第５１卷　第４期              　激光与红外Ｖｏｌ．５１，Ｎｏ．４　２０２１年４月              ＬＡＳＥＲ　＆　ＩＮＦＲＡＲＥＤ
Ａｐｒｉｌ，２０２１
  文章编号：
１００１ ５０７８（２０２１）０４ ０５１５ ０８·图像与信号处理·
变形Ｌ１正则化的高光谱图像稀疏解混
李  １，２
，吴朝明１，张绍泉１，胡　蕾２，邓承志１
（１ 南昌工程学院江西省水信息协同感知与智能处理重点实验室，江西南昌３３００９９；
２ 江西师范大学计算机信息工程学院，江西南昌３３００２２）
摘　要：如何准确地刻画易于求解的稀疏正则化函数是高光谱图像稀疏解混的难点。变形Ｌ１
正则化函数是一类由绝对值函数组成的双线性变换的单参数族，类似于Ｌｐ
ｐ∈０，(]()１范数，通过调整参数ａ∈０，() 可以准确表征Ｌ０和Ｌ１之间的任意范数，并具有无偏、稀疏和Ｌｉｐｓｃｈｉ ｔｚ连续性。论文首先研究变形Ｌ１正则化函数，然后提出变形Ｌ１正则化的高光谱稀疏解混变分模型，最后提出变形Ｌ１正则化高光谱稀疏解混模型的凸函数差分求解算法。通过模拟和真实的高光谱数据实验，与经典的ＳＵｎＳＡＬ算法相比，表明提出的算法能够更准确地刻画丰度系数的稀疏性，并获得更高的解混精度。
关键词：高光谱图像；稀疏解混；变形Ｌ１正则化；
凸函数差分算法中图分类号：ＴＰ７５３  文献标识码：Ａ  ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ ５０７８．２０２１．０４．０１８
ＴｒａｎｓｆｏｒｍｅｄＬ１ｒ
ｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｓｐａｒｓｅｕｎｍｉｘｉｎｇＬＩＦａｎ１，２，ＷＵＺｈａｏ ｍｉｎｇ１，ＺＨＡＮＧＳｈａｏ ｑｕａｎ１，ＨＵＬｅｉ２，ＤＥＮＧＣｈｅｎｇ ｚｈｉ
１
（１ ＪｉａｎｇｘｉＰｒｏｖｉｎｃｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＷａｔｅｒＩｎｆｏｒｍａｔ
ｉｏｎＣｏｏｐｅｒａｔｉｖｅＳｅｎｓｉｎｇａｎｄＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ＮａｎｃｈａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ３３００９９，Ｃｈｉｎａ；２ ＣｏｍｐｕｔｅｒＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｌｌｅｇｅ，ＪｉａｎｇｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ３３００２２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｏｗｔｏａｃｃｕｒａｔｅｌｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｓｐａｒｓｅｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｗｈｉｃｈｉｓｅａｓｙｔｏｂｅｓｏｌｖｅｄｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｆｏｒ
ｓｐａｒｓｅｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｕｎｍｉｘｉｎｇ ＴｒａｎｓｆｏｒｍｅｄＬ１ＴＬ()１ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓａｏｎｅｐａｒａｍｅｔｅｒｆａｍｉｌｙｏｆｂｉｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｃｏｍｐｏｓｅｄｗｉｔｈｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｓｉｍｉｌａｒｔｏＬｐｎ
ｏｒｍｗｉｔｈｐ∈０，](１，ｉｔｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓａｎｙｎｏｒｍｓｆｒｏｍＬ０ｔｏＬ１ｅｘａｃｔｌｙｔｈｒｏｕｇｈａｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅｐａｒａｍｅｔｅｒａ∈０，() ，ａｎｄｓａｔｉｓｆｉｅｓｕｎｂｉａｓｅｄｎｅｓｓ，ｓｐａｒｓｉｔｙａｎｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｔｉ
ｎｕｉｔｙｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙＴＬ１ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｐｏｓｅｓｐａｒｓｅｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｕｎｍｉｘｉｎｇｍｏｄｅｌｗｉｔｈＴＬ１ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ａｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｃｏｎｖｅｘａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒＴＬ１ｉｎｃｏｍｐｕｔｉｎｇＴＬ１ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄｓｐａｒｓｅｕｎｍｉｘｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｏｎｂｏｔｈｓｉｍｕｌａｔｅｄａｎｄｒｅａｌｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｄａｔａｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈａｔｔｈｅＴＬ１ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｄｅｓｃｒｉｂｅｓｔｈｅｓｐａｒｓｉｔｙｏｆｅｎｄｍｅｍｂｅｒｓｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｌｙａｎｄｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｍｕｃｈｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｔｈａｎＳＵｎＳＡＬａｌｇｏｒｉｔｈｍ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｉｍａｇｅ；ｓｐａｒｓｅｕｎｍｉｘｉｎｇ；ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄＬ１ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｃｏｎｖｅｘａｌｇｏｒｉｔｈｍ基金项目：江西省教育厅科技项目（Ｎｏ ＧＪＪ１９０９５６；Ｎｏ ＧＪＪ１８０９６２；Ｎｏ ＧＪＪ１７０９９２）；国家自然科学基金资助项目（Ｎｏ ６１８６５０１２；Ｎｏ ６１６６２０３３）；江西省自然科学基金项目（Ｎｏ ２０１９２ＢＡＢ２１７００３）；江西省重点研发计划项目（Ｎｏ ２０２０２ＢＢＧＬ７３０８１；Ｎｏ ２０１８１ＡＣＧ７００２２）资助。
作者简介：李  （１９８３－），女，讲师，主要从事遥感影像智能处理等方面的研究。Ｅ ｍａｉｌ：ｌｉｆａｎ＠ｎｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ通讯作者：邓承志（１９８０－），男，教授，博士，主要从事遥感影像处理，机器视觉等方面的研究。Ｅ ｍａｉｌ：ｄｅｎｇｃｚ＠ｎｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ收稿日期：２０２０ ０６ ２４
１　引　言
高光谱遥感具有光谱分辨率高、图谱合一和光谱波段数目多等特点，已成为地质制图、植被调查、海洋遥感、环境监测等领域的重要技术［１］。然而，受成像光谱仪空间分辨率的限制和自然界地物复杂多样的影响，混合像元普遍存在于高光谱遥感图像中，其极大地限制了高光谱图像的应用范围［２］。混合像元分解是解决混合像元问题有效的方法，是保证高光谱遥感技术向定量化发展的前提［３］。
随着端元光谱库的普及以及稀疏表示理论［４］的迅速发展，Ｉｏｒｄａｃｈｅ等用已知端元光谱库替代从图像中选取端元集合，将稀疏约束引入到混合像元分解中，提出了稀疏解混的理论与方法［５］。稀疏解混不需要假设图像中有纯端元存在，同时不需要估计图像中包含的端元数目，是当前解混的研究热点［６］。稀疏解混的基本模型是一个非凸的组合优化问题，通常采用非平滑项“Ｌ
０
范数”表示。近年
来，针对“Ｌ
０
范数最小化问题”提出了近似求解方
法，最常见的是用Ｌ
１范数代替Ｌ
０
范数［５］。对于Ｌ
１
稀疏正则化问题，变量分裂与增广拉格朗日方法
（Ｓｐａｒｓｅｕｎｍｉｘｉｎｇｂｙｖａｒｉａｂｌｅｓｐｌｉｔｔｉｎｇａｎｄａｕｇｍｅｎｔｅｄｌａｇｒａｎｇｉａｎ，ＳＵｎＳＡＬ）［７］被证实是有效的求解方法，可以得到较满意的结果。然而，由于光谱库中的端元数量与通常参与混合像元的组分数量之间的不平衡，导致Ｌ
１
正则化解混的稀疏性和稳健性并不好。为了更好地表征稀疏度，目前已涌现出一些方法，如
吴泽彬等［８］采用迭代加权Ｌ
１
正则化方法、Ｓｕｎ等［９］
采用Ｌ
