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振!动!与!冲!击
第"#卷第$$期
%&'()*+&,-./(*0.&)*)123&45
-678"#)68$$$9:;!
基金项目!.十二五/国家科技支撑计划项目"$9:$/*%:"/9:#%江苏省普
通高校研究生科研创新计划"4a d d :">9:9;#
收稿日期!$9:#>9#>$:!修改稿收到日期!$9:#>9?>$#第一作者李宗京男$博士生$:?;#年生通信作者舒赣平男$博士$教授$:?@=年生
正则化/6TC `VL D 模型的参数研究及其在金属阻尼器中的应用
李宗京:$$$舒赣平:$$
":8东南大学!混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室$南京!$:99?@%$8东南大学!土木工程学院$南京!$:99?@#
!!摘!要 针对经典/6TC `VL D 模型中存在冗余参数的情况$介绍了一种无冗余参数的正则化/6TC `VL D 模型&基于
理论推导及编制的K M Q 7M Z 程序$对正则化/6TC `VL D 模型各参数与其所描述的金属阻尼器滞回力学参数之间的关系进行了研究&采用局部敏感性分析方法基于两种不同的敏感性评价指标对正则化/6TC `VL D 模型各参数的敏感性进行了分析&提出了基于改进模拟退火算法的参数拟合方法并进行试验验证&研究结果表明$金属阻尼器的初始弹性刚度<7及
屈服力B 7W 均由<U '<L '"三个参数共同决定$屈服后刚度<H 7由参数<U 决定$屈服位移'7W 由参数"决定$转向刚度<H 与初始弹性刚度<7之间的相对关系由参数*决定$弹塑性过渡段的圆滑度由参数+决定&正则化/6TC `VL D 模型中的<L
'"两个参数具有较高的敏感性$*'<U '+三个参数具有较低的敏感性&改进的模拟退火算法能够有效实现对正则化/6TC `VL D 模型的参数拟合$金属阻尼器试验滞回曲线与拟合曲线能够较好吻合&
关键词 正则化/
6TC `VL D 模型%金属阻尼器%滞回参数%模拟退火算法中图分类号  0
'"<$8:!!!文献标志码 *1&. :98:"=@<A B 8C DEF 8B G H 8$9:;8$$89$9
Q "("/'%(,.+%#5*-&%=')-(/"$,N '52-#.C 4')/-5'$")5,%+">>$,."%,-),)/'%"$$,.5"/>'(+
%([/+,3&+,:$$$-R 4$*+0&+,:$$
":85L R +M Z6P M Q 6P R 6J 46DC P L Q L mb P L H Q P L H H L U 46DC P L Q L 2Q P TC Q TP L H 6J K F DF H Q P R 6J N UTC M Q F 6D $26TQ IL M H Q 'DF G L P H F Q R $
)M DB F DO $:99?@$4IF DM %$82C I6676J 4F G F 7N DO F DL L P F DO $26TQ IL M H Q 'DF G L P H F Q R $)M DB F DO $:99?@$4IF DM #
!!12+%(".%!!1TL Q 6Q IL XM P M W L Q L P P L UTDUM DC R F D Q IL Q P M UF Q F 6DM 7/6TC `V L D W 6UL 7$M D6P W M 7F S L U J 6P W 6J Q IL /6TC `V L D W 6UL 7[M HF DQ P 6UTC L U80IL D Q ILP L 7M Q F 6DHZL Q [L L D Q ILXM P M W L Q L P H6J Q ILD6P W M 7F S L U /6TC `V L D W 6UL 7M DU Q IL IR H Q L P L Q F CXM P M W L Q L P H6J Q ILC 6P P L H X6DUF DOW L Q M 77F CUM W XL P[L P LH Q TUF L U8*XM P M W L Q L PH L DH F Q F G F Q RM DM 7R H F H[M HM 7H 6C 6DUTC Q L U J 6P Q ILD6P W M 7F S L U /6TC `V L D W 6UL 7ZRTH F DOQ IL76C M 7H L DH F
