第36卷第3期山东建筑大学学报Vol.36No.3 2021年6月JOURNAL OF SHANDONG JIANZHU UNIVERSITY Jun.2021
DOI：10.12077/sdjz.2021.03.002
基于超收敛点配点法求解圆周上超奇异积分方程
李金*，桑瑜，张晓蕾，苏晓宁，屈金铮
(华北理工大学理学院，河北唐山063210)
摘要：超奇异积分方程的求解可用于解决科学工程中的许多问题，如无界区域、断裂、计算生物等。文章基于梯
形公式近似计算圆周上三阶超奇异积分方程，在误差泛函特殊函数为0时具有超收敛现象(零点即为超收敛
点)基础上，围绕超奇异积分方程的数值计算，选取超收敛点作为配点，研究了求解超奇异积分的配点法。针对
奇异线性方程组的求解，引入正则化因子，将奇异线性方程组转化为正定线性方程组，并通过对系数矩阵性质
的研究得到其逆矩阵元素的显式表达式，探索了逆矩阵的相关性质，结合超收敛性建立误差估计理论。结果表
明：该配点法求解圆周上三阶超奇异积分方程的收敛阶为0(h2ln h)，数值算例验证了理论分析的正确性。
关键词：超奇异积分方程；梯形公式；配点法；超收敛性
中图分类号：O241.8文献标识码:A文章编号：1673-7644(2021)03-0009-07
Collocation method based on the superconvergence point to solve
hypersingular integral equations on a circle
LI Jin*,SANG Yu,ZHANG Xiaolei,SU Xiaoning,QU Jinzheng
(School of Science，North China University of Science and Technology，Tangshan063210，China)
Abstract:There are lots of problems in scientific engineering such as unbounded domain,fracture
and computational biology problems,which can be deduced into hypersingular integral equation on
interval or on a circle.By using the trapezoidal rule to approximate the third order hypersingular
integral on a circle,the local coordinate point of the special function equals to zero(The zero point is
the superconvergence point).In order to solve the hypersingular integral equations,the middle point
of each subinterval is chosen as the collocation point to construct the collocation methods to solve the
hypersingular integral equation.In order to find the solution of the singular system of linear equations,
by introducing regularization factors,the linear system of singular equations into positive definite linear
system of equations has been transformed.With the help of properties of coefficient matrix,the explicit
expression of its inverse matrix has been obtained,and the correlation property of inverse matrix has
been proved,the theory of error estimation by using the superconvergence has been established.The
results show that the convergence order of this collocation method is0(h2lnh).Theorem analysis is
confirmed by numerical example.
Key words:hypersingular integral equations;trapezoidal rule;collocation method;superconvergence
收稿日期：2020-08-24
基金项目：山东省自然科学基金项目(ZR2016JL006)；河北省自然科学基金项目(A2019209533)
作者简介：李金(1980-)，男，教授，博士，主要从事边界元理论及数值解、超奇异积分方程高精度算法、重心有理插值理论等方面的研究「E-mail:lijin@ncst.edu[*通讯作者]
10山东建筑大学学报2021年0引言
奇异积分在边界元方法特别是自然边界元方
法［1］中尤为重要，超奇异积分方程算法的研究同样
应用广泛［2-3］o圆周上的超奇异积方程通常出现在
圆域或椭圆域的边值问题中，求解超奇异积分方程
首先要计算超奇异积分，对超奇异积分进行有效的
计算是求解超奇异积分方程面临的一个重要问
题⑷。
近年来，超奇异积分的近似计算得到了广泛的
研究［5-7］。LINZ⑻研究了计算区间上超奇异积分的
