.结语
由上述表格中的数据，我们可以看出，参数η对数值试验的结果是有一定的影响的，精确解与近似解的e
n
∞
比较小，说明该差分方
法是有效的，可靠的.【
参考文献】[1]D.H.Peregrine,Ca l c ulations of the de velopment of an undular bore ,J.Fluid M ech.25(1966)321-330.
[2]D.H.P e regrine,Long w aves on a beac h,J.Fluid mech.27(1967)815-827.
[3]J.C.Eilbe k,G .R.Meguire,Numerical study of t he regulariz ed long w ave equation,II:Interac ti on of solitary w a ve,J.Comp.Phys.23(1977)63-73.
[4]Q.Chang,G .Wa ng,  B.Guo,Conservative scheme for w aves induced by boundary notion,J.Comput.Phys.A model of nonlinear dispe rsi ve w ave s a nd its solitary 93(1991)360-375.
[5]L.Zhang,Q.Chang,A new finite difference method for regularized long w ave equation,Chinese J.Numer.Method Comput.Appl.23(2001)58-66.
[6]L.Z hang,A finite difference sc heme for generaliz ed regularized long w ave equation,A ppl.Meth.Comput.in press.
[7]D.Bhardw aj,R.Shankar,A computational method for re gulariz ed l ong w ave equation,Comput..Math.Appl.40(2000)1397-1404.[8]Y.Z hou,Application of discrete functional analysis to the finite di fference method,Inter.A c ad.Publishers,Beijing,1990.
作者简介：潘新田(1975—)，男(汉族)，山东潍坊人。研究方向：微分方程数值解法。
[责任编辑：张新雷
]
●56
9.
17.J.:2

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