Q F G F Q RM DM 7R H F HW L Q I6U ZM H L U 6D Q [6UF J J L P L DQ H L DH F Q F G F Q R F DUF C L H 8*XM P M W L Q L P J F Q Q F DOW L Q I6U [M H M 7H 6XP 6X6H L U TH F DOMW 6UF J F L U H F W T7M Q L U M DDL M 7F DOM 7O 6P F Q IW M DU G L P F J F L U ZR L \XL P F W L DQ H 80IL P L H T7Q H H I6[Q IM Q Q IL F DF Q F M 7L 7M H Q F C H Q F J J DL H H <U M DU Q IL R F L 7U J 6P C L B UR M P L UL Q L P W F DL U ZR Q IL XM P M W L Q L P H <U $<L M DU "F D Q IL D6P W M 7F S L U /6TC `V L D W 6UL 7$Q IL X6H Q `R F L 7U H Q F J J DL H H <k U F H UL Q L P W F DL U ZR Q IL XM P M W L Q L P <U $Q IL R F L 7U UF H X7M C L W L DQ 'UR F H UL Q L P W F DL U ZR Q IL XM P M W L Q L P "$Q IL P L 7M Q F 6D ZL Q [L L D Q IL H IF J Q H Q F J J DL H H <E M DU Q IL F DF Q F M 7L 7M H Q F C H Q F J J DL H H <U F H UL Q L P W F DL U ZRQ ILXM P M W L Q L P *$M DU Q ILH W 66Q IDL H H 6J Q ILQ P M DH F Q F 6D J P 6W L 7M H Q F CQ 6X7M H Q F CP L H X6DH LF H UL Q L P W F DL U ZR Q ILXM P M W L Q L P +80ILXM P M W L Q L P H <L M DU "L \IF ZF Q IF O IL P H L DH F Q F G F Q R $[IF 7L *$<U M DU +L \IF ZF Q 76[L P H L DH F Q F G F Q R 80IL W 6UF J F L U H F W T7M Q L U M DDL M 7F DOM 7O 6P F Q IW F H M Z7LQ 6F UL DQ F J RQ ILXM P M W L Q L P H 6J Q ILD6P W M 7F S L U /6TC `V L D W 6UL 7L J J L C Q F G L 7R $M DU Q IL H F W T7M Q F 6D IR H Q L P L H F H C TP G L H J F Q [L 77[F Q I Q I6H L ZR L \XL P F W L DQ H 8
3'*4-(5+!D6P W M 7F S L U /6TC `V L D W 6UL 7%W L Q M 77F C UM W XL P %IR H Q L P L Q F C XM P M W L Q L P H %H F W T7Q L U M DDL M 7F DO M 7O 6P F Q IW
!!自从c M 6):*
提出结构振动控制的概念以来$结构消
能减振技术已经取得了较大的进展和广泛的工程应用)$*&金属阻尼器作为结构被动控制技术中的一个重要分支$由于其构造简单'性能稳定等优势$开始得到
越来越多的重视及工程应用)"*&金属阻尼器的滞回力学特性是衡量其耗能减振性能的重要标准&用于描述金属阻尼器的滞回力学行为的常用模型有双"多#线性模型)=>@*'(
M W ZL P O `&H O 66U 模型)#>?*'/6TC `V L D 模型)?>::*等&双"多#线性模型以直线代替曲线$且存在尖锐拐点$因此模拟精度有限&而(
M W ZL P O `&H O 66U 模型和/6TC `V L D 均为光滑曲线模型$因此具有较高的模拟精度&此外$/6TC `V L D 模型已被2*b $999'K .1*2等多种结构分析商业有限元软件引入):$>:"*&因此$
/6TC `V L D 模型是一种同时具备较高的模拟精度和较
好的工程实用性的滞回模型&
本文在经典/6TC `V L D 模型的基础上$介绍了一种
正则化/