牛顿科特斯公式，并给出了奇异点在子区间中点时
区间上二阶超奇异积分的复化梯形公式及相应的误
差估计。邬吉明等［9］将超奇异积分作为以奇异点
为变量的函数，并提出相应的计算方法。余德浩［10］
研究了圆周上超奇异积分的近似计算公式，并得到
误差估计。对于区间上和圆周上超奇异积分的超收
敛现象也得到了快速的发展［11-12］o对于超奇异积
分方程，研究成果相对较少，FENG等［13］研究了基
于矩形公式的圆周上超奇异积分方程的数值方法。
对于配点法求解三阶超奇异积分方程的文献还较
少。LI等［14］研究了圆周上三阶超奇异积分的超收
敛性，并基于超收敛点构造配置格式。
文章基于梯形公式近似计算圆周上三阶超奇异
积分，在误差泛函特殊函数为0(零点即为超收敛
点)的基础上，选取超收敛点为配点构造线性方程
组求解超奇异积分方程；通过引入正则化因子将奇
异线性方程组变为正定线性方程组，完成圆周上三
阶超奇异积分方程的数值求解；通过对系数矩阵性
质的研究得到其逆矩阵元素的显示表达式，进而证
明了该方法的收敛性，并通过数值算例验证了理论
分析的正确性。
1圆周上超奇异积分方程概述
1.1圆周上超奇异积分方程
考虑定义在圆周上的超奇异积分方程，由式
(1)表示为
尸(0,s)_/•p ^c+2n
X—s
cos v(X
—
---------dx
•3X-S
sin
_u(s),(1)
式中s为奇异点,s e(c,c+2打);/・p
c+2n
・J表示三
阶超奇异积分；认x)是以2n为周期的密度函数。
设c_x°<X］<…<X—1<x n_c+2n为区
间［c,c+2n］上的均匀剖分，子区间长度为h_
2n/n。定义%(x)为v(x)的线性插值，由式(2)表
示为
/V"—W W/V"
44-4-—I4
0L(X)_—h叭X,—1)+——h叭X J,(2)
式中x e[x i—1,x,],1W i W n。
定义线性变换，由式(3)表示为
人X i—X,_
X_X i(T)：_(T+
1)——2+X i—1,(3)
式中i_0,1,…,n-1;t e[-1,1]。将子区间
:X,—1,X,]变换到区间:-1,1]。
将式(1)中的”(x)替换为”L(X)，得到复合梯
形公式，由式(4)表示为
/(”L,s):_f'P
^c+2n
cos X J”L(X)
dx
3X s
sin
_X®2(s)0(x i),(4)
i_1
式中®2(s)为科特斯系数，由式(5)表示为
2,、2(x,+1-s x i—1-s
3(s)_h卜0七2+COt2
X i s
一2cot
4(sin(X i—s)(X i—s)
\-cot
h(cos h一cos(x,-s)2
(5)
式中x”+1_x1。
1.2圆周上三阶超奇异积分相关结论
首先说明以下记号，C表示与h和s无关的常
数，在不同的位置代表的值不同。
基于梯形公式近似计算圆周上的三阶超奇异积
分，在文献［14］中已有如下结论：
弓I理1假设0(x)e C4［c,c+2n］,/”(0,s)
的定义为式(4)，则存在一个与h和s无关的正常数
C，使得
尸(0,s)-/”(0L,s)_-4/'(S)ntan n T+R”(s),
(6)
式中s=x”—1+(1+t)h/2，且m_1,2,…，”，即s e
(X m-1,X m)，且有
|R”(s)W C m ax j K s(x)}(I lnh+Y—2(t))h2,
(7)
式中人(x)及y(t)的定义分别由式(8)和(9)表
示为
第3期李金，等：基于超收敛点配点法求解圆周上超奇异积分方程
11
K s ( %)=-“ 、3 % _ S (% - s  ) cos ------2
3 % - S %丰S  ,
sin
(8)
2
18,
% 二 S  ；
Y  ( 7 ) = min  S-%~
0W i  W  " h
r  1 + 7
2' 1 - 7I  2
T  W  0,T  > 0。
考虑超奇异积分方程，由式(10)表示为2：
% _s
cos  v ( % )•c  + 2n  2
—d% = u(s ),3 % 一 S  sin 3 ——
si
2s  e  (c,c  + 2n ), 且其附加条件由式(11)表示为
(9)
(10)
-2cot"k  Y ”-} 0o  (17)
即P "为奇异矩阵，因此式(13)的线性方程组不能 直接用于求解式(10)的积分方程。
在式(13)的方程组中引入正则化因子y 0"，则
可得到线性方程组，由式(18)表示为
2 v  ( %k  - %”
%k  - %”-2
'Y  0"+hn? 1 卜
0+
cot ^^
--2cot "k
;
”-1 j  ””="(%»),
(18)
"
v ”=
0，
” =1
式中k  = 1,2,…，"；y 0"的表达式由式(19)表示为
2n
I  u(%)d% = 00
由文献［15］可知，增加周期条件由式(⑵表示为
r2n
I  v (%)d% = 0 ,
则超奇异积分方程(10)存在唯一解。
利用式(4)的复合梯形公式逼近式(10)中的超
奇异积分，并选取每个子区间的中点为配点构造线 性方程组，求解超奇异积分方程组。每个子区间的
中点为%k  =%k-1 + h/2( k  = 1,2,…,")，则超奇异方
程组可表示为线性方程组，由式(13)表示为 2 v  ( %*-%”
％*-%”-2小
％*-%”-1 )
hn 台I
2 2 2 丿
=u ( %k  ) , k  =
1,2,…，"o  (13)
根据超奇异积分的周期性定义%-1 =%"—1，则式 (13)可表示为矩阵形式，由式(14)表示为
P ”V "=U " ,
(14)
式中 V " = ( V 1,V 2,…，V ”)T ；U " = ( u ( % 1 )
,u ( % 2),…， u(%"))T ，且
P
"
= (P k ” ) "X",
O
(11)
(12)
・V.
