.预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法是一种用于求解大规模线性方程组的迭代方法。它结合了共轭梯度法和预处理技术，能够加快求解速度并提高收敛性能。
预处理共轭梯度法的基本步骤如下：
1. 选择一个合适的预处理矩阵M，将原始的线性方程组Ax=b转化为M^{-1}Ax=M^{-1}b。
2. 初始化向量x_0和残差向量r_0=b-Ax_0，其中x_0是任意一个近似解，通常选择零向量。
3. 初始化搜索方向向量p_0=r_0，计算预处理残差向量z_0=M^{-1}r_0。正则化共轭梯度法
4. 对于k=0,1,2,...,直到满足停止准则为止，执行以下步骤：
  a. 计算搜索方向向量p_k。
  b. 计算步长\alpha_k。
  c. 更新近似解向量x_{k+1}=x_k+\alpha_k p_k。
  d. 更新残差向量r_{k+1}=r_k-\alpha_k Ap_k。
  e. 计算预处理残差向量z_{k+1}=M^{-1}r_{k+1}。
  f. 计算搜索方向向量p_{k+1}=z_{k+1}+\beta_{k+1}p_k，其中\beta_{k+1}由Fletcher-Reeves公式计算。
5. 输出近似解向量x_k作为原始线性方程组的解。
预处理矩阵M的选择是预处理共轭梯度法的关键之一，不同的预处理矩阵会对求解速度和收敛性能产生不同的影响。常用的预处理矩阵有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理、不完全Cholesky分解预处理等。
预处理共轭梯度法具有很好的数值稳定性和收敛性能，尤其适用于求解大规模稀疏线性方程组。

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