6TC `V L D 模型$并对正则化/6TC `V L D 模型各参数与其所描述的金属阻尼器滞回力学特性之间的关系进行理论推导和分析$研究其各项参数的敏感性区别$最后提出参数拟合方法并进行试验验证&
67Y -#.C Z')模型的正则化
6G 67经典Y -#.C Z')模型
/6TC `V L D 模型最先由/6TC ):=*
提出$并由V L D ):<*
进一步推广$其经典表达式为):@*
B A )<'>":?)#<N ":M #
N +A'+)"?"0+H F O D "'+N #>$#+N +*":Z #
式中!B 为恢复力%'为位移%N 为内部迟滞变量%并且'$N 的初值为9%即当=]9时$有'"9#]9$N "9#]9%'+$N
+
分别为'$N 对时间=的一阶导数%<；为弹性刚度%)为屈服后刚度与初始弹性刚度的比值$且9%)%:&"
'0'$和+为控制滞回曲线形状的无量纲参数&6G 87正则化Y -#.C Z')模型
由式":#所描述的经典/6TC `V L D 模型中存在冗余参数$这导致一条滞回曲线并不对应唯一的一组经典/6TC `V L D 模型参数$从而导致无法直接使用经典/6TC `V L D 模型进行参数识别&为此$.EI6TM DL 等):#>:;*
提出了一种正则化/
6TC `V L D 模型$其表达式为B A<U '><L
L "$M #L +A "'+
):?"*+H F O D "'+L #?*
>:#+L +*"$Z #式中!B 为恢复力%'为位移%L 为正则化的内部迟滞变量%并且L 的初值为9$即当=]9时$有L "9#]9&参数<U '<L
'"'*'+均会对模型所描述的滞回曲线形状产生相应的影响&其物理模型可简化为如图：所示$即系统的
恢复力由线性部分<U '和非线性部分<L
L 并联组成
&图:!正则化/6TC `VL D 模型示意图
,F O 8:!1F M O P M W6J D6P W M 7F S L U /6TC `VL D W 6UL 7
正则化/6TC `V L D 模型参数与经典/6TC `V L D 模型参数之间的关系为
L A
N
N 8
""M #
N 8A
")>()
:+
`9
""Z #<U A )
<`9""C #
<L A ":?)#<N 8`9
""U #"A "N 8
`9""L #
*A
0>$
&9
""J #式中!N 8为经典/
6TC `V L D 模型中内部迟滞变量N 的最大值$即N %N 8$代入式""M
#可知L %:&此外$为避免模型发散$需满足+&:&相比于经典/
6TC `V L D 模型含有@个参数"<$)$"$0$$$+#$正则化/6TC `V L D 模型中只含有<；个参数"<U $<L
$"$*$+#&根据.EI6TM DL 的研究证明$正则化/6TC `V L D 模型与经典/6TC `V L D 单元是完全等效的$并且正则化/6TC `V L D
模型中不含有冗余参数$从而一条确定的滞回曲线只对应唯一的一组正则化/6TC `V L D 模型参数&
87正则化Y -#.C Z')模型参数与金属阻尼器
滞回力学特性的关系
!!典型的由正则化/6TC `V L D 模型所描述的滞回曲线
如图$所示$其中点9为原点%以点9作滞回曲线初始弹性段的切线$并与滞回曲线塑性段相交于点:$将该点定义为等效屈服点%加载方向在点$处由正向加载变为负向加载$在点"处由负向加载变为正向加载$因此定义点$为滞回曲线的正转向点$点"为滞回曲线的负转向点$
并统称为滞回曲线的转向点&当采用正则化/6TC `V L D 模型描述金属阻尼器的滞回力学特性时$直线9：和直线9$的斜率分别代表了金属阻尼器的初始弹性刚度<U 以及屈服后刚度<H U %点：代表了金属阻尼器的等效屈服
点$相应的位移和恢复力分别代表了金属阻尼器的屈服位移'UR 和屈服力B UR %点$和点"代表了金属阻尼器的加载转向点$即速度'+
发生变号的点$并将相应的发生转向时滞回曲线的切线斜率定义为金属阻尼器的转向刚度<H &以上各项金属阻尼器的滞回力学特性指标对于其研究和工程应用是至关重要的&.EI6TM DL 在将正则化/6TC `V L D 模型作为一种通用滞回模型提出时$并未对金属阻尼器滞回力学特性指标与正则化/6TC `V L D 模型参数之间的关系进行特别的推导或说
明$本节将针对上述关系进行理论推导和分析
&
图$!金属阻尼器的正则化/6TC `VL D 模型及滞回力学特性
,F O 8$!)6P W M 7F S L U /6TC `VL D W 6UL 7M DU IR H Q L P L Q F C
C IM P M C Q L P F H Q F C H 6J W L Q M 77F C UM W XL P
?
