文章编号㊀１６７２Ｇ６６３４(２０２０)０４Ｇ０００８Ｇ０６D O I ㊀１０．１９７２８/j
．i s s n １６７２Ｇ６６３４．２０２０．０４．００２两类非线性方程(组)的对称约化和精确解
孙世飞㊀李雪霞㊀刘汉泽
(聊城大学数学科学学院，山东聊城２５２０５９
)摘㊀要㊀利用直接对称的方法研究了C u b i c Ｇ非线性S c h r öd i n g e r (C N S )方程和非线性S c h r öd i n g
e r (N L S )方程两类非线性方程，得到了两类不同阶的S c h r öd i n g e r 方程的对称和约化方程，借助对称得到了包括行波解在内的多个精确解，并对两类方程的高阶约化方程进行分析讨论从而得到了幂级数形式的新精确解．关键词㊀非线性偏微分方程组；李点对称；精确解正则化长波方程
中图分类号㊀O １７５．２
文献标识码㊀A
０㊀引言
随着非线性科学研究的不断发展，在数学物理领域中构造非线性方程组并得到其精确解已经成为了一
项热门课题，包括非线性常微分方程(组)[１]㊁非线性偏微分方程(组)[２Ｇ４]和非线性差分方程(组)[５]
如浅水波方程[６]㊁正则长波方程[７]㊁D r i n f e l d ＧS o k e l o v Ｇw i l s o n (D S W )
[８,９]
方程组等的研究都可以用来描述物理等其他领域的复杂现象，在诸多非线性方程和方程组的研究中，量子力学领域中重要的S c h r öd i n g e r 方程的多种精确解的研究也有着其重要的研究意义．
S c h r öd i n g e r 方程是由奥地利物理学家S c h r öd i n g
e r 提出的用来描述微观粒子运动的量子力学中的一个基本方程，通过对每个微观系统的S c h r öd i n g e r 方程进行研究可以得到波函数的具体形式以及对应的能量，进而了解微观系统的性质．非线性S c h r öd i n g e r 方程在非线性光纤㊁非线性光器件㊁光子晶体等多种非线性介质中作为可以描述非线性波动传播动力学的基本模型被广泛关注和研究㊁针对引入随机变量的各种修正的S c h r öd i n g e r 方程，采用解析和数值方法研究其孤子解具有现实意义；通过解析和数值的研究光孤子脉冲的动力学特性，可以进一步的研究光孤子脉冲在全光技术中的物理机制；通过相空间分析S c h r öd i n g e r 方程还可以对混沌动力学进行研究，通过研究基于非线性光纤和光纤器件的混沌动力学，可以寻混沌出现的条
件，而这些条件也在全光通信中为混沌加密等方向的研究提供了潜在的重要作用．
研究了如下形式的二阶C N S 方程和三阶N L S 方程两类不同阶数的非线性偏微分S c h r öd i n g
e r 方程i u t ＋αu |u |２
＋u x x ＝０
,(１)i u t ＋u x x x ＋６|u |２u x ＋３u (|u |２)x ＝０
,(２
)其中α是系数,u 是复函数振幅．S c h r öd i n g e r 方程在数学物理领域中是一种经典并且重要的非线性方程，但是由于非线性方程的复杂性和特殊性，目前并没有统一的计算工具和方法，在过去的几十年中，出现了很多
求解非线性方程的一般方法，例如H i r o t a 双线性方法[１０,１１]㊁辅助函数法[１２,１３]㊁F Ｇ展开法[１４,１５]
㊁E x p Ｇ函数法[１６,１７]和李对称法[１８Ｇ２０]
等，其中孙艳波采用不同形式的H i r o t a 双线性方法对方程进行求解．通过位势变换引入新函数，将原方程转换成双线性导数方程进行求解[１１
]；蔡国梁，张风云等人用扩展的F Ｇ
展开法求耦合收稿日期:２０１９Ｇ１０Ｇ０１
基金项目：国家自然科学基金项目(１１１７１０４１
)资助通讯作者：刘汉泽，男，汉族，博士，教授，研究方向：微分方程理论与应用,E Ｇm a i l :h n z _l i u ＠a l i y
u n ．c o m．第３３卷㊀第４期２０２０年０８月㊀㊀㊀聊城大学学报(
自然科学版)J o u r n a l o fL i a o c h e n g U n i v e r s i t y (N a t ．S c i ．)V o l ．３３N o ．４
