第４１卷第２期贵州大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．４１Ｎｏ．２２０２４年 ３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｍａｒ．２０２４文章编号 １０００ ５２６９（２０２４）０２ ００１５ ０７ＤＯＩ：１０．１５９５８／ｊ．ｃｎｋｉ．ｇｄｘｂｚｒｂ．２０２４．０２．０３线性正则正余弦加权卷积及其应用
王小霞，冯 强
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７１６０９９）
摘 要：针对积分方程的求解问题，本文提出了利用卷积运算及其卷积定理来讨论两类卷积类积分方程组的解。
首先，在线性正则正弦变换与线性正则余弦变换的基础上，定义了线性正则正余弦卷积运算及其加权卷积运算；
其次，推导了相应的卷积定理，研究了该卷积与傅里叶正余弦变换卷积运算的关系；最后，讨论了两类卷积类积分方程组的解，给出了该方程解的一般形式。
关键词：线性正则正弦变换；线性正则余弦变换；卷积定理；积分方程
中图分类号：Ｏ１７２．４ 文献标志码：Ａ
线性正则变换（ｌｉｎｅａｒｃａｎｏｎｉｃａｌｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＬＣＴ）［１ ５］被广泛应用于应用数学、光学和信号处理等领域，是傅里叶变换（ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＴ）［６ ７］、分数阶傅里叶变换（ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＲ ＦＴ）［８ ９］的广义形式。在线性正则变换的基础上定义的线性正则正弦变换（ｌｉｎｅａｒｃａｎｏｎｉｃａｌｓｉｎｅｔｒａｎｓ ｆｏｒｍ，ＬＣＳＴ）［１０］与线性正则余弦变换（ｌｉｎｅａｒｃａｎｏｎｉ ｃａｌｃｏｓｉｎｅｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＬＣＣＴ）［１０］是傅里叶正弦变换（ｆｏｕｒｉｅｒｓｉｎｅｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＳＴ）［１１ １２］与傅里叶余弦变换（ｆｏｕｒｉｅｒｃｏｓｉｎｅｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＣＴ）［１１ １２］的广义形式。由于ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ的计算复杂度是线性正则变换计算复杂度的一半，在处理奇偶信号问题上具有独特的优势，因此，在应用数学、光学系统和信号处理领域研究线性正则正余弦变换卷积运算以及卷积定理非常重要。
近年来，许多学者对傅里叶正余弦变换卷积运算［１１ １２］、分数阶傅里叶正余弦变换卷积运算［１３ １５］、线性正则正余弦变换卷积运算［１０］进行了深入研究，例如，ＴＨＡＯ等［１２］研究了傅里叶正余弦加权广义卷积，并给出了它在求解积分方程组中的应用，冯强［１３ １６］等研究了分数阶傅里叶正余弦变换卷积定理，讨论了卷积类积分方程的求解问题，文献［１０］给出了线性正则正余弦变换卷积运算及其相应的卷积定理，并设计了一类基于卷积定理的线性正则正余弦变换域带限信号的乘性滤波模型。