$：第$$期!!!!!!!!!!李宗京等!正则化/6TC `VL D 模型的参数研究及其在金属阻尼器中的应用
8867初始弹性刚度95
在=]9处将式"$M #两边对=求导可得
U B U ==A 9A<U U 'U ==A 9><L
U L U ==A 9
"=#
由于L 的初值为9$将L
"9#]9代入式"$Z #可得U L U ==A 9A "U '
U ==A 9
"<#
将式"<#代入式"=#$并考虑到当=
]9时$位移']9$可得
U B U ''A 9
A<U ><L ""@#可见$正则化/6TC `V L D 模型所描述的金属阻尼器滞回曲线在原点处的斜率即初始弹性刚度为
<U A<U >"<L
"##
8887屈服后刚度9:5
当')f 时$将式"$M #两边对'求导可得
U B U '')f A<U ><L
U L
U '')f
";#
由于正则化内部迟滞变量L 的刚度随位移'的增大而无限趋近于9):#*$即
U L U '')f
A 9
"?#
将式"?#代入式";#可得
U B U '')f
A<U
":9#
可见$正则化/
6TC `V L D 模型所对应的金属阻尼器的屈服后刚度为
<H U A<U
"::#
8897屈服位移#5*
由于正则化/6TC `V L D 模型的恢复力是由线性部分<U '和非线性滞变部分<L L 所叠加构成$因此其所对应的金属阻尼器屈服位移实际是由正则化内部迟滞变量L 所决定的&内部迟滞变量L 随位移'在第一象限内的变化关系$如图"所示
&
图"!L 随'的变化关系
,F O 8"!(L 7M Q F 6D ZL Q [L L D L M DU '
根据式"<#并考虑到当=]9时$位移']9$可以得到正则化内部迟滞变量L 在原点处的斜率为
U L U ''A 9
A "":$#
因此L 在原点处的切线方程为
L A "'
":"#
由于正则化内部迟滞变量L 随位移'的增大而无限趋近于:):#*$可知L 的渐近线为
L A :
":=#
综上所述$正则化/6TC `V L D 模型的屈服位移'R
也即其所描述的金属阻尼器的屈服位移'UR 为L 在原点处的切线与L 的渐近线的交点所对应的位移$可得
'UR A
:
"
":<#
88:7屈服力'5*
由于屈服力B UR '屈服位移'UR '初始弹性刚度<U
之间满足关系
B UR A<U +'UR
":@#
将式"##'":<#代入式":@#可得正则化/6TC `V L D 模型所描述的金属阻尼器的屈服力为
B UR A<U I "><L
":##
88R7转向刚度9+
由于在正'负转向点发生转向后$均满足'++L i 9$代入式"$Z #可得
U L U =A "U '
U =
):?":?$*#+L +*":;#
整理后可得发生转向后正则化内部迟滞变量L 的斜率为
U L
U '
A "):?":?$*#+L +*":?#
将式"$*#两边对'求导可得
U B U 'A<U ><L U L
U '
"$9#
将式":?#代入式"$9#可得金属阻尼器滞回曲线在发生转向后的斜率即转向刚度<H 为
<H A<U >"<L
正则化收敛速率):?":?$*#+L +*"$:#
另外$根据式"##$正则化/
6TC `V L D 模型在原点处的斜率即金属阻尼器的初始弹性刚度为<U ]<U ^"<L $对比式"##与式"$:#可见$当*h 9F <；时$<H h <U %当9%*i 9F <；时$<H i <U %当且仅当*]9F <；时$<H ]<U &
通过K M Q 7M Z 绘制参数*在不同取值下的正则化/6TC `V L D 模型滞回曲线如图=所示$可见当*h 9F <；时$滞
回曲线在发生转向后的斜率大于滞回曲线在原点处的
斜率%当9%*i
9F <；时$滞回曲线在发生转向后的斜率小于滞回曲线在原点处的斜率%当且仅当*]
9F <；时$滞回曲线在发生转向后的斜率等于滞回曲线在原点处的斜率&由以上分析可见$转向刚度<H 与初始弹性刚度<U 之间的相对关系是由参数*决定的&
9"：振动与冲击!!!!!!!!!!!!!!!!!!$9:；年第"#卷
图=!参数*对滞回曲线形状的影响