A u g
．２０２０
S c h röd i n g e rＧB o u s s i n e s q方程组的精确解；阮航宇利用变量分离法研究了(２＋１)维N L S方程的局部结构，得到了一系列包含环孤子，呼吸子和瞬子等的局域解[２１]；李景美，张金良等人通过导出常系数柱(球)非线性S c h röd i n g e r方程与变系数非线性S c h röd i n g e r方程(N L S)的一个相似变换并通过Gᶄ/G展开法得到了变系数N L S方程的解[２２]；高秀丽，额尔敦布和等人通过求变分问题的极值和试探函数法等多个方法的组合得到了C u b i cＧ非线性S c h röd i n g e r(C N S)方程的精确解[２０]．这些方法在求解非线性偏微分方程的研究中都逐渐成熟，但是并没有研究此类方程的李对称及相应结构，而在众多方法中，李对称方法因为可以判定方程的行波行为和其广泛适用性得到了广泛关注，本文通过复包络变换和李对称方法讨论了S c h röd i n g e r方程的李点对称和约化方程，并通过幂级数方法得到了约化方程的一系列新解，从而对于今后研究此类S c h röd i n g e r 方程提供了更多的方向．
在本文中，第１部分引进复包络变换，将包含复值函数的S c h röd i n g e r方程转化为了实函数方程组，并借助L i e对称方法得到了对应实函数方程组的点对称；第２部分，根据第一部分得到的对称对实函数方程组进行对称约化，得到了部分精确解；第３部分，运用幂级数方法对两类方程的高阶约化方程进行研究，得到了新的精确解．
１㊀两类S c h röd i n g e r方程的复包络变换和李点对称
在包含复函数的非线性偏微分方程的研究中，为了检测方程有没有行波行为，常用的方法就是引入变换将复函数方程转化为实函数方程组，本文中引入复包络变换
u(x,t)＝p(x,t)＋i q(x,t),(３)其中i为虚数单位，将(３)代入方程(１)得到如下方程组
p t＋αp２q＋αq３＋q x x＝０,q t－αq２p－αp３－p x x＝０．(４)同样将(３)式代入方程(２)得到对应的实函数方程组
p t＋p x x x＋１２p２p x－１２q２p x－２４p q q x＝０,q t＋q x x x＋１２p２q x－１２q２q x＋２４p q p x＝０．(５)设方程组(４)(５)的单参数向量场为
V＝ξ(x,t,p,q)∂∂x＋τ(x,t,p,q)∂∂t＋φ(x,t,p,q)∂∂p＋ψ(x,t,p,q)∂∂q,(６)其中ξ(x,t,p,q),τ(x,t,p,q),φ(x,t,p,q)和ψ(x,t,p,q)为向量场中的待定系数函数，如果向量场(６)存在方程组(４)(５)的对称，向量场需要满足以下条件
p r(i)V(Δ１)|Δ１＝０＝０,㊀p r(j)V(Δ２)|Δ２＝０＝０．(７) p r(i)V表示向量场的i阶延拓，在方程组(４)中Δ１＝p t＋αp２q＋αq３＋q x x,Δ２＝q t－αq２p－αp３－p x x，方程组(５)中Δ１＝p t＋p x x x＋１２p２p x－１２q２p x－２４p q q x,Δ２＝q t＋q x x x＋１２p２q x－１２q２q x＋２４p q p x．接下来用标准对称分析方法研究两类方程组的向量场．
(I)㊀方程组(４)通过无穷小生成元可以得到无穷多个点对称，得到的李点对称为
V＝(１２C５x＋２C４t＋C２)∂∂x＋(C５t＋C１)∂∂t－(１２C５p＋C４x q＋C３q)∂∂p
㊀㊀＋(－１２C５q＋C４x p＋C３p)∂∂q,
(８)
其中ξ＝１
２C５x＋２C４t＋C２,τ＝C５t＋C１,φ＝－(１２C５p＋C４x q＋C３q),ψ＝－１２C５q＋C４x p＋C３p．
不变的全体生成元V构成了一个五维李代数，并有以下一组基
V１＝∂∂t,V２＝∂∂x,V３＝p∂∂q－q∂∂p,V４＝x p∂∂q－x q∂∂p＋２t∂∂x,㊀㊀㊀㊀V５＝p∂∂p＋q∂∂q－２t∂∂t－x∂∂x．(９)
(I I)㊀方程组(５)得到的李点对称为９
第４期孙世飞，等：两类非线性方程(组)的对称约化和精确解
V ＝(C １３x ＋C ３)∂∂x ＋(C １t ＋C ２)