线性正则正余弦变换相对于傅里叶正余弦变换及分数阶傅里叶正余弦变换更具有灵活性，因此，研究线性正则正余弦变换卷积运算及其卷积定理非常有意义。本文在现有基础上，首先，定义了ＬＣＳＴ ＬＣＣＴ、ＬＣＣＴ ＬＣＳＴ卷积运算及其加权卷积运算并深入挖掘了与其相关的卷积定理；其次，给出了所得卷积与已有的ＦＣＴ、ＦＳＴ ＦＣＴ、ＦＣＴ ＦＳＴ、ＬＣＣＴ、ＬＣＳＴ卷积运算的关系；最后，讨论了两类卷积类积分方程组的解，并给出了该类方程解的一般形式。
１ 预备知识
定义１［１７ １８］ 设函数ｆ（ｔ）∈Ｌ
１
（Ｒ），Ａ＝（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）为参数矩阵，其中，ａｄ－ｂｃ＝１，则ＬＣＴ定义为
ＬＡ
ｆ
（ｕ）＝
∫∞－∞ｆ（ｔ）ＫＡ（ｔ，ｕ）ｄｔ，ｂ≠０
槡ｄｅｘｐ（ｊ
ｃｄｕ２
２
）ｆ（ｄｕ），ｂ＝
{０其中，ＫＡ（ｔ，ｕ）＝
１
ｊ２π
槡ｂ
ｅｊ（ｄｕ２２ｂ－ｕｔｂ＋ａｔ２２ｂ）为ＬＣＴ的核函数。
ｆ（ｔ）的线性正则变换的逆变换可以表示为
ｆ（ｔ）＝
∫∞０ＬＡｆ（ｕ）ＫＡ－１（ｕ，ｔ）ｄｕ，ｂ≠０
槡ａｅ－ｊ
ａｃ
２
ｔ２ｆ（ａｔ）， ｂ＝
{
０
收稿日期：２０２３ ０７ ０４
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６２２６１０５５，６１８６１０４４）；陕西省自然科学基金资助项目（２０２２ＪＭ ４００，２０２３ ＪＣ ＹＢ ０８５）
作者简介：王小霞（１９９５—），女，在读硕士，研究方向：傅里叶分析及其应用，Ｅ ｍａｉｌ：２６４５９５０９２４＠ｑｑ．ｃｏｍ．
通讯作者：冯 强，Ｅ ｍａｉｌ：ｙａｄｘｆｑ＠ｙａｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．
其中，ＫＡ－
１（ｕ，ｔ）＝１－ｊ２π
槡
ｂｅｊ（－ｄｕ２２ｂ＋ｕｔｂ－ａ２ｂｔ２），Ａ－１＝
（ｄ，－ｂ，－ｃ，ａ）。
当Ａ＝（０，１，－１，０）时，ＬＣＴ就变为ＦＴ［６ ７］
。
Ｆ（ｕ）＝
∫
∞
－∞
ｆ（ｔ）ｅ－ｊｕｔ
ｄｔ。
定义２［１９］ 设函数ｆ（ｔ）的ＬＣＳＴ表示为ＬＡ
ｓ
（ｆ（ｔ））（ｕ），则函数ｆ
（ｔ）的ＬＣＳＴ定义为ＬＡ
ｓ
（ｆ（ｔ））（ｕ）＝－ｉ２ｉπ
槡
ｂｅｉ
ｄｕ２２ｂ×∫
∞
０
ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｕ
ｂ
ｔ）ｅｉａｔ２２ｂ
ｄｔ
（１）
其逆变换为
ｆ（ｔ）＝ｉ２－ｉπ
槡
ｂｅ－ｉａｔ２２ｂ∫
∞０（ＬＡｓｆ）（ｕ）×ｓｉｎ（ｕｂ
ｔ）ｅ－
ｉｄｕ２２ｂｄｕ。定义３［１９］ 设函数ｆ（ｔ）的ＬＣＣＴ表示为ＬＡ
ｃ
（ｆ（ｔ））（ｕ），则函数ｆ（ｔ）的ＬＣＣＴ定义为
ＬＡ
ｃ（
ｆ（ｔ））（ｕ）＝２
ｉπ
槡
ｂｅｉｄｕ
２２ｂ
×∫
∞
０
ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｕｂ
ｔ）ｅｉ
ａｔ２２ｂｄｔ（２）
其逆变换为
ｆ（ｔ）＝
２－ｉπ
槡
ｂｅ－ｉａｔ２２ｂ∫
∞０（ＬＡｃｆ）（ｕ）×ｃｏｓ（ｕｂ
ｔ）ｅ－ｉｄｕ２２ｂｄｕ。
当Ａ＝（
０，１，－１，０）时，上述ＬＣＳＴ和ＬＣＣＴ就退化为经典的ＦＳＴ和ＦＣＴ［２０］
：
Ｆｓ
（ｆ（ｔ））（ｕ）＝１
２槡π∫
∞
０
ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｕｔ）ｄｔ，ｕ＞０与
Ｆｃ
（ｆ（ｔ））（ｕ）＝１２槡π∫∞
０
ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｕｔ）ｄｔ，ｕ＞０。引理１［２１］
