基于Remez 算法的正交小波滤波器设计
摘要:
引言
在过去的几年里，小波已在应用数学、信号处理、多分辨率分析理论等各个领域受到广泛关注.小波基可以通过完全重构二通道滤波器组的解决方案来完成
[1-6]. 在本文中，考虑一个仿酉滤波器组，它在迭代时生成正交小波基. 通过利用无限的脉冲响应滤波器(IIR)，可以实现仿酉滤波器组的使用.限制了IIR 滤波器，导致了更一般的无限小波支持[2].通过使用全通滤波器，滤波器组可以由较少的乘法器来实现. 然而，由两个全通滤波器并联所产生的传递函数是有限的, 并在[3]和[4]的设计方法中不能被用来产生具有高阶消失矩的小波基. 其中消失矩显示了生成的小波在时间上的平稳变化.
在本文中，基于传统的IIR 滤波器的消失矩，提出构建高阶消失矩正交小波的构造方法. 由于在合成小波正交基时减少了正交滤波器组的设计，所以只需考虑具有附加平坦度约束的IIR 正交滤波器组的设计. 从小波的正交性和正则性条件，得到了IIR 滤波器组的约束条件，并研究了约束滤波器系数及其零极点之间的关系. 根据这些关系，可以发现，该积滤波器的幅度响应在通带和阻带之间反对称的. 因此，可以直接在阻带
之间运用Remez 算法，并制定特征值问题的形式设计[5]. 通过得到的一组滤波器系数作为相应的特征向量. 通过求解特征值问题以计算最小绝对特征值，然后用等波纹响应的最优滤波器系数可以容易地在一个迭代过程得到；上述提出的步骤在计算上是有效的，而小波的消失矩阶数可以任意的指定. 最后，我们提出了一些设计实例证明上述步骤的有效性.
1. 小波和滤波器组
我们知道[1,2,6]正交小波基可以由一个仿酉滤波器组来生成{})(),(z G z H ，其中)(z H 是低通滤波器, 而)(z G 是高通滤波器. 该滤波器组{})(),(z G z H 相关的尺度函数φ(t)和小波函数ψ(t)的二尺度关系在频域如下:
)()2()()(212
w j k w j k e H w e H w -∏∞=∧∧=φ=φ )2
()()(2w e G w w j φ=ψ∧
∧ (1) 从小波的正交性, 滤波器组满足以下的约束条件[4]:
⎪⎩
⎪⎨⎧=--+=--+=--+------0)()()()(1)()()()(1)()()()(111111z G z H z G z H z G z G z G z G z H z H z H z H (2)
这里，定义该滤波器
)()()(1-=z H z H z P (3) 由公式(2)可知，P(z)是半带滤波器，因此我们考虑真正的半带滤波器的设计P(z)的表示形式如下:
[][]∑∑=-=+-++++++=M m m m m N n n n n z z b b z z a z P 122200
)12(121221)( (4) 其中N,M 是整数, 滤波器系数i a 和i b 是实数, 0b =1. 注意，由于N 和M 可以任意的选择, 传递函数比一个全通滤波器更一般[3,4]. 可以看到, P(z)具有对称的滤波器系数. 因此，它的零点在单位圆或镜像对上, 如果零点在单位圆上则所有零点都是成对的. 可以P(z)的分解零点以获得一个稳定的H(z). 假设P(z)的分子和分母分别为)()(1-z N z N 和)()(22-z D z D ，而P(z)的所有极点)(2z D 在单位圆内, 得到稳定的H(z)是 )
()()(2z D z N z H =， (5) 可以约束 )
()()(21)12(z D z N z z G J -+--±= (6) 其中},max{M N J =. 很明显，方程(5)和方程(6)满足方程(2)的约束条件, 因此我们必须设计一个低通滤波器. 所以设计问题将成为设计P(z), 在单位圆上的零
点必须是双零点.尽管滤波器组在实际应用中从未被迭代到无穷大，但是要求其极限函数存在，并且具有正则性, 即连续性. 滤波器设计最简单的正则性条件是一个平坦性约束在π=w 处的幅度响应, 如果H(z)在1-=z 处包含k 个多重零点，将得到k 阶平坦度. 因而，我们有 0)(=π=w k jw k dw
e H d （k=0,1,..,K-1） 和 0)(=ψ⎰+∞∞-dt t t k (k=0,1,...,K-1) 这意味着所生成的小波具有连续的K 阶消失矩，连续K 阶消失矩意味着，无论是小波滤波器的频谱有更多的平滑度. 这个属性可能在一些实际应用中有用.当然，频率选择也作为许多有用的应用属性的思维定势，然而正则性的频率选择在某种程度上有些相互矛盾. 由于这个原因，我们考虑一个指定设计数目的具有最佳可能的频率选择性消失矩IIR 滤波器.
