㊀
第４３卷第２期
２０２２年４月㊀青岛科技大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fQ i n g d a oU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )V o l ．４３N o ．２
A p
r ．２０２２㊀
㊀㊀文章编号:１６７２Ｇ６９８７(２０２２)０２Ｇ０１２１Ｇ０６;D O I :１０．１６３５１/j
．１６７２Ｇ６９８７．２０２２．０２．０１８基于C V ＧR MM P 重构算法的水声稀疏信道估计
张海霞，杜子俊，王景景∗
(青岛科技大学信息科学技术学院，山东青岛２６６０６１
)摘㊀要：多径匹配追踪算法在水声信道稀疏估计中具有较好的估计精度，但该算法需要信道稀疏度的先验信息，且计算复杂度大.本工作提出一种基于交叉验证与正则化相结合的多径匹配追踪算法，将其用于水声信道估计.交叉验证提供算法的停
止准则，不需要信道的稀疏度和噪声水平的先验信息，并检查算法是否过拟合，提高了估计的准确性.正则化用来进一步筛选候选集，减少计算复杂性及存储开销.仿真结果表明：与原始多径匹配追踪算法相比复杂度大大降低，具有更好的性能，并且不需要信道稀疏度的先验信息.关键词：水声通信；压缩感知；稀疏信道估计；交叉验证中图分类号:T N９２９．３㊀㊀㊀㊀文献标志码:A
引用格式：张海霞，杜子俊，王景景．基于C V ＧR MM P 重构算法的水声稀疏信道估计[J ]．
青岛科技大学学报(自然科学版),２０２２,４３(２):１２１Ｇ１２６．Z H A N G H a i x i a ,D UZ i j u n ,WA N GJ i n g j i n g ．U n d e r w a t e r a c o u s t i c s p
a r s e c h a n n e l e s t i m a t i o n
b a s e do nC V ＧR MM Pr e
c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m [J ]．J o u r n a l o fQ i n g
d a oU n i v
e r s i t y o
fS c i e n c e a n dT e c h n o l o g y
(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n ),２０２２,４３(２):１２１Ｇ１２６．收稿日期:２０２１Ｇ０３Ｇ２４
基金项目：国家自然科学基金重点类项目(U １８０６２０１)．
作者简介：张海霞(１９９５ )，女，硕士研究生．㊀∗通信联系人．
U n d e r w a t e rA c o u s t i c S p
a r s eC h a n n e l E s t i m a t i o nB a s e do n C V ＧR MM PR e c o n s t r u c t i o nA l g
o r i t h m Z H A N G H a i x i a ,D UZ i j u n ,W A N GJ i n g j i n g
(C o l l e g e o f I n f o r m a t i o nS c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,Q i n g d a oU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,Q i n g
d a o ２６６０６１,C h i n a )A b s t r a c t :M u l t i p a t hm a t c h i n g p u r s u i t a l g o r i t h mh a s b
e t t e r e s t i m a t i o n a c c u r a c y i n s p
a r s e e s t i Ｇm a t i o no f u n d e r w a t e r a c o u s t i c c h a n n e l ,
b u t t h i s a l g o r i t h mr e q u i r e s
c h a n n e l s p a r s i t y a
s a p r i Ｇo r i i n f o r m a t i o na n di sc o m p u t a t i o n a l l y c o m p l e x ．T h e r e f o r e ,a m u l t i p a t h m a t c h i n gp u r s u i t b a s e do n t h e c o m b i n a t i o no f c r o s s v a l i d a t i o na n d r e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h mi s p r o p