设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ），满足如下ＦＣＴ卷积运算：
（ｆ Ｆｃｇ）（ｔ）＝１２槡π∫
∞
０ｆ（τ）（ｇ（｜ｔ－τ｜）＋ｇ（ｔ＋τ））ｄτ（３）
则有如下卷积定理，
Ｆｃ［（ｆ Ｆｃ
ｇ）（ｔ）］（ｕ）＝（Ｆｃｆ）（ｕ）（Ｆｃ
ｇ）（ｕ）。引理２［２２］
设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ），满足如下ＦＳＴ ＦＣＴ卷积运算：
（ｆ Ｆｓ，Ｆｃｇ）（ｔ）＝１２槡
π∫
∞
０ｆ（τ）（ｇ（｜ｔ－τ｜）－ｇ（ｔ＋τ））ｄτ
（４）
则有如下卷积定理，
Ｆｓ［（ｆ Ｆｓ，Ｆｃ
ｇ）（ｔ）］（ｕ）＝（Ｆｓｆ）（ｕ）（Ｆｃ
ｇ）（ｕ）。引理３
［２２］
设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ），满足如下ＦＣＴ ＦＳＴ卷积运算：
（ｆ Ｆｃ，Ｆｓｇ）（ｔ）＝１２槡
π∫
∞
０ｆ（τ
）（ｇ（ｔ＋τ）－ｓｇｎ（ｔ－τ）ｇ（｜ｔ－τ｜））ｄτ
（５）
则有如下卷积定理，
Ｆｃ［（ｆ Ｆｃ，Ｆｓ
ｇ）］（ｕ）＝（Ｆｓｆ）（ｕ）（Ｆｓ
ｇ）（ｕ）。引理４
［１０］
设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ），满足如下ＬＣＳＴ加权卷积运算：
（ｆ γ
ＬＡ
ｓｇ）（ｔ）＝１
２
１ｉ２π
槡
ｂｅ－ｉａ２ｂｔ２∫
∞０槇ｆ（τ）×（槇－ｇ（ｔ＋τ＋ｂ）－ｓｇｎ（ｔ－τ－ｂ）×槇ｇ（｜ｔ－τ－ｂ｜）＋ｓｇｎ（ｔ－τ＋ｂ）×
槇ｇ（｜ｔ－τ＋ｂ｜）槇＋ｇ（｜ｔ＋τ－ｂ｜））ｄτ（
６）则有如下卷积定理，
ＬＡ
ｓ
［（ｆ ＬＡｓ
γ
ｇ）（ｔ）］（ｕ）＝ｉｅ－ｉｄ２ｂｕ２
ｓｉｎｕ（ＬＡｓｆ）（ｕ）（ＬＡｓ
ｇ）（ｕ）。引理５［１０］
设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ），满足如下ＬＣＣＴ卷积运算：
（ｆ ＬＡｃ
ｇ
）（ｔ）＝１ｉ２π
槡
ｂｅ－ｉａ２ｂｔ２∫
∞０槇ｆ（τ
）
×（槇ｇ（｜ｔ－τ｜）槇＋ｇ（ｔ＋τ））ｄτ（７）
则有如下卷积定理，
ＬＡｃ［（ｆ ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）］（ｕ）＝ｅ－ｉｄ２ｂｕ２
正则化权重（ＬＡｃｆ）（ｕ）（ＬＡｃ
ｇ）（ｕ）。２ 主要结果
２．１ ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ加权卷积运算
定义４ 设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ），则ＬＣＳＴ ＬＣＣＴ加权卷积运算（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）定义如下：
（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）＝
１
２
１ｉ２π
槡
ｂｅ－ｉａ２ｂｔ２∫
∞０槇ｆ（τ
）×（槇ｇ（｜ｔ－ｂ－τ｜）槇＋ｇ（｜ｔ－ｂ＋τ｜）－槇ｇ（｜ｔ＋ｂ－τ｜）槇－ｇ（ｔ＋ｂ＋τ））ｄτ
（８）
其中，槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
。
定义５ 设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ），则有ＬＣＣＴ ＬＣＳＴ·６１·贵州大学学报（自然科学版）