2. IIR 滤波器组的设计
在本节中，我们将描述基于特征值问题的一个额外平整度约束的IIR 滤波器即仿酉滤波器的设计.
3.1 性质
在设计滤波器前，研究积滤波器P(z)的设计，方程(4)的P(z)可以写成如下形式:
[][]∑∑=-=-++++=M m m
m m L n n
n n z z b b z z a a z P 122201
0)( (7)
其中L=max{2M,2N+1}, n n b a 2221=
(n=0,1,...M) , (8) 当M N >时，有 02=n a (n=M+1,M+2,...,N), (9)
当1-<M N 时，有 012=+n a (n=N+1,N+2,...,M-1) . (10) 注意到当1-==M N M N 或，在方程(7)中没有系数. 在方程(7)中可以看到P(z)共有2L 个零点和4M 个极点. 此处21I (I 1=L-N-M-1)零点满足公式(9)或(10)
的条件，而所有的顶点是用于满足公式(8)的条件，只有22I (2I =M+N+1)个零点待优化.
可以从方程(4)中得到P(z)的幅度响应，通过下式 +=21j ）（w e P ∑∑==+++M m m N
n n w
m b b w n a 120012)2cos(2)12cos(2 (11)
而从方程(2)中有
)()()(w j jw e P e P -π+≡1
这就意味着P(z)的幅度响应是对称到(2
1,2π), 而波纹在通带[0,w p ]等于一个在带阻[π,s w ], 此外π=+s p w w . 因此只需要通过定位2I 2独立的零逼近阻
带响应.
3.2 最大平坦响应滤波器
为获得阶数最大的消失矩，必须设计一个最大平坦响应滤波器. 因此, 需要到1-=z 处的独立零点，就是2I K =，而分子多项式是
)()1()1()()(2211z Q z z z N z N I I --++=
其中 ∑=-++=110][)(I n n
n n z z q q z Q 与方程(7)相比较，有∑-=-=11I N i i n n c a i q (12)
而},m in{211n I I N -= 和 )!
()!(!2222i I i I I c i +-= 。 注意到i i q q -=和i i c c -=，当M N >时，从方程(9)中得到
0112=∑-=-I N i i i n q c (n=M+1，...,N) (13)
当1-<M N 时，从方程(10)中有
0112=∑-=-i I N i i n q c (n=N+1,...,M-1)。由于10=b ，
从方程(8)中有210=a ，也就是2111
0==∑-=I I i i i q c a (14) 而当M N >时，通过解线性方程(14)和(13)式，或者当M N =或1-=M N 时，解方程(14)式我们可以得到一组滤波器系数0q ；或是当1-<M N 时，解线性方程(13)或(14)式，通过解方程(12)和(8)可以得出滤波器系数i a 和i b . 因此完成了最大平坦滤波器的设计，从而所得的滤波器系数，方程(5)和(6)中的分解零点P(z)来构造H(z)和G(z).然后生成尺度函数)(t φ和小波函数)(t ψ.