o s e d i n t h i s p a p e r ,a n d u s e d f o r u n d e r w a t e r a c o u s t i c c h a n n e l e s t i m a t i o n ．C r o s s v a l i d a t i o n p r o v i d e s a s t o p
Ｇp i n g c r i t e r i o n f o r t h e a l g o r i t h m ,d o e s n o t r e q u i r e p r i o r i n f o r m a t i o no n t h e s p a r s i t y a n dn o i s e l e v e l o f t h e c h a n n e l ,a n dc h e c k sw h e t h e r t h ea l g o r i t h mi so v e r Ｇf i t t i n g ,w h i c h i m p r o v e s t h e a c c u r a c y o f t h e e s t i m a t i o n ．R e g u l a r i z a t i o n i s u s e d t o f u r t h e r f i l t e r t h e c a n d i d a t e s e t ,r e d u c i n g
c o m Ｇp u t a t i o n a l c o m p l e x i t y a n
d s t o r a g
e o v e r h e a d ．T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t c o m p
a r e dw i t h t h e o Ｇr i g i n a lm u l t i p a t hm a t c h i n gp u r s u i t a l g o r i t h m ,t h e c o m p l e x i t y o f t h i s a l g o r i t h mi s r e d u c e d ,i t h a s
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c e ,a n d
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青岛科技大学学报(自然科学版)第４３卷
㊀㊀声波在水下环境中具有良好的传播特性，是目前应用最广泛的水下通信方式.但水声通信存在可用带宽有限㊁传播时延大㊁多径衰落等问题[１Ｇ３].正交频分复用(o r t h o g o n a l f r e q u e n c y d i v i s i o n m u l t iＧp l e x i n g,O F D
M)将信道划分为若干正交子信道进行信息传输，提高了数据传输速率与频谱利用率[４Ｇ６]，成为高速水声数据传输研究热点之一.信道估计技术可以通过估计信道状态信息提高接收端数据解调的正确率，对O F D M水声通信系统具有关键作用.但由于水下信道复杂，要完成信道估计需要大量子载波传输导频信息，造成频谱资源严重浪费.
压缩感知(c o m p r e s s e ds e n s i n g,C S)理论打破了奈奎斯特采样定理的局限性，它提出当信号在某个域中稀疏[７Ｇ９]时，可以使用更少的采样点来准确地重建稀疏信号.由于水声信道具有稀疏性[１０Ｇ１１]，将压缩感知用于水声信道估计可通过少量导频数据就能估计出信道参数，从而提高频谱利用率，基于C S 的水声信道估计也引起了学者的重视.重构算法是压缩感知的关键技术，目前已有的重构算法主要包括凸优化类算法㊁组合优化类算法和贪婪迭代类算法.其中贪婪迭代类算法效率较高且较易实现，更适用于对实时性要求较高的水声信道估计.匹配追踪(m a t c h i n gp u r s u i t,M P)算法与正交匹配追踪(o r t h o g o n a lm a t c h i n g p u r s u i t,OM P)算法都是经典的贪婪迭代算法[１２Ｇ１３]，其基本思想是迭代地到信号的支撑集，每次迭代会从词典中选择与残差信号最匹配的一个原子.但这种单个候选集的选择模式存在缺陷，会使问题陷入局部最优解.有学者提出了多路径匹配追踪(m u l t i p a t h m a t c h i n gp u r s u i t, MM P)算法，在每次迭代中选择不同原子放入多个候选集中，提高了算法的重构性能[１４]，但也增加了算法的复杂度.大多数贪婪算法需要准确知道信道稀疏度才能正确停止迭代，但是在大多数实际情况下无法满足要求.稀疏度自适应匹配追踪(s p a r s i t y a d a p t i v em a t c h i n gp u r s u i t,S AM P)算法提出了一种不需要稀疏度的算法，但仍需知道信道噪声水平才能设置合适阈值来停止迭代[１５]，且该阈值设置对算法重构精度影响很大.