(15)
2
Pkm
k  ”一2
k
”一1
2 cot  ---------22
(无-%”-J]
I  人 -cot  h
n
(cos  h  - cos  (%k  _%”_ 1) 2
丿
cot
%k  %”
2
+ cot
4 (
sin  (忑-%m
-1
(16)
式中k 、” = 1,2,…,";v k 表示v 在%k 处的近似解。易知
P "是一个对称的托普利兹矩阵Toeplitz 矩阵，也是一个 循环矩阵，对于任意的k  = 1,2,…,"，由式(17)表示为
1"
Y 0" = X
u (%k )h
o  (19)
2n  k= 1
整理式(18)后得到的线性方程组可由式(20) 表示为
%k -
%”-1 %k  一％”-2 ] | _ 厂、
cot  -cot  I  |V ” = u (%k
)
l  与” =0。
同样可将式(20)的方程组表示为矩阵形式，由
式( 21) 表示为
P "+1V "+1 =久+1, (21)
式中P "+ 1、总1和U "+1分别由式(22)~(24)表示为
P "+1 =
(22)
(23)
(24)
其中e ”= (1,1,-,1)T  o 已知”1=v ”+1，整理线性方
程组(20)得到的线性方程组由式(25)表示为
2《V ”+1
-
V ” (
Y 0
"
-
hn  搭 h
[
cot
・ h  = u (%k )
,
2 " v  」-v 厶 p  +1 ”7 八l  -厂 X  7-----h  = 0hn ” =1 h
o %k -
%”
-
---cot
(25)
”+
1
12
山东建筑大学学报2021 年
定义此二-(沧1 —%)/h ，则方程组(20)可继
续整理，由式(26)表示为
2 V  (几-% 几-X m-1 )
'Y 0”+hn  若 1 卜0-cot ^^
J
-
-d m h  = u(X k ),
(26)
2幺
〔厂 X  d m h  = 0,
hn  m= 1
式中k  =1,2,…申。
2基于超收敛点配点法求解圆周上超
奇异积分方程
2.1引理及证明
2.1.1引理2及证明
引理2对于线性方程组(26)，其解为
m  = 1,2,…,“。 (27)
证明 该引理已在文献［16］中定理6.2.1给出
(28)
(29)(30)
证明。
2.1.2引理3及证明
引理3令Q n+1 = (q (k  )5+1)心+1)是乙+1的逆
矩阵，P 的定义为式(21)。因此有
(1) Q n +1的表达式由式(28)表示为
(g °0 Q 1 ]
Q
"+
1 = G  Q ”J ，
式中
Q 1
= (g °1, g °2,…，兀),Q 2
= (
910,920,…,g 初);
Q i 0 =张=—,1 W  i  W  n ;
1 W  k  W  n ;
(32)
(2) Q ”是一个Toeplitz 矩阵，也是一个循环矩阵。(3) 对于i  = 1,2,…,n，存在一个正常数C 满足
n
X  9
ik
W  C 。 (33)
k  = 1
n
=2h 「g 1 ( X k  - X m  X k  - X 9ik  二—X
I  cot  --------cot ------—
1 W  i  W  n  - 1,1 W  k  W  n;
(31)
9 nk
证明
(1)由式(18)得到公式由式(34)表示为
0 = X
”m m  = 1
= - h
X  m
%+1 一 %
h
+叫
=h
X  md
m
+ nv n 。 (34)
m  = 1
将式(27)代入式(34)，得到公式由式(35)表示为
-cot  k  m-1 I  u(X k ) , (35)
则式(32)得证。由式(27)整理得到公式由式(36)
表示为
n- 1
正则化收敛速率
0, = h
X
d m
+ 0”
2
h  1
( X k  - X m
X k  - X m-1 ) / " \
—X
X  | cot  c  - cot  c
I  u(X k
)
(36)
则式(31)得证。
下证式(30)成立。
设q ”+1是P  ”+1的逆矩阵，且P ”+1是对称矩阵,
所以q ”+1也是一个对称矩阵，因此Q T  = Q 2，即当j  =
1,2,…，”时，有式(37)成立，即
9fl
=
。
(37)