１／２稀疏正则化方法、Ｄｅｎｇ等［１０］采用平滑Ｌ
０
稀疏正则化方法、Ｃｈｅｎ等［１１］采用Ｌ
ｐ
稀疏正则化等。
这些方法虽然改善了稀疏性，但当ｐ＜１时，Ｌ
ｐ
范数函数不是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的，因此对于较小的ｐ值存在数值求解问题。针对该问题，有学者提出利用指数函数、对数函数或ｓｉｇｍｏｉｄ函数等Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续函
数逼近Ｌ
０
范数［１２－１３］。
ＴｒａｎｓｆｏｒｍｅｄＬ
１（ＴＬ
１
）正则化函数［１４］是一个由
绝对值函数组成的双线性变换的单参数族，与
Ｌｐｐ∈０，]
(
()
１范数类似，通过控制参数ａ∈（０， ）
可任意表征Ｌ
０和Ｌ
１
之间的范数，并满足无偏、稀疏
和Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的性质。鉴于ＴＬ
１
正则化函数具有
的这些优势，本文利用ＴＬ
１
正则化函数建立稀疏解混模型，并提出凸函数差分（ＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆＣｏｎｖｅｘ，ＤＣ）算法求解，即ＤＣＡＴＬ１算法。ＤＣＡＴＬ１算法收
敛于满足一阶最优条件的驻点，对端元光谱库矩阵是否满足有限等距条件（ＲｅｓｔｒｉｃｔｅｄＩｓｏｍｅｔｒｙＰｒｏｐｅｒ ｔｙ，ＲＩＰ）不敏感。
２　稀疏解混模型
线性混合模型假设在任何给定的光谱波段中，每个像元光谱是该像元中所有端元光谱的线性组合［２］。假设具有ｌ个光谱波段，线性混合模型可描述成如下形式：
ｙ＝Ｍｘ＋ｎ（１）其中，ｙ∈Ｒｌ×１表示某个像元的测量光谱；Ｍ∈Ｒｌ×ｑ表示端元矩阵，ｑ为端元数；ｘ＝ｘ
１
，ｘ
２
，…，ｘ
[]
ｑ
Ｔ表示丰度向量；ｎ∈Ｒｌ×１表示系统噪声。
解混的目的是从测量到的光谱向量数据ｙ中估算出端元矩阵Ｍ和像元的丰度向量ｘ。根据丰度的物理意义，丰度应满足“非负性”约束（Ａｂｕｎｄａｎｃｅ
ＮｏｎｎｅｇａｔｉｖｉｔｙＣｏｎｓｔｒａｉｎｔ，ＡＮＣ）（ｘ
ｉ
≥０， ｉ＝１，２，…，ｑ）和“和为一”约束（ＡｂｕｎｄａｎｃｅＳｕｍＣｏｎｓｔｒａｉｎｔ，ＡＳＣ）（∑ｑ
ｉ＝１
ｘ
ｉ
＝１），即ｘ≥０和１Ｔｘ＝１［３］。
Ｉｏｒｄａｃｈｅ等［５］提出用已建立的地物光谱库取代端元矩阵，以避免图像中纯净像元不存在时无法提取完备的端元光谱。用已知的端元光谱库Ａ代替端元集合Ｍ，线性混合模型转化为：
ｙ＝Ａｘ＋ｎ（２）其中，Ａ∈Ｒｌ×ｍ是包含ｍ条光谱曲线的端元光谱库；ｘ∈Ｒｍ×１为对应Ａ中各端元的丰度向量。
光谱库Ａ中的端元光谱数ｍ远远大于式（１）中的实际端元个数ｑ，经稀疏分解获取的丰度向量ｘ也是稀疏的，即ｘ中非零值的个数ｑ ｍ，由此得到
Ｌ
０
优化问题：
ｍｉｎ
ｘ
１
２
‖Ａｘ－ｙ‖２２＋λ‖ｘ‖０　ｓ ｔ ｘ≥０，１Ｔｘ＝１（３）其中，第一项为重构误差项，第二项为稀疏性约束项；λ是平衡保真项和正则项之间权重的参数；‖ｘ‖０表
示ｘ的Ｌ
０
范数，用Ｌ
０
范数来统计ｘ中非零元素的个数；ｘ≥０和１Ｔｘ＝１分别表示ＡＮＣ和ＡＳＣ。由于该问题是典型的非凸优化ＮＰ难问题，求解困难。２００６年，Ｔａｏ和Ｃａｎｄèｓ［１４］合作证明了在满足有限