针对上述算法对信道先验信息(例如稀疏性或噪声级别)依赖性和复杂度高的问题，本工作提出一种基于交叉验证[１６Ｇ１
７]与正则化[１８]相结合的多径匹配追踪算法(m u l t i p a t h m a t c h i n g m u r s u i tb a s e do n c r o s s v a l i d a t i o na n dr e g u l a r i z a t i o n,C VＧR MM P)算法，将其用于水声稀疏信道估计.１㊀系统模型
水声信道是一个时变多径信道，其信道冲击响应为
h(τ,t)＝ðC－１i＝０A i(t)δ(τ－τi(t)).(１)
其中,C为水声信道中多径数目,A i(t)和τi(t)分别表示t时刻第i条路径的复增益和时延.水声信道可以看作频率选择性慢衰落信道，此时信道的相干时间远大于O F D M符号周期，可以认为在一个或几个O F D M符号内信道是时不变的.式(１)可表示为
h(τ)＝ðC－１i＝０A iδ(τ－τi).(２)
对h(τ)以系统采样周期T s采样得离散时不变信道模型为
h(n)＝ðM－１m＝０A mδ(n－m).(３)
其中,M为信道长度.水声信道的稀疏性即体现在h０,h１, ,h M－１
[]中非零元素个数很少，其非零值个数K(K≪M)即为此信道稀疏度.假设系统有N个子载波，发送信号经过水声信道后得到的系统传输模型矩阵形式可表示为
Y＝X H＋Z＝X D h＋Z.(４)其中，矩阵X＝d i a g(x(０),x(１), ,x(N－１))表示O F D M符号携带的数据,Y＝[Y(０),Y(１), , Y(N－１)]T为接收的数据符号,H＝H(０),H(１), ,H(N－１)
[]T为信道频域响应, Z＝Z(０),Z(１), ,Z(N－１)
[]T为高斯白噪声, D为NˑM维的D F T变换矩阵，表示如下
D＝
w００N w０１N w０(M－１)
N
w１０N w１１N w１M－１)
N
⋮⋮⋮⋮
w(N－１)０
N w(N－１)１
N w(N－１)(M－１)
N
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
.
(５)其中,w n,m N＝
１
N
e－j２πn m/N.
在O F D M系统的接收端，接收到的导频信号用于信道估计.假设发送端插入导频数量为P，则接收端接收导频信号可表示为
Y p＝X p D p h＋Z P＝Φh＋Z P.(６) Y p为接收到的Pˑ１维观测向量,Φ＝X p D p 为PˑM维测量矩阵,Y p,X P,F P在接收端均为已知.由于信道的稀疏性,h中的多数成分为零，非零
２２１
㊀第２期㊀㊀张海霞等：基于C VＧR MM P重构算法的水声稀疏信道估计
项代表不同时延的幅度值.估计这个信道就是出
这些时延并计算这些非零值的大小，信道估计问题
就转为在获取观测向量Y p和已知训练序列构成的
测量矩阵Φ的情况下，利用合适的重构算法重构出
未知的水声信道时域冲激响应h.
２㊀基于C VＧRMM P算法的水声信道
估计
㊀㊀本工作对MM P算法的稀疏度依赖和复杂度方
面进行了优化，提出了一种C VＧR MM P重构算法并
将其用于稀疏水声信道估计.
２．１㊀MM P算法
在传统贪婪迭代算法中，每次迭代仅选择一个
原子.如果在一次迭代过程中选择了错误的原子,
则接下来的迭代过程都是基于此错误的选择，所得
最终支撑集将是错误的.MM P算法则选择多个候
选集，并在迭代完成后，基于残差最小化在所有候选
集中选出最终支撑集，此策略增大了搜索范围，提高
了原子被正确选择的概率，比传统单个候选集的选
择模式精度更高.MM P算法步骤如图１所示.