,F O 8=!.DJ 7TL DC L 6J *6
D Q IL H IM XL 6J Q IL IR H Q L P L H F H C TP G L H 8F ;7弹塑性过渡段
弹塑性过渡段是/6TC `V L D 模型区别于双线性模型的一个重要特点&金属阻尼器采用不同的材料'构造等$均有可能导致其滞回曲线弹塑性过渡段的长短及圆滑程度不同$因此弹塑性过渡段也是体现金属阻尼器滞回特性的一项指标&
由于正则化/6TC `V L D 模型是线性部分<U
'和非线性部分<L L 的叠加$因此其弹塑性过渡段是由非线性内部迟滞变量L 的变化所决定的$且过渡段的本质即为L 的斜率由"衰减至9的过程$如图"所示&由
于弹塑性过渡段只出现在'++L h 9时$故将式"$Z #整理可得L 的斜率为
U L
U '
A "):?L +*"$$#
由于L %:$因此斜率的衰减过程实质上等效于
函数W ]:>U +
$9%U %：的函数值变化过程&若+较
小$则L 的斜率较早即开始发生衰减$且衰减的过程较
为均匀$相应的过渡段较长'较圆滑%若+较大$则L 的斜率只有在当L 接近：时才开始发生较为明显的衰减$且迅速衰减至9$相应的过渡段较短'较尖锐&通过K M Q 7M Z 绘制参数+在不同取值下的正则化/6TC `V L D
模型滞回曲线如图<；所示&当+趋向于无穷大时$过渡段变为一个尖锐拐点$正则化/6TC `V L D 模型转变为双线性模型&由以上分析可知$滞回曲线弹塑性过渡段的圆滑度是由参数+决定的
&
图<!参数+对滞回曲线形状的影响
,
F O 8<!.DJ 7TL DC L 6J +6D Q IL H IM XL 6J Q IL IR H Q L P L H F H C TP G L H
97参数敏感性分析
为进一步评估正则化/
6TC `V L D 模型各参数对滞回曲线的影响$对其进行参数敏感性分析&参数敏感性分析方法可以分为局部敏感性分析和全局敏感性分析等多种方法):?*$其中局部敏感性分析是一种最直接且易于实施的方法&其分析过程为!先为参数组指定一组基准值$采用控制变量法$当研究某一个参数的敏感性时$只将该参数在其基准值上下变化取值$其他参
数均取为基准值保持不变$并比较该参数在不同取值时敏感性评价指标的变化情况&
在本文的参数敏感性分析中$采用局部敏感性分析方法$取参数组基准值为"<U $<L $"$*$+#]":E)A W W $:99E)$:W W >:$9F <$$#$各参数取值在其基准值基
础上分别变化v:9]'v$9]'v"9]'v=9]'v <9]$并取如下两种敏感性评价指标!
":#评价指标:
K T -S A
:
#
""#
3A
:"B H 3
?B 3
#$
槡
#"$"#
式中!#为采样点总数%B 3为参数组取基准值的正则化/6TC `V L D 模型得到的各采样点恢复力值%B H 3为参数组取值变化后的正则化/
6TC `V L D 模型得到的各采样点恢复力值&K
T -S 为参数改变前后一个完整滞回环内恢复力B 的均方根误差$其代表的是各参数对滞回曲线位置偏移的影响&
"$#评价指标$
1A
"
S S A S H ?S S
"$=#
式中!S 为参数组取值改变前一个完整滞回环所包络的面积%S H 为参数组取值改变后一个完整滞回环所包络的面积%"S 为S H 与S 之间差值的绝对值&1为参数组取值改变前后一个完整滞回环所包络面积的变化量与参数组取值改变前滞回环面积的比值$其代表的是各参数对滞回曲线耗能指标的影响&
基于上述方法$并取加载位移幅值为:9倍屈服位移$即)>
:9W W $^:9W W *$采样点总数#]$99$得到的参数敏感性分析曲线如图@所示&可见采用两种敏感性评价
指标均可得到基本一致的分析结果$正则化/6TC `V L D 模型对参数<L 和"较为敏感$对参数*'<U 和+较不敏感$并且对参数<L 和"的敏感度明显高于参数*'<U 和+&
在对加载幅值进行适当增减后$可以发现加载幅值的增减对其他各项参数的敏感性影响较小$而对参数<U 的敏感性影响相对更大&当分别取加载位移幅值