∂∂t －C １３p ∂∂p －C １
３q ∂∂q
,(１０
)其中ξ＝C １３x ＋C ３,τ＝C １t ＋C ２,φ＝－C １３p ,ψ＝－C １３q ．不变的全体生成元V 构成了一个三维李代数，有如下一组基
V １＝
∂∂t ,V ２＝∂∂x ,V ３＝１３x ∂∂x ＋t ∂∂t －１３p ∂∂p －１３q ∂∂q
．(１１
)通过求得的方程的向量场，可以对非线性方程进行对称约化，从而使偏微分方程转化为常微分方程进行求解，通过向量场也可以对方程的守恒律进行研究．
２㊀两类非线性方程(组)的约化和精确解
在上一部分我们已经得到了方程(４)和方程(５)两类非线性方程组的向量场，在这一部分，将对两类方程组的对称约化及精确解进行研究．
首先考虑方程组(４
)的特殊向量场㊁约化方程和精确解(a )对于向量场V ２＝∂∂x ，可以得到相似变量ξ１＝t ,ω＝p ,v ＝q ．对应的不变解为ω＝f (ξ１),v ＝g (ξ
１)，可得p ＝f (t ),q ＝g (
t )．(１２)将不变量(１２)代入方程(４
)，得到约化方程f ᶄ＋αf ２g ＋αg ３＝０,g ᶄ－αg ２f －αf ３
＝０,
(１３
)其中f ᶄ＝d f /d ξ,g ᶄ
＝d g /d ξ．
(b )对于向量场V １＋c V ２＝∂∂t ＋c ∂∂x ，不变量为ξ２＝x －c t ,ω＝p ,v ＝q ．对应的不变解为ω＝f (ξ２),v ＝g (ξ
２)，可得p ＝f (x －c t ),q ＝g (
x －c t )．(１４)将不变量(１４)代入方程(４
)，得到约化方程c f ᶄ＋αf ２g ＋αg ３＋g ᵡ＝０,g ᶄ－αg ２f －αf ３－f ᵡ
＝０,
(１５
)其中f ᶄ＝d f /d ξ,g ᶄ
＝d g /d ξ．
(c )对于向量场V ５＝p ∂∂p ＋q ∂∂q
－２t ∂∂t －x ∂∂x ，不变量为ξ３＝x t －１２
,ω＝q t １２,v ＝p t １
２．对应的不变解为ω＝f (ξ３),v ＝g (ξ
３)，将不变量代入原方程组得约化方程－f ᶄξ－f ＋２αg f ２＋２αg ３＋２g ᵡ＝０,g ᶄξ＋g ＋２
αg ２f ＋２αf ３＋２f ᵡ
＝０,(１６
)其中f ᶄ＝d f /d ξ,g ᶄ
＝d g /d ξ．
接下来根据方程(５)的特殊向量场研究非线性方程组(５
)的约化方程和精确解．(a )对于向量场V ２＝∂∂x
，可以得到不变量ξ１＝t ,ω＝p ,v ＝q ．对应的不变解为ω＝f (ξ１),v ＝g (ξ
１)，可得p ＝f (t ),q ＝g (
t )．(１７
)将不变量(１７)代入方程(５
)
，得到约化方程f ᶄ＝０,g ᶄ
＝０,
(１８)其中f ᶄ＝d f /d ξ,g ᶄ
＝d g /d ξ．因此方程组(
５)有解p ＝c １,q ＝c ２，其中c １,c ２为任意常数，很明显解是无意义的．
(b )对于向量场V １＋c V ２＝∂∂t ＋c ∂∂x
，不变量为ξ２＝x －
c t ,ω＝p ,v ＝q ．对应的不变解为ω＝f (ξ２),v ＝g (ξ
２)，可得０
１㊀
聊城大学学报(自然科学版)
p ＝f (x －c t ),q ＝g (
x －c t )．(１９
)将不变量(１９)代入方程组(５
)，得到约化方程－c f ᶄ＋f ‴＋１２f ２f ᶄ－１２g ２f ᶄ－２４f g g ᶄ＝０,－c g ᶄ＋g ‴＋１２f ２g ᶄ－１２g ２g ᶄ＋２４f f ᶄ
g ＝０,(
２０)其中f ᶄ＝d f /d ξ,g ᶄ
＝d g /d ξ．
(c )对于向量场V ３＝１３x ∂∂x ＋t ∂∂t －１３p ∂∂p －１３q ∂∂q
，不变量为ξ３＝x t －１３,ω＝p t １３,v ＝q t １
３．对应的不变解为ω＝f (ξ３),v ＝g (ξ
３)，将不变量代入原方程组得约化方程㊀f ᶄξ＋f －３f ‴－３６f ２f ᶄ＋３６g ２f ᶄ＋７２f g g ᶄ＝０,g ᶄξ＋g －３
g ‴－３６f ２g ᶄ＋３６g ２g ᶄ－７２f f ᶄ
g ＝０,(２１)其中f ᶄ＝d f /d ξ,g ᶄ
＝d g /d ξ．
值得注意的是，约化方程(１６)和(２１