第４１卷
加权卷积运算（ｆ γ
ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）定义如下：
（ｆ γ
ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）＝１
２１ｉ２π
槡
ｂｅ－ｉａ２ｂｔ２∫
∞０槇ｆ（τ
）×（槇－ｇ（ｔ＋ｂ＋τ）槇＋ｇ（｜ｔ＋ｂ－τ｜）＋槇ｇ（ｔ－ｂ＋τ）槇－ｇ（｜ｔ－ｂ－τ｜））ｄτ
（９）
其中，槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
。
定义６ 设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ），则有ＬＣＳＴ ＬＣＣＴ卷积运算（ｆ ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）定义如下：
（
ｆ ＬＡｓ，ＬＡ
ｃ
ｇ）（ｔ）＝１ｉ２π
槡
ｂｅ－ｉａ２ｂｔ２∫
∞０槇ｆ（τ
）×（槇ｇ（｜ｔ－τ｜）槇－ｇ（ｔ＋τ））ｄτ
（１０）
其中，
槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
。定义７ 设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ），则有ＬＣＣＴ ＬＣＳＴ卷积运算（ｆ ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）定义如下：
（ｆ ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）＝－
１
ｉ２π
槡
ｂｅ－ｉａ２ｂ
ｔ２∫
∞
０
槇ｆ（τ
）×（槇ｇ（ｔ＋τ）－ｓｇｎ（ｔ－τ）槇ｇ（｜ｔ－τ｜））ｄτ（
１１）其中，槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
。
２．２ ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ加权卷积定理
本节在ＬＣＳＴ卷积运算与ＬＣＣＴ卷积运算及其加权卷积运算的基础上，推导出相应的卷积定理。定理１ 设权函数γ＝ｓｉｎｕ，ＬＡ
ｓｆ与ＬＡｃ
ｇ分别表示
ｆ（ｔ）与ｇ（ｔ）的ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ，若ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ＋），则有ＬＣＳＴ ＬＣＣＴ加权卷积运算（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡ
ｃ
ｇ）（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ＋），并且满足如下卷积定理：ＬＡ
ｓ
（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｕ）＝－ｉｅ－ｉｄ２ｂｕ２
ｓｉｎｕ（ＬＡｃｆ）（ｕ）（ＬＡｃ
ｇ）（ｕ）（１２）
其中，ｕ＞０。
证明 首先，证明（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ＋）。设ｂ＞０，由于
∫∞
０
｜（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）｜ｄｔ≤
１２１ｉ２π
槡ｂ∫
∞