3.3 具有任意消失矩的滤波器
我们知道最大平坦滤波器不好选择生成正则小波的最大次数的消失矩. 在这里考虑一个在给定的连续K 阶消失矩IIR 滤波器具有最佳的频率选择性. 由于在1-=z 处，H(z)有K 重零点，而P(z)的分子多项式可以表示为
)()1()1()()(11z Q z z z N z N K K --++= (15)
其中Q(z)=[]∑--+=+K L n n n z z q q n
00。类似于方程(12), 有∑-=-=32N N i i i n n q c a (16)
其中 },,m in{2n K K L N --=},,m in{3n K K L N +-=)!()!(!2i K i k K c i +-=
。 当M N >时，从方程(9)有
0322=∑-=-N N i i i n q c (n=M+1,...,N) (17)
而当1-<M N 时，从方程(10)有
03212=∑-=-+N N i i i n q c (n=N+1,...,M-1) (18)
我们知道P(z)共有22I 个独立零点，而K 必须满足2I K ≤，因此其余的独立零点数是32I )(23K I I -=, 并且要求它们位于单位圆上，以获得最佳频率选择；除了1±=z ，P(z)在单位圆上的零点位于共轭对上，要求是双零点. 3I 必须是偶数. 由于P(z)的幅度响应是反对称的，需要优化在阻带的幅度响应，为获得带阻等波纹响应，我们直接利用Remez 交换算法制定P(z)条件中的广义特征值问题的形式[5]. 首先，我们选择频率极值中的13+I 的阻带i w 如下
π<<<<=3...10I s w w w w
考虑P(z)在单位圆上所有零点必须是成对的，构造出)(jw e P 如下
⎪⎩
⎪⎨⎧-==δ=)1,....,3,1(,2),....,2,0(,)(33I i I i e P jw (19) 其中δ是一个幅度误差，把方程(7)和(15)代入方程(19), 可以重新写出方程
正则化粒子滤波(19),(17)或(18)式的矩阵形式
SQ=STB (20)
其中T M T K L b b b B q q q Q ],...,[,],...,[220)(10==-，而S 中的元素为
⎩
⎨⎧-===),...,2,1),cos(2)0(,1K L j jw j S i ij (21) 其中i=0,1,2,...,3I ,⎩⎨⎧+++-++=j I c j I c I c S i i
i ij 424242 (j=1,...,L-k) (22)
当K L I I i -++=,...2,133, 有)(234I M I -=；
当N>M 时，有)(234I N I -=；
当时，当注意到k c M N i >=-<i ,0,1T 的元素 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===)...,2,1()2cos 2()2cos(2)0()2cos 2(122M j w jw j w T K i i K i ij (23) 当i=0,2,...3I 时，有ij T =0； (24) 从方程(8)和(24)，有B=VQ (25)
其中V 的元素为⎩⎨⎧-=+==+-)
,...,1(),(2)0(,2222K L j c c j c V j i j i i ij (26) 当i=0,1,2,...，M 时, 把方程(25)代入方程(20), 可得
SQ=δTVQ (27) 这相当于一个广义特征值问题，即δ是一个特征值. Q 为相应的特征向量. 尽量减小幅度误差δ，我们通过计算方程(27)式的特征问题的绝对最小特征值，然后相应的特征向量给出一组滤波器系数，迫使幅度响应是等波纹. 我们应用一个迭代过程以获得最优解. 设计算法如下图所示.
3.4 设计算法
步骤{设计小波滤波器的算法}
开始
1. 读取N, M, k 和w s.
2. 选取频率的初始值i Ω (i=0,1,...3I )在阻带等间隔.
重复
3. 令),....2,1(,3I i w i i =Ω=.
4. 通过方程(21)-(24)和(26)得出S,T 和V ，然后通过方程(27)到方程的绝对最小特征值，以获得滤波器系数i q ，而通过方程(16)和(8)得出i a 和i b .
5. 计算P(z)的幅度响应，并寻带阻的峰值频率，直到满足下述条件的规定小常数ε. {}),...,1,0(3I i w i i =≤-Ωε
6. 通过P(z)的分解零点和极点，构造H(z)和G(z), 然后生成尺度函数)(t φ和小波函数)(t ψ.
结束.
4. 设计案例
在本节中，提出了一些设计实例证明了该方法的有效性.
例1. 考虑N=M=4情况的最大平坦滤波器设计. 所设计的滤波器H(z)的响应幅度具有最小相位响应. 如图1实线所示，并且所生成的尺度函数和小波函数分别如图2和图3所示. 在图1中，两个滤波器的幅度响应在图中也显示了N=3和M=5，或N=5,M=3; M=3也在图中显示. 我们认为在图1中，三种滤波器的幅度响应基本相同，这是因为在w=0和w=π时，这三种滤波器有相同的平坦度.
例2. 考虑N=4，M=5，K=8和π=6.0s w 的仿酉滤波器组的设计. 使用建议程序的积滤波器并构造H(z)和G(z)具有最小相位响应，H(z)的幅度响应示于图4中的实线，而产生的尺度函数和小波函数分别如图5和6所示. 在图4中K=6或K=10的两个幅度也在图中显示. 很显然减小K 时，幅度误差将减小.
5. 结论
本文中，提出了一种新的方法构造高阶消失矩小波正交基.从小波的正交性和正则性中得出了IIR 仿酉滤波器的一些制约因素, 并研究了约束滤波器系数及零极点之间的关系, 可以在带阻中直接利用Remez 算法并制定了设计特征值问题的形式问题. 所以通过求解特征值，可以得到一组滤波器系数作为相应的特征向量. 因此与等波纹响应的最优滤波器系数可以容易地施加一个迭代过程后得到. 在计算上，上述步骤是有效的，而小波消失矩的阶数可以任意的指定.
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