)都是高阶的非线性微分方程，我们将在下一节对这两个方程进行讨论和研究．
３㊀两类非线性方程组的幂级数解
在第二部分，通过L i e 对称分析已经得到了方程(４)和方程(５
)两类非线性方程组的对称及约化方程，在本节将对高阶约化方程(１６)和(２１
)进行研究，通过幂级数解得到了含有非恒量系数的幂级数形式解．设方程组有下列形式的幂级数解
f (ξ
)＝ð¥
n ＝０
a n
ξn
,㊀㊀g (ξ)＝ð¥
n ＝０
b n
ξn
．
(２２
)将式(２２)代入方程(１６
)
得－ð¥
n ＝０
n a n ξn
－ð¥
n ＝０
a n ξn
＋２αð¥n ＝０ðn j ＝０ðj
k ＝０
a n －j a j －k
b k ξn
＋２αð¥
n ＝０ðn
j ＝０ðj
k ＝０
b n －j b j －k b k ξ
n
＋２ð¥
n ＝０
(n ＋１)(n ＋２)b n ＋２ξn
＝０,
(２３a
)ð¥
n ＝０
n
b n
ξn
＋ð¥
n ＝０
b n ξn
＋２αð¥n ＝０ðn j ＝０ðj
k ＝０
b n －j b j －k a k ξn
＋２αð¥
n ＝０ðn j ＝０ðj
k ＝０
a n －j a j －k a k ξ
n
＋２ð¥
n ＝０
(n ＋１)(n ＋２)a n ＋２ξn
＝０．
(２３b
)比较相同系数项，可得
a n ＋２＝－１２(n ＋１)(n ＋２)[(n ＋１)
b n ＋２αb n b ０a ０＋２αa n a ２０＋２αðn
j ＝０ðj
k ＝１
(b n －j b j －k a k ＋a n －j a j －k a k )],b n ＋
２＝－１２(n ＋１)(n ＋２)[－(n ＋１)a n ＋２αa n a ０b ０＋２αb n b ２
０＋２αðn
j ＝０ðj
k ＝１
(a n －j a j －k b k ＋b n －j b j
－k b k )]．(２４)其中n ＝０,１,２,．对于任意选取的常数a ０,a １,b ０和b １都可以得到
a ２＝
１４(b ０＋２αa ０b ２０＋２αa ３０),b ２＝１４
(a ０＋２αb ０a ２０＋２αb ３
０)
．(２５
)根据递推公式,a n 和b n 的其余各项都可以通过式(
２４)得出，这表明方程(１６)存在系数为式(２４)的幂级数解．则方程(２４)有如下形式的幂级数解f (ξ)＝a ０＋a １ξ＋ð¥
n ＝２
n a n ξn
,g (ξ)＝b ０＋b １ξ＋ð¥
n ＝２
n b n ξn
,
(２６
)则非线性方程组(４
)的精确解为p (
x ,t )＝a ０＋a １x t －１
２
＋ð¥
n ＝２n a n
x t －n
２
,q (
x ,t )＝b ０＋b １x t －１
２
＋ð¥
n ＝２
n b n
x t －n
２
．(２７
)将(２２)式代入方程(２１
)得ð¥
n ＝０
n a n ξn
＋ð¥
n ＝０
a n ξn
－３６ð¥
n ＝０ðn
j ＝０ðj
k ＝０
(
n －j ＋１)a n －j
＋１a j －k a k ξn
＋３６ð¥
n ＝０ðn j ＝０ðj
k ＝０
(
n －j ＋１)a n －j ＋１b j －k b k ξn
１１第４期
孙世飞，等：两类非线性方程(组)的对称约化和精确解
２１㊀聊城大学学报(自然科学版)
－３ð¥n＝０(n＋１)(n＋２)(n＋３)a n＋３ξn＋７２ð¥n＝０ðn j＝０ðj k＝０(n－j＋１)b n－j＋１b j－k a kξn＝０,(２８)ð¥n＝０n b nξn＋ð¥n＝０b nξn－３ð¥n＝０(n＋１)(n＋２)(n＋３)b n＋３ξn＋３６ð¥n＝０ðn j＝０ðj k＝０(n－j＋１)b n－j＋１b j－k b kξn
－３６ð¥n＝０ðn j＝０ðj k＝０(n－j＋１)b n－j＋１a j－k a kξn－７２ð¥n＝０ðn j＝０ðj k＝０(n－j＋
１)a n－j＋１a j－k b kξn＝０．(２９)比较同类项，同理可得a n＋３和b n＋３的表达式
a n＋３＝１
３(n＋１)(n＋２)(n＋３)[(n＋１)(a n－３６a n＋１a２０＋３６a n＋１b２０＋７２b n＋１b０a０)]