０｜ｆ（τ）｜×［∫∞
０
｜ｇ（｜ｔ＋ｂ＋τ｜）｜ｄｔ＋∫∞０
｜ｇ（｜ｔ＋ｂ－τ｜）｜ｄｔ＋∫∞０｜ｇ（｜ｔ－ｂ－τ｜）｜ｄｔ＋∫
∞
０
｜ｇ（｜ｔ－ｂ＋τ｜）｜ｄｔ］ｄτ，因为
∫∞
０
｜ｇ（ｔ＋ｂ＋τ）｜ｄｔ＋∫
∞
０
｜ｇ（｜ｔ－ｂ－τ｜）｜ｄｔ＝∫∞
ｂ＋τ｜ｇ（ｓ）｜ｄｓ＋∫∞
－ｂ－τ｜ｇ（｜ｓ｜）｜ｄｓ＝∫∞
ｂ＋τ
｜ｇ（ｓ）｜ｄｓ＋∫∞
０
｜ｇ（ｓ）｜ｄｓ＋∫ｂ＋τ
０
｜
ｇ（ｓ）｜ｄｓ＝２∫
∞０
｜ｇ（ｓ）｜ｄｓ，同理可得
∫∞
０
｜ｇ（｜ｔ＋ｂ－τ｜）｜ｄｔ＋∫∞
０
｜ｇ（｜ｔ－ｂ＋τ｜）｜ｄｔ＝２∫
∞０｜ｇ（ｓ）｜ｄｓ，从而
｜（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）｜１≤１２×４１ｉ２π槡ｂ∫
∞
０｜ｆ（τ）｜×ｄτ∫
∞
０
｜
ｇ（ｓ）｜ｄｓ＝２
１
ｉ２π
槡
ｂ｜｜ｆ｜｜１｜｜ｇ｜｜１＜∞。即有（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ＋）。其次，证明式（１２）。根据式（１）式（２）及定义４
，
有ｓｉｎｕ（ＬＡｃｆ）（ｕ）（ＬＡ
ｃｇ
）（ｕ）＝２ｉπｂｅ
ｉｄｂｕ２∫∞０∫
∞
０
ｓｉｎｕｃｏｓ（ｕｂｓ）ｃｏｓ（ｕ
ｂ
ω）×
ｅｉａ２ｂ（ｓ２
＋ω２
）
ｆ（ｓ）ｇ（ω）ｄｓｄω
（１３）
由于
ｓｉｎｕｃｏｓ（ｕｂｓ）ｃｏｓ（ｕｂω）＝１４［ｓｉｎｕ（ｂ＋ｓ－ωｂ）＋
ｓｉｎｕ（ｂ＋ｓ＋ωｂ）＋ｓｉｎｕ（ｂ－ｓ＋ω
ｂ）＋
ｓｉｎｕ（ｂ－ｓ－ω
ｂ）］
（１４）
由式（１３）式（１４）可得
∫∞０
∫
∞
０
［ｓｉｎｕ（ｂ＋ｓ－ωｂ）＋ｓｉｎｕ（ｂ＋ｓ＋ω
ｂ
）］×
ｅｉａ２ｂ（ｓ２
＋ω２
）ｆ（ｓ）ｇ（ω
）ｄｓｄｗ＝
∫∞０
∫
∞
ｂ＋ｐｓｉｎｕ（ｑｂ
）ｅｉａ２ｂ（ｐ２＋（ｑ－ｂ－ｐ）２）×
ｆ（ｐ）ｇ（ｑ－ｂ－ｐ）ｄｐｄｑ－
∫∞０∫
∞
０ｓｉｎｕ（ｑｂ
）ｅｉａ２ｂ（ｐ２＋（ｑ＋ｂ＋ｐ）２）×
ｆ（ｐ）ｇ（ｑ＋ｂ＋ｐ）ｄｐｄｑ＋∫∞０∫ｂ＋ｐ０
ｓｉｎｕ（ｑ
ｂ）
ｅｉａ
２ｂ（ｐ２＋（ｂ＋ｐ－ｑ）２）×
ｆ（ｐ）ｇ（｜ｂ＋ｐ－ｑ｜）ｄｐｄｑ（１５）
＝
∫∞０
∫
∞
０
ｓｉｎｕ（ｑｂ
）ｆ（ｐ）ｅｉａ２ｂｐ２×
·
７１·第２期
王小霞等：线性正则正余弦加权卷积及其应用
［ｇ（｜ｑ－ｂ－ｐ｜）ｅｉａ
２ｂ（ｑ－ｂ－ｐ）２
－
ｇ（ｑ＋ｂ＋ｐ）ｅｉａ
２ｂ
（ｑ＋ｂ＋ｐ）２］ｄｐｄｑ
同理可得
∫∞０
∫
∞
０
［ｓｉｎｕ（ｂ－ｓ＋ωｂ）＋ｓｉｎｕ（ｂ－ｓ－ω
ｂ
）］×
ｅｉａ２ｂ（ｓ２
＋ω２
）ｆ（ｓ）ｇ（ω）ｄｓｄω
＝
∫∞０
∫
∞
０
ｓｉｎｕ（ｑｂ
）ｆ（ｐ）ｅ
ｉａ２ｂｐ２［ｇ（｜ｑ－ｂ＋ｐ｜）ｅｉａ
２ｂ（ｑ－ｂ＋ｐ）２
－
ｇ
（｜ｑ＋ｂ－ｐ｜）ｅｉａ
２ｂ
（ｑ＋ｂ－ｐ）２ｄｐｄｑ（１６）
由式（１５）式（１６）以及定义４，可得
ｓｉｎｕ（ＬＡｃｆ）（ｕ）（ＬＡ
ｃｇ
）（ｕ）＝２ｉπ
ｂｅｉｄｂ
ｕ２
×
∫∞０
∫
∞
０
ｓｉｎｕｃｏｓ（ｕｂｓ）ｃｏｓ（ｕ
ｂ
ω）×
ｅｉａ２ｂ（ｓ２
＋ω２
）ｆ（ｓ）ｇ（ω）ｄｓｄω
＝２ｉπ
槡ｂｅｉｄｂｕ２∫∞０∫
∞
０
ｓｉｎｕ（ｑｂ
）
ｅｉａ２ｂｑ２×
１
４
２ｉπ
槡
ｂｅ－ｉａ２ｂｑ２ｆ（ｐ）ｅｉａ２ｂｐ２×
［ｇ（｜ｑ－ｂ－ｐ｜）ｅｉａ
２ｂ（ｑ－ｂ－ｐ）２
＋ｇ（｜ｑ－ｂ＋ｐ｜）×
ｅ
ｉａ２ｂ
（ｑ－ｂ＋ｐ）２－ｇ（｜ｑ＋ｂ－ｐ｜）ｅ
ｉａ２ｂ
（ｑ＋ｂ－ｐ）２－
ｇ（ｑ＋ｂ＋ｐ）ｅｉａ２ｂ
（ｑ＋ｂ＋ｐ）２］ｄｐｄｑ
＝
２ｉπ