等距条件
时，Ｌ
０
范数问题等价于Ｌ
１
范数凸优化问题：
ｍｉｎ
ｘ
１
２
‖Ａｘ－ｙ‖２２＋λ‖ｘ‖１　ｓ ｔ ｘ≥０，１Ｔｘ＝１（４）
６
１
５激光与红外                    第５１卷
其中，‖ｘ‖１＝∑ｍ
ｉ＝１
｜ｘｉ｜
。式（４）虽易于求解，其解的稀疏性和稳健性并不
好。用Ｌｐｐ∈０，(]()１范数代替Ｌ０范数，比Ｌ１更接
近Ｌ０，更具数值优势，但Ｌｐ范数非Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续，仅在ｐ＝
１２，２
３
时有解析解。此外，随着端元光谱库的不断丰富，光谱库中相邻波段相关性增强，光谱特征列向量之间的相关性接近于１，这种高相关性限制了
稀疏解混的性能［
５］
，影响了丰度估计的精度。因此，本文提出了一种比Ｌ１范数更稀疏且易于求解、对端元光谱库是否满足有限等距条件不敏感的函数作为丰度稀疏约束项。３　ＴＬ１正则化稀疏解混模型
ＴＬ１正则化函数ρａ()ｘ
［１５］
的定义：ρａ()ｘ＝
ａ＋()１
ｘ
ａ＋ｘ
，ａ∈０，()
（５）
ρａ()ｘ是一个由绝对值函数组成的双线性变换
的单参数族，具有无偏性、稀疏性和连续性［１６－１７］
。
随着参数ａ的变化，ρａ()ｘ可以准确表征Ｌ０和Ｌ１之
间的任意范数，近似Ｌｐ
ｐ∈０，(]()１范数。ｌｉｍａ→０
＋ρａ()ｘ＝Ｉｘ≠{}０，ｌｉｍａ→
＋
ρａ()ｘ＝ｘ从图１中可看出，ａ的值越大，曲线越接近ｘ，
ａ的值越小，曲线越趋于坐标轴。从图２中可看出，当ａ→ ，ｐ＝１时，ρａ()ｘ和ｘｐ
近似，逼近Ｌ１
范数；当ａ→０，ｐ→０时，ρａ()ｘ和ｘｐ
均趋于指示函
数，逼近Ｌ０范数；在０≤ｘ≤１范围内，ρａ()ｘ，ａ∈０，()
和ｘｐ
，ｐ∈０，](１
可以相互近似。图１　参数ａ＝０ ０１，ａ＝０ １，ａ＝１，ａ＝１００时，ρａ
正则化粒子滤波()ｘ的曲线Ｆｉｇ １Ｃｕｒｖｅｓｏｆρａ
()ｘｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐａｒａｍｅｔｅｒｓ：ａ＝０ ０１，
ａ＝０ １，ａ＝１，ａ＝１００
图２　参数ａ和ｐ取不同值时，ρａ()ｘ与ｘｐ
曲线对比Ｆｉｇ ２Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆρａ
()ｘｗｉｔｈｘｐ
ｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｖａｌｕｅｓｏｆａａｎｄｐ将ＴＬ１的定义扩展到向量空间，
向量ｘ＝ｘ１
，ｘ２
，…ｘ()Ｎ
Ｔ∈
ＲＮ，定义：Ｐａ()ｘ＝∑Ｎ
ｉ＝１
ρａｘ()ｉ
（６）
通过调整参数ａ，用ＴＬ１代替Ｌ０范数来解决高光谱稀疏解混问题，得到ＴＬ１正则项最小化模型：
ｍｉｎｘ１２
‖Ａｘ－ｙ‖２
２＋λＰａ()ｘ（７）
４　ＴＬ１正则化解混数值求解
本文采用凸函数差分（ＤＣ）算法求解ＴＬ１正则化稀疏解混变分问题，即ＤＣＡＴＬ１算法。ＤＣＡＴＬ１求解算法包括外层和内层循环迭代，外层循环采用ＤＣ算法，将非凸的ＴＬ１正则化函数表示为两个凸函数之差，每步迭代求解一个强凸的Ｌ１正则化子问题，内层循环采用交替方向乘子法（ＡｌｔｅｒｎａｔｉｎｇＤｉ
ｒｅｃｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｏｆＭｕｌｔｉｐｌｉｅｒｓ，ＡＤＭＭ）［７］
求解Ｌ１最小
化问题。
将ＴＬ１正则化函数ρａ()·表示为两个凸函数
之差：
ρａ()ｘ＝
ａ＋()１
ｘ
ａ
－
ａ＋()１
ｘ２
ａ
ａ＋()ｘ（８）
令ｆ
()ｘ＝１２
‖Ａｘ－ｙ‖２
２＋λＰａ()ｘ，对ｆ()ｘ根据式（
８）做ＤＣ分解［１８］
：ｆ()ｘ＝ｇ()ｘ－ｈ()ｘｇ
()ｘ＝１２
‖Ａｘ－ｙ‖２２＋ｃ‖ｘ‖２
２＋λａ＋１ａ‖ｘ‖{
１
（９）ｈ()ｘ＝λ ａ()ｘ＋ｃ
‖ｘ‖２
２（１０）
７
１５激光与红外　Ｎｏ．４　２０２１      李  等　变形Ｌ１正则化的高光谱图像稀疏解混
其中， ａ()ｘ＝∑
Ｎ
ｉ＝
１ａ＋()１
ｘｉ２
ａａ＋ｘ()ｉ
，ｃ‖ｘ‖２
２ｃ＞()０
是为了增强两个函数凸性的附加项。
在迭代点ｘｎ
，
用函数ｈ()ｘ近似表示其仿射函数ｈｎ()ｘ
［１９］
：ｈｎ()ｘ＝ｈｘ()ｎ＋〈ｘ－ｘｎ，ｖｎ〉，ｖｎ∈ ｈｘ()ｎ
ｈｘ()ｎ＝λ  ａｘ
()ｎ＋２ｃｘ
ｎ
次微分 ｈ()ｘ在ｘ∈ｄ
ｏｍ()ｈ是闭凸集，可做如下等价变换
［１９］
：
ｉｎｆｇ()ｘ－ｈｎ()ｘ：
ｘ∈Ｒ{}Ｎ ｉｎｆｇ()ｘ－〈ｘ，ｖｎ〉：ｘ∈Ｒ{}Ｎ
定义上式的最优解为ｘｎ＋１
，则每步迭代解决以
下强凸的Ｌ１正则化子问题：
ｘ
ｎ＋１
＝ａｒｇｍｉｎｘ１２‖Ａｘ－ｙ‖２２＋ｃ‖ｘ‖２２＋λａ＋１ａ
‖ｘ‖１－〈ｘ，ｖｎ{}
〉＝ａｒｇｍｉｎｘ１２ｘＴＡＴＡ＋２()ｃＩｘ－〈ｘ，ｖｎ〉＋ＡＴｙ＋λａ＋１ａ
‖ｘ‖{}
１（１１）
使用ＡＤＭＭ方法求解式（１１），引入变量ｚ，并定义增广拉格朗日函数：
Ｌｘ，ｚ，()ｕ
＝１２
ｘＴＡＴＡ＋２()ｃＩ
ｘ－〈ｘ，ｖｎ〉＋ＡＴ
ｙ＋λａ＋１ａ‖ｚ‖１＋δ２
‖ｘ－ｚ‖２２＋ｕＴ
()ｘ－ｚ
（１２）
其中，ｕＴ
是拉格朗日乘子；δ＞０是罚参数。
对目标函数Ｌｘ，ｚ，()ｕ
求偏导，分别得到ｘ，ｚ，ｕ的最优解表达式：
ｘｋ＋１＝Ｂ－１
Ｗ
（１３）
ｚｋ＋１
＝ｓｈｒｉｎｋｘｋ＋１
＋ｕｋ
δ，ａ＋１ａ(
)
δ（１４）ｕ
ｋ＋１
＝ｕｋ
＋δｘｋ＋１－ｚ
ｋ＋()１（１５）
其中，Ｂ＝ＡＴＡ＋２ｃＩ＋δＩ，Ｗ＝ＡＴｙ＋ｖｎ＋δｚｋ－ｕｋ
。
ｓｈｒｉｎｋ()·，·是软阈值算子，定义如下：ｓｈｒｉｎｋｘ，()ｒｉ
＝ｓｇｎｘ()ｉｍａｘ
ｘｉ
－ｒ，{}０ｓｇｎ
()ｔ＝ｓｉｇｎ()ｔ，ｔ≠０－１，[
]１
，{
其他考虑Ａ
ＮＣ和ＡＳＣ条件，最优化问题转换为：ｍｉｎ
ｘ∈Ｒ
Ｎ１２
‖Ａｘ－ｙ‖２
２＋λＰａ()ｘ＋ιＲｎ＋
()ｘ＋ι{}１１Ｔ()ｘ
其中，ιＳ()ｘ＝
０，ｘ∈Ｓ
，ｘ {
Ｓ
。令Ｆ
()ｘ＝１２
‖Ａｘ－ｙ‖２
２＋λＰａ()ｘ＋ιＲｎ＋
()ｘ＋ι{}１１Ｔ()ｘ，对Ｆ()ｘ做ＤＣ分解Ｆ()ｘ＝Ｇ()ｘ－ｈ
()ｘ，Ｇ()ｘ定义如下：Ｇ
()ｘ＝１２
‖Ａｘ－ｙ‖２２＋ｃ‖ｘ‖２
２＋λａ＋１ａ
‖ｘ‖１＋ιＲｎ＋
()ｘ＋ι{}１１Ｔ()ｘ（１６）
相应地，求最优解ｘ
ｎ＋１
的子问题转换为：ｘｎ＋１＝ａｒｇｍｉｎｘ｛１２ｘＴ（ＡＴＡ＋２ｃＩ）ｘ－〈ｘ，ｖｎ