㊀㊀㊀＋ðn j＝０ðj k＝１３６(n－j＋１)(－a n－j＋１a j－k a k＋a n－j＋１b j－k b k＋２b n－j＋１b j－k a k),(３０)
b n＋３＝１
３(n＋１)(n＋２)(n＋３)[(n＋１)(b n－３６b n＋１a２０＋３６b n＋１b２０－７２a n＋１a０b０)]
㊀㊀㊀＋ðn j＝０ðj k＝１３６(n－j＋１)(－b n－j＋１a j－k a k＋b n－j＋１b j－k b k－２a n－j＋１a j－k b k),(３１)其中n＝０,１,２, 对于任意选取的常数a０,a１,b０和b１，方程(２１)存在如下形式的解
f(ξ)＝a０＋a１ξ＋a２ξ２＋ð¥n＝３n a nξn,g(ξ)＝b０＋b１ξ＋b２ξ２＋ð¥n＝３n b nξn,(３２)非线性方程(５)的解为
p(x,t)＝a０＋a１x t－１３＋a２x t－２３＋ð¥n＝３n a n x t－n３,(３３)
q(x,t)＝b０＋b１x t－１３＋b２x t－２３＋ð¥n＝３n b n x t－n３．(３４)本文中应用幂级数方法对方程(１６)和(２１)两类不同阶的S c h röd i n g e r方程复包络变换后的的方程组的精确解进行研究，得到了相应的幂级数解，这表示幂级数方法在求解不同阶的多种非线性方程和非线性方程组中都有其强大的适用性和重要性．在数学物理领域通过得到的幂级数解也可以得到所研究方程的精确解并解释一系列复杂的物理现象，因此该方法在理论和应用上都很方便．
４㊀结论
本文通过L i e对称分析和幂级数函数法对C N S和N L S两类S c h röd i n g e r方程进行研究，通过复包络变换和李对称得到了两类方程的李点对称和约化方程，进而通过约化方程得到了两类方程的高阶约化方程的幂级数解，这些解在数学物理方面有很重要的特征，也证明了李对称方法和幂级数函数方法是研究和求解非线性方程(组)的有效方法．
参㊀考㊀文㊀献
[１]㊀徐家发，杨志林．n阶非线性常微分方程组边值问题的正解[J]．系统科学与数学,２０１０,３０(５):６３３Ｇ６４１．
[２]张鸿庆，丁琦．一类非线性偏微分方程组的解析解[J]．应用数学和力学,２００８,２９(１１):１２６８Ｇ１２７８．
[３]苏道毕力格，王晓民，鲍春玲．利用对称方法求解非线性偏微分方程组边值问题的数值解[J]．应用数学,２０１６,２７(４):７０８Ｇ７１３．[４]田红霞，高犇．二元C a m a s s aＧH o l m方程的李对称分析和精确解[J]．中国科学院大学学报,２０１６,３３(４):４５４Ｇ４６１．
[５]张千宏，徐昌进．一个非线性差分方程组解的表现[J]．西南师范大学学报(自然科学版),２０１０,３５(４):５５Ｇ５８．
[６]梅建琴，张鸿庆．２＋１维广义浅水波方程的类孤子解与周期解[J]．数学物理学报,２００５,２５(６):７８４Ｇ７８８．
[７]柏琰，张鲁明．对称正则长波方程的一个守恒差分格式[J]．应用数学学报,２００７,３０(２):２４８Ｇ２５５．
[８]Z h a oZ,Z h a n g Y,H a nZ．S y m m e t r y a n a l y s i s a n d c o n s e r v a t i o n l a w s o f t h eD r i n f e l dＧS o k o l o vＧW i l s o n s y s t e m[J]．T h eE u r o p e a nP h y s i c a l J o u r n a l P l u s,２０１４,１２９(７):１４３．
[９]T a s b o z a nO,Şe n o lM,K u r tA,e t a l．N e ws o l u t i o n s o f f r a c t i o n a l D r i n f e l dＧS o k o l o vＧW i l s o n s y s t e m i n s h a l l o ww a t e rw a v e s[J]．O c e a nE n g iＧ

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。