槡
ｂｅｉｄｂｕ２∫
∞０ｓｉｎｕ（ｑｂ）ｅｉａ２ｂｑ２×
（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｑ）ｄｑ。
则
－ｉｅ－ｉｄ２ｂｕ２
ｓｉｎｕ（ＬＡｃｆ）（ｕ）（ＬＡｃ
ｇ）（ｕ）＝－ｉ２
ｉπ
槡
ｂ×ｅ
ｉｄ
２ｂ
ｕ２∫∞０
∫
∞
０
ｓｉｎｕ（ｑｂ）ｅ
ｉａ２ｂｑ２１４
２ｉπ
槡
ｂｅ－ｉａ２ｂｑ２×
ｆ
（ｐ）ｅｉａ２ｂｐ２
［ｇ（｜ｑ－ｂ－ｐ｜）ｅｉａ２ｂ（ｑ－ｂ－ｐ）２
＋ｇ（｜ｑ－ｂ＋ｐ｜）ｅ
ｉａ
２ｂ
（ｑ－ｂ＋ｐ）２－ｇ（｜ｑ＋ｂ－ｐ｜）×
ｅｉａ
２ｂ（ｑ＋ｂ－ｐ）２
－ｇ（ｑ＋ｂ＋ｐ）ｅｉａ
２ｂ（ｑ＋ｂ＋ｐ）２
］ｄｐｄｑ
＝－ｉ
２
ｉπ
槡
ｂｅｉｄ２ｂ
ｕ２∫
∞
０
ｓｉｎｕ（ｑ
ｂ
）ｅ
ｉａ２ｂ
ｑ２×
（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｑ）ｄｑ。
因此，定理得证。
定理２ 设权函数γ＝ｓｉｎｕ，ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈
Ｌ１（Ｒ＋），ＬＡｓｆ与ＬＡ
ｃｇ分别表示ｆ
（ｔ）与ｇ（ｔ）的ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ，则有ＬＣＣＴ ＬＣＳＴ的加权卷积运算（ｆ γ
ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ＋），并且满足如下卷积定理：ＬＡ
ｃ
（ｆ γ
ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｕ）＝ｉｅ－ｉｄ２ｂｕ２
ｓｉｎｕ（ＬＡｓ）（ｕ）（ＬＡｃ）
（ｕ）（１７）
其中，ｕ＞０。
证明 定理２的证明类似于定理１。
定理３ 设ＬＡｓｆ与ＬＡ
ｃｇ
分别表示ｆ（ｔ）与ｇ（ｔ）的ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ，若信号ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ＋），则有ＬＣＳＴ ＬＣＣＴ卷积运算（ｆ ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ＋），并且满足如下卷积定理：
ＬＡｓ（ｆ ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｕ）＝ｅ－ｉｄ２ｂｕ２
（ＬＡｓｆ）（ｕ）（ＬＡｃｇ
）（ｕ）（１８）
其中，ｕ＞０。
证明 定理３的证明类似于定理１。
定理４ 设ＬＡｓｆ与ＬＡ
ｃｇ
分别表示ｆ（ｔ）与ｇ（ｔ）的ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ，若信号ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ＋），则有ＬＣＣＴ ＬＣＳＴ卷积运（ｆ ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）∈Ｌ１
（Ｒ＋），并且满足如下卷积定理：
ＬＡｃ（ｆ ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｕ）＝ｅ－ｉｄ２ｂｕ２
（ＬＡｓｆ）（ｕ）（ＬＡｓｇ
）（ｕ）（１９）
其中，ｕ＞０。
证明 定理４的证明类似于定理１。