〉＋
ＡＴｙ＋λａ＋１ａ
‖ｘ‖１＋ιＲｎ＋
（ｘ）＋ι｛１｝（１Ｔ
ｘ）｝（１７）使用Ａ
ＤＭＭ方法求解式（１７），可得：ｘｋ＋１＝Ｂ－１Ｗ－Ｃ１ＴＢ－１Ｗ－()１ｘｋ＋１＝ｍａｘｘｋ＋１，()０其中，Ｃ＝Ｂ－１１１ＴＢ－１()１
－１。综上所述，ＴＬ１正则化稀疏解混模型在ＡＮＣ和ＡＳＣ约束下的ＤＣ求解算法ＤＣＡＴＬ１如下：
ＤＣＡＴＬ１算法：１ 定义：òｏｕｔｅｒ＞０
２ 初始化：ｘ０，ｚ０，ｕ０
，ｎ，ｋ＝０３ ｗｈｉｌｅｘｎ＋１－ｘｎ＞òｏｕｔｅｒｄｏ４ ｖｎ＝λ  ａｘ()ｎ＋
２ｃｘｎ
５ 求解
ｘｎ＋１＝ａｒｇｍｉｎｘ１２‖Ａｘ－ｙ‖２２＋ｃ‖ｘ‖２
２＋λａ＋１ａ
‖ｘ‖{
１
＋ιＲｎ＋()ｘ
＋ι{}１１Ｔ()ｘ－〈ｘ，ｖｎ
}〉Ｗｈｉｌｅｎｏｔｃｏｎｖｅｒｇｅｄｄｏ
　５ １　Ｗ＝ＡＴｙ＋ｖｎ＋δｚｋ－ｕｋ
　５ ２　Ｂ＝ＡＴＡ＋２ｃＩ＋δＩ
　５ ３　ｘｋ＋１＝Ｂ－１Ｗ－Ｃ１ＴＢ－１Ｗ－()１　５ ４　ｚｋ＋１＝ｓｈｒｉｎｋｘｋ＋１
＋ｕｋ
δ，
ａ＋１ａ()
δ
　５ ５　ｕｋ＋１＝ｕｋ＋δｘｋ＋１－ｚ
ｋ＋()１　５ ６　ｋ＋１→ｋｅｎｄｗｈｉｌｅ
６ ｘｎ＋１＝ｍａｘｘｎ＋１，()０
７ ｎ＋１→ｎ８ ｅｎｄｗｈｉｌｅ
５　实验与分析５ １　模拟数据实验
模拟实验端元光谱库Ａ由ＵＳＧＳ光谱库ｓｐｌｉｂ０６（包括４９８条光谱，每条光谱２２４个波段）中
８
１５激光与红外                    第５１卷
任意选择２４０条光谱曲线构成，即Ａ∈Ｒ２２４×２４０，光谱范围０ ４～２ ５μｍ。每个模拟高光谱图像由１００个混合像元构成。丰度系数矩阵随机生成，且满足Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ分布。生成３组高光谱模拟数据ＳＤ１、ＳＤ２、ＳＤ３，端元数ｋ分别为２、４、６。在高斯白噪声污染的情况下进行实验，信噪比分别为３０ｄＢ、４０ｄＢ、５０ｄＢ。
采用信号重建误差比（Ｓｉｇｎａｌ ｔｏ ＲｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＥｒｒｏｒ，ＳＲＥ），进行定量分析，其定义如下：
ＳＲＥ()
ｄＢ＝１０ｌｏｇ１０
Ｅ‖Ｘ‖
[]２
２
Ｅ‖Ｘ－Ｘ＾‖
[]２
２
（１８）
其中，Ｘ为真实丰度系数；Ｘ＾为解混算法重建的丰度系数；Ｅ()
·为数学期望函数。ＳＲＥ（ｄＢ）值越大，表明算法的解混精度越高。同时，采用稀疏度（ｓｐａｒｓｉ ｔｙ）［２０］评价各解混算法丰度系数的稀疏性。稀疏度越小，表明得到的解越稀疏，解混效果越好。
表１给出不同信噪比和端元数情况下，ＳＵｎＳＡＬ和ＤＣＡＴＬ１算法获得的ＳＲＥ（ｄＢ）和ｓｐａｒｓｉｔｙ值（均为１００次平均值），以及相应的正则化参数取值。可以看出ＤＣＡＴＬ１算法在所有情况下都获得了比ＳＵｎＳＡＬ算法高的ＳＲＥ（ｄＢ）值，表明ＤＣＡＴＬ１算法的解混精度优于ＳＵｎＳＡＬ。在端元数量较少时（ｋ＝２），ＤＣＡＴＬ１的性能优势更加明显。同时，与ＳＵｎ ＳＡＬ算法相比，ＤＣＡＴＬ１算法获得更稀疏的结果，表明ＴＬ
１
正则化模型能够增强解的稀疏性。
表１　各解混算法得到的ＳＲＥ（ｄＢ）（ａ＝１００）和ｓｐａｒｓｉｔｙ值
Ｔａｂ．１ＳＲＥ()
ｄＢｖａｌｕｅｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｕｎｍｉｘｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ（ａ＝１００）
ＤａｔａＣｕｂｅＳＮＲ／ｄＢ
ＤＣＡＴＬ１ＳＵｎＳＡＬ
ＳＲＥ／ｄＢｓｐａｒｓｉｔｙＳＲＥ／ｄＢｓｐａｒｓｉｔｙ
ｋ＝２３０１８ ７９１４（λ＝２×１００）０ ０１９７１３ ３９７６（λ＝２×１０－３）０ ０５２８４０３７ ４４７５（λ＝５×１０－１）０ ０１５３２２ ７９７８（λ＝３×１０－３）０ ０３７９５０４１ ８５６９（λ＝２×１０－１）０ ０１１９２３ １７９６（λ＝１×１０－３）０ ０４１６
ｋ＝４３０１１ ９０２８（λ＝７×１０－１）０ ０４９５９ ８６８７（λ＝３×１０－２）０ ０５７２４０２０ １３７３（λ＝４×１０－１）０ ０４４０１５ ７８４６（λ＝４×１０－３）０ ０６４３５０２４ ８５０８（λ＝１×１０－１）０ ０３８３２２ ５５４８（λ＝１×１０－３）０ ０６１６
ｋ＝６３０７ ６８３２（λ＝３×１０－１）０ ０７３４６ ８９９９（λ＝１×１０－２）０ ０８４７４０１０ ９０３５（λ＝８×１０－２）０ ０８３９９ ４９３８（λ＝４×１０－３）０ ０９２０５０１９ ８６０７（λ＝３×１０－２）０ ０６６８１５ ７２３０（λ＝８×１０－４）０ ０８５３
  为进一步说明ＤＣＡＴＬ１的性能，图３给出在信噪比为３０ｄＢ的模拟数据集ＳＤ１上，两种解混算法的估计丰度图及真实丰度图。从图中可以看出，ＤＣＡＴＬ１估计出的丰度图比ＳＵｎＳＡＬ更接近于真实的丰度。ＳＵｎＳＡＬ估计出的丰度图中存在较多干扰丰度或者噪声，而ＤＣＡＴＬ１消除了大部分干扰，体现
了ＴＬ
１正则化模型比Ｌ
１
模型具有更好的稀疏性和
更高的解混精度。
在稀疏解混算法中正则化参数λ可以平衡解的精确性和稀疏性。为分析参数λ对ＤＣＡＴＬ１算法的影响，
图４绘制了信噪比分别为３０ｄＢ、４０ｄＢ和５０ｄＢ的情况下，端元数分别为２、４和６时，ＳＲＥ（ｄＢ）值随参数λ的变化曲线。从图４中可以看出，随着信噪比的增大，λ最优取值越小，随着端元数减少，λ最优取值越大。在这几种不同的情况下，λ最优取值趋势基本类似，且参数的可选范围较大。
５ ２　真实数据实验
为了验证ＤＣＡＴＬ１算法在真实高光谱图像场景下的有效性，采用美国内达华州的ＡＶＩＲＩＳＣｕｐｒｉｔｅ（赤铜矿）遥感图像数据进行实验。选取２５０×１９１的像元子集，包括２２４个光谱波段，波长范围０ ４～２ ５μｍ。去除１～２、１０５～１１５、１５０～１７０和２２３～２２４等低信噪比和水蒸气的吸收波段，剩下１８８个光谱波段数。图５显示了１９９５年通过ＵＳＧＳ拍摄得到的矿物图，利用Ｔｒｉｃｏｒｄｅｒ３ ３软件［２１］产品反映Ｃｕｐｒｉｔｅ矿区数据中各矿物的分布情况。在实验中，图５显示的矿物图作为各算法定性分析的参考，用它来判断各算法是否将该数据中的矿物分解出来了。
９
１
５
激光与红外　Ｎｏ．４　２０２１      李  等　变形Ｌ
１
正则化的高光谱图像稀疏解混

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