为v <W W 'v :9W W 'v :<W W 时$参数<U 基于K T -S 评价指标的敏感性曲线如图#所示$可见<U 的敏感性
:
"：第$$期!!!!!!!!!!李宗京等!正则化/6TC `VL D 模型的参数研究及其在金属阻尼器中的应用
图@!参数敏感性曲线
,F O 8@!2XF UL P UF M O P M W6J XM P M W L Q L P H L DH F Q F G F Q R
随着加载幅值的增加而增大&其原因是加载幅值增大后$塑性段长度增加$因此塑性段所占比重增大$控制塑性段刚度的参数<U 的敏感性随之增强&此外$当加载幅值在合理范围内变化时$参数<L 的敏感性仍然明显小于<L 和"&综上所述$<L 和"为敏感性较高的两个参数$*'<U 和+为敏感性较低的三个参数$各项参
数的敏感性排序如表：所示
&图#!加载幅值对参数<U 敏感性的影响
,F O 8#.DJ 7TL DC L 6J 76M UF DO M W X7F Q TUL 6D XM P M W L Q L P H L DH F Q F G F Q R 6J <U
表67参数敏感性排序表
E "2G 67Q "("/'%'(+')+,%,0,%*(")J ,)?排序
参数
:<L $""*=<U <
+
:7参数拟合方法及试验验证
:F 67拟合方法
设试验得到的金属阻尼器滞回曲线数据点横坐标为'&$纵坐标为B L \X $&$&]:j #$其中#为数据点总数$由式"$#可以得到相应横坐标处的恢复力拟合值B H F W $&
&采用正则化/6TC `V L D 模型对试验得到的金属阻尼器滞回曲线拟合$实际可以看作一个优化变量为参数组"<U $<L $"$*$+#$目标函数为均方根误差"K T -S #并使其最小化的非线性优化问题$其中均方根
误差为
K T -S A
:
#
""#
&A :
"B L \X $&
?B H F W $&
#$槡
#
"$<#
本文采用模拟退火算法"2F W T7M Q L U *DDL M 7F DO *7O 6`P F Q IW #对上述非线性优化问题进行求解&模拟退火算
法最早的思想由K L Q P 6X67F H 等)$9*提出$并由5F P EXM Q P F C E 等)$:*进一步拓展&其原理是模拟物理退火过程$并采用K L Q P 6X67F H
接受准则以一定概率接受较差解$从而使其具有全局搜索能力$有效地避免陷入局部极小点&此外$模拟退火算法不需要梯度等其他辅助信息$且对目标函数无额外要求$具有较强的鲁棒性'全局收敛性'隐含并行性和广泛的适应性$因此已被应用于解决各领域的优化问题)$$*&
为了进一步提高算法的效率和结果的质量$本文对传统的模拟退火算法进行了如下改进!
":#在算法中设置记忆器$使其成为有记忆功
能的模拟退火算法&具体方法为设置一个变量U ZL H Q 专门用于储存历史最优解$并在每一次迭代中比较当前解U 3的目标函数值S 3与U ZL H Q 的目标函数值S ZL H Q &若当前解U 3的目标函数值S 3小于历史最优解
U ZL H Q 的目标函数值S ZL H Q $则采用U 3替代U ZL H Q $S 3替代S ZL H Q $否则U ZL H Q 'S ZL H Q 保持不变&该措施可以避免在整个搜索过程中错过曾经达到过的最优解$提高算法所得解的质量&
"$#由于算法收敛到较好结果所需达到的最低
温度6W F D 事先无法准确预知$故不再以温度达到指
定的最低温度作为算法终止准则$改为采用收敛精度作为终止准则$即经过连续若干次迭代$最优目标函数值的改善幅度小于指定的收敛精度-$则算法终止&
""#当搜索空间较大时$由于模拟退火算法等启
发式随机搜索优化算法实际上并不能:99]保证到全局最优解$而只能以较大概率接近全局最优解$因此$为了验证算法的稳定性$并增大到全局最优解的概率$将算法连续运行三次$取三次优化计算结果的最优解作为最终参数拟合结果&
$"：振动与冲击!!!!!!!!!!!!!!!!!!$9:；年第"#卷

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