２．３ ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ加权卷积运算与已有卷积运算之间的关系
本节将继续研究ＬＣＳＴ卷积运算与ＬＣＣＴ卷积运算及其加权卷积运算与ＦＳＴ卷积运算和ＦＣＴ卷
积运算之间的关系。
定理５ 设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ＋），则有ＬＣＳＴ ＬＣＣＴ加权卷积运算（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）可以由ＦＣＴ卷积
Ｆｃ
表示为
（ｆ γＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）＝１
２１槡
ｉｂｅ－ｉａ２ｂｔ２［（槇ｆ Ｆｃ
槇ｇ）（｜ｔ－ｂ｜）－
（槇ｆ Ｆｃ
槇ｇ）（ｔ＋ｂ）］。
其中，
槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
。证明 由定义４可得
（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）＝
１
２
１槡
ｉｂ
ｅ－ｉ
ａ２ｂｔ２１２槡π∫
∞０
槇
ｆ（τ）×（槇ｇ（｜ｔ－ｂ－τ｜）槇＋ｇ（｜ｔ－ｂ＋τ｜）槇－ｇ（｜ｔ＋
·
８１·贵州大学学报（自然科学版）第４１卷
ｂ－τ｜）槇－ｇ（ｔ＋ｂ＋τ）ｄτ
，由式（３）可得（ｆ γ
ＬＡｓ，ＬＡ
ｃｇ）（ｔ）＝１
２
１槡
ｉｂｅ－ｉａ２ｂ
ｔ２
［（槇ｆ Ｆｃ
槇ｇ）（｜ｔ－ｂ｜）－
（槇ｆ Ｆｃ槇ｇ）（ｔ＋ｂ）］。因此，定理得证。
定理６ 设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ＋），则ＬＣＣＴ ＬＣＳＴ加权卷积运算（ｆ γ
ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）可以由ＦＳＴ ＦＣＴ卷积
Ｆｓ，Ｆｃ
表示为
（ｆ γＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）＝１
２１槡
ｉｂｅ－ｉａ２ｂｔ２［（槇ｆ Ｆｓ，Ｆｃ
槇ｇ）（ｔ＋ｂ）－
（槇ｆ Ｆｓ，Ｆｃ
槇ｇ）（｜ｔ－ｂ｜）。
其中，槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
。
证明 定理６的证明类似于定理５。
定理７ 设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ＋），则有ＬＣＳＴ ＬＣＣＴ卷积运算（
ｆ ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）可以由ＦＳＴ ＦＣＴ卷积 Ｆｓ，Ｆｃ
表示为
（ｆ ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）＝
１槡
ｉｂｅ－ｉａ２ｂｔ２（槇ｆ Ｆｓ，Ｆｃ
槇ｇ
）（ｔ）。其中，槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
。
证明 定理７的证明类似于定理５。
定理８ 设ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）∈Ｌ１（Ｒ＋），则有ＬＣＣＴ ＬＣＳＴ卷积运算（ｆ ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｇ）（ｔ）可以由ＦＣＴ ＦＳＴ卷积
Ｆｃ，Ｆｓ
表示为
（
ｆ ＬＡｃ，ＬＡ
ｓ
ｇ）（ｔ）＝－１槡