易知Q ”+1和P ”+1的子矩阵Q n 和P n 具有同样
的循环性，用Q n+1的第i 行乘以P n+1的第i 列，得到
9,0 +
X  9曲=1， 1 W  i
W  n
,
(38)
=1
或
n
9,0 =
1 -
X  9曲,1 W  i
W  ”。
(39)
将Q n+ 1的第一行与P n+ 1的第一列相乘，可得到
公式由式( 40) 表示为
n
X  9
= 1 (40)
=1
联立式(37)、(39)和(40)，有 9,0 =90, = 1 /n 。
则(1)证明完毕。
(2)
由于
第3期李金，等：基于超收敛点配点法求解圆周上超奇异积分方程
13
1 百/ 八( X k  - X m  X k  - X m-1
X
( m  + 1) I  cot  - cot n  m_0 ( 2 2
1
百( X k  - X m  X k  - X m-1 )—X  m I  cot -------------cot -------------” \_ m_ 1 ( 2 2 丿
-(X k  - X m
X k  - X m-1
] 1
,I  cot
- cot
I  m — 1 I
2丿
-2h  X
(m  + 1) (cot  Xk  -Xm+1 - cot  Xk-X "丿 nn 絃 ( 2 2丿
k  m  k  m — 1
I
-------------cot -------------2 2丿
k  n — 1 k  n  — 2
---------------cot -------------cot 22
1 X  m  I  cot
n  m_ 1
(/V"
— W
W
/V"
k
m
k
----cot
2
2
o
(41)
因此，当i  _ 1,2,…，n- 2时，联立式(41)，有式
(42) 成立， 即
2h
9i+1 ,k+1 - ~n~
n — 1
人 人( k+1
m
k+1
X
I  cot  〜
-cot  〜
z  _ i + 1 \
22
1
1 ( X k+1 一 X m  X k+1 一 X
—X  m  I  cot ---------------cot  -----------n  m_ 1
222h
[ X
cot
/V" — W
W
/V"
k
m
k
----cot
2
2
n  —1
丄
X
n  m_ 1
( X k m I  cot  k
X m
X k
----cot  — 22
Qik 。
(42)
此处用到的公式由式(43)表示为
n  —
1
X  — x km
X
cot ----------_ 0。
m_ 0
此外，由式(41)可知
2(43)
(46)
即当k  _ 2,3,…,”时，有q n ,k —1 _q 1k ，所以
Q
n
是一个
循环矩阵。
综上，Q n 是一个Toeplitz 矩阵，也是一个循环 矩阵。(2)证明完毕。
(3)由于Q n 是一个循环矩阵，为了证明式 (33)成立，考虑k_n 的情况。通过计算，可得q nk 由
式( 47) 表示为
I n  /y  — zy
_ V 1 /人 X  m  兀 k  — 1 7q
nk
_ 二 X  (
x m  一 x k — 1) cot  ---Q ---h
n  _ m  _ 1
2
X
X m — 1 x k — 1 7
一
X  (
X m-1
一 X k — 1)cot
h
9n ,k+1 _g n — 1,k ， k  _ 】,2,…,” 一 1
。
( 44) 联立式(42)和(44)，可知Q n 是一个Toeplitz 矩
阵。下面给出q [k 和弘片1的表达式，分别由式(45) 和(46) 表示为4 x k-1 一 X n
4
X k
一 X n
(47)
式(47)的第一项是中点积分公式，由式(48)表
示为
2h
q 1k  _
n
n — 1
X
m  _ 1
cot
k
m  k
----cot
2
2
屮X n  J  0
s ) cot  dx
1 X  m  I  cot
n  m_ 1
(/V" — W
W
/V"
k
m
k
-
---cot
2
2
_ 2 [丿 1
(2n  - s
)
+
丿 1( s )
]。 n
(48)

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