ｉｂｅ－ｉａ２ｂｔ２（槇ｆ Ｆｃ，Ｆｓ
槇ｇ
）（ｔ）。其中，槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
。
证明 定理８的证明类似于定理５。
３ 线性正则正余弦卷积运算在积分
方程中的应用
积分方程在很多应用中都很重要，涉及辐射能量传递，膜或轴的振荡问题。因此，研究卷积类积分方程组的解是一个热点。
下面讨论两类卷积类积分方程组的解。３．１ 第一类积分方程
ｆ（ｔ）＋Ａｔ
∫＋∞
０
槇ｍ
（τ）槇ｇ１１
（ｔ，τ）ｄτ＝ｐ（ｔ）ｇ（ｔ）＋Ａｔ∫＋∞０
槇ｆ（τ）槇ｎ１２
（ｔ，τ）ｄτ＝ｑ（ｔ{
）（
２０）其中，Ａｔ＝
１
２
１ｉ２π
槡
ｂｅ－ｉｄ２ｂｔ２，
槇ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，槇ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
，槇ｍ（ｔ）＝ｍ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２，珘ｎ（ｔ）＝ｎ（ｔ）ｅｉａ２ｂｔ２
，
ｇ１１（ｔ，τ）槇＝ｇ（｜ｔ－ｂ－τ｜）槇＋ｇ（｜ｔ－ｂ＋τ｜）－槇ｇ（｜ｔ＋ｂ－τ｜）槇－ｇ（ｔ＋ｂ＋τ），ｎ１２（ｔ，τ）＝－珘ｎ（ｔ＋ｂ＋τ）＋珘ｎ（｜ｔ＋ｂ－τ｜）＋珘ｎ（ｔ－ｂ＋τ）－珘ｎ（｜ｔ－ｂ－τ｜）。定理９ 假设条件Δ＝１－Λ≠０成立，其中，
Λ＝ｉｅ－ｉｄ２ｂｔ２
ｓｉｎｔ（ＬＡｓ（ｍ γ
ＬＡｓ，ＬＡ
ｃ
ｎ））（ｔ），则式（２０）存在唯一解
ｆ（ｔ）＝ｐ（ｔ）＋（ｐ γＬＡｓ
ψ
）（ｔ）－（ｍ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｑ）（ｔ）－（（ｍ γＬＡｓ，ＬＡｃ
ｑ） γ
ＬＡｓ
ψ）（ｔ），
ｇ（ｔ）＝ｑ（ｔ）＋（ψ γＬＡｃ，ＬＡｓ
ｑ
）（ｔ）－（ｐ γ
ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｎ）（ｔ）－（ψ γＬＡｃ，ＬＡｓ
（ｐ γ
ＬＡｃ，ＬＡ
ｓ
ｎ））（ｔ）。其中，ψ∈Ｒ＋且满足
ｉｅ
－ｉｄ
２ｂｔ２ｓｉｎｔ（ＬＡ
ｓψ
）（ｔ）＝Λ
Δ
（２１）
证明 卷积类积分方程组（２０）可改写为
ｆ（ｔ）＋（ｍ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｇ）（ｔ）＝ｐ（ｔ）
ｇ（ｔ）＋（ｆ γ
ＬＡｃ，ＬＡｓ
ｎ）（ｔ）＝ｑ（ｔ{
）
（２２）
对上式两边分别做ＬＣＳＴ与ＬＣＣＴ，则可得
（
ＬＡｓｆ）（ｔ）－ｉｅ－ｉｄ２ｂｔ２
ｓｉｎｔ（ＬＡｃｍ）（ｔ）（ＬＡｃｇ）（ｔ）＝（ＬＡｓｐ）（ｔ）（ＬＡｃｇ）（ｔ）＋ｉｅ－ｉｄ２ｂｔ２
ｓｉｎｔ（ＬＡｓｆ）（ｔ）（ＬＡｃｎ）（ｔ）＝（ＬＡｃｑ
）（ｔ
）由于
Δ１＝（ＬＡｓｐ）（ｔ）－ＬＡｓ（ｍ γ
ＬＡｓ，ＬＡ
ｃ
ｑ）（ｔ），利用Ｗｉ
ｅｎｅｒ Ｌｅｖｉｓ定理［２３］以及式（２１）可得（ＬＡ
ｓ
ｆ）（ｔ）＝（ＬＡｓｐ）（ｔ）－ＬＡｓ
（ｍ γ
ＬＡｓ，Ｌ
Ａｃ
ｑ）（ｔ）
１－ｉｅ－ｉｄ２ｂｔ２
ｓｉｎｔ（ＬＡｓ
（ｍ γＬＡｓ，ＬＡｃ
ｎ））（ｔ）＝（（ＬＡｓｐ）（ｔ）－ＬＡ
ｓ（
ｍ γ
ＬＡｓ，ＬＡｃ
ｑ）（ｔ））×（１＋ｉｅ－ｉｄ２ｂｔ２
ｓｉｎｔ（ＬＡｓψ
）（ｔ））·
９１·第２期王小霞等：线性正则正余弦加权卷积及其应用
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