输入:
㊀测量矩阵Φ㊀路径数J ㊀观测信号Y P㊀信道稀疏度K 输出:
㊀信道响应估计值^h
步骤:
初始化：迭代次数k＝０，初始残差r０＝y,S０＝⌀{};１:w h i l e k＜K d o
２:k＝k＋１,u＝０,S k＝⌀
３:f o r i＝１:S k－１d o
４: Γ＝a r g m a x ΦT r k－１i ２２, Γ＝J ５:f o r j＝１:J d o
６:s t e m p＝s k－１iɣ Γj{}
７:I f s t e m p∉S k t h e n
８:u＝u＋１
正则匹配第二个符合的９:s k u＝s t e m p
１０:S k＝S kɣs k u{}
１１:^h k u＝(ΦS k u TΦS k u)－１ΦS k u T Y P １２:r k u＝Y P－A S k u ^h k u
１３:e n d i f
１４:e n d f o r
１５:e n d f o r
１６:e n dw h i l e
１７:u∗＝a r g m i n r K u ２２
１８:s∗＝s K u∗
１９:^h＝(ΦS∗TΦS∗)－１ΦS∗T Y P
图１㊀MM P算法
F i g．１㊀MM Pa l g o r i t h m ㊀㊀其中K为稀疏度,k为迭代索引,J是每个候选集的候选路径数,S k＝s k１, ,s k i, ,s k u
{}为第k 次迭代候选集的集合,s k i为第k次迭代的第i个候选集,h k i表示第k次迭代的第i个候选集的h估计值,r k i表示第k次迭代时第i条路径的残差.２．２㊀C VＧR MM P算法
２．２．１㊀正则化
由图１中的迭代步骤可知,MM P算法的每一次迭代过程中，都会选择J个原子分别放入不同候选集中，如多叉树一样，在每次迭代中基于根节点分出多个子节点，这种方式比单个候选集的原子选择模式可靠性更高，但计算复杂度也随之上升.因此，本文采用一种基于正则化删除部分候选路径并约束候选集数量的方式降低复杂度.
对于第k次迭代的第i条路径，通过求残差
r k－１
i
与测量矩阵Φ的每个原子(Φ的列向量)的内积绝对值，来计算相关系数:
q＝ΦT r k－１
i.(７)
将集合|q(１)|,|q(２)|, ,|q(M)|
{}降序排列得到新的集合q∗，传统MM P算法将新集合q∗前J个数据对应Φ的列索引值存入集合Γ中，集合中每个元素都被视为候选原子索引.然而保留Γ中所有元素，算法复杂度很高.针对此问题，本工作通过引入正则化对已选索引值进行二次筛选，删除部分能量小的路径，对于没有入选的原子，正则化保证它们的相关性小于被选原子的相关性.
首先在集合Γ中寻满足条件的子集Ωk:Ωk＝j q∗k()ɤ２q∗j(),j＝k,k＋１, ,J
{}, k＝１,２, ,J.(８)然后在Ωk中寻具有最大能量的集合Ωm a x:Ωm a x＝m a xΩkðlɪΩk q∗l()２,k＝１,２, ,J.
(９)Ωm a x本质为Γ的子集，用Γ∗表示，与Γ相比,Γ∗通过正则化删除部分相关性小的原子，在保证重建性能的前提下降低了计算复杂度和存储开销.此外，如图２所示，通过设置最大候选集数量N m a x来进一步降低复杂度.
２．２．２㊀交叉验证
根据交叉验证的理论[１６Ｇ１７]，将接收向量Y P分为重建向量Y r e p和交叉验证向量Y c v p.测量矩阵Φ也被分成两个子矩阵，即P r eˑM维重构矩阵Φr e和P c vˑM维交叉验证测量矩阵Φc v，其中P＝P c v＋P r e.相应的得到一个重建方程
３２１
青岛科技大学学报(自然科学版)第４３卷Y r e p＝Φr e h＋Z r e p,(１０)
和一个交叉验证方程
Y c v p＝Φc v h＋Z c v p.(１１)
式(１０)用于贪婪算法重建稀疏信号，式(１１)用
于确定停止条件.其中Y p＝Y p r e T,Y p c v T
[]T,Z p＝
Z p r e T,Z p c v T
[]T.矩阵Φ由Φr e和Φc v组成.对于
稀疏的水声信道,^h是未知的K稀疏信道向量.使
用^h k表示第k次迭代中的估计信道矢量，则第k次
迭代中的C V残差表示为
εc v k＝ Y c v p－Φc v^h k ２２.(１２)
当不使用交叉验证时，第k次迭代的残差定义为
εk＝ Y p－Φ^h k ２２.(１３)
图２为提出的C VＧR MM P算法详细步骤.如
步骤１所示，在使用交叉验证时，无需根据信道稀疏
输入:
㊀Y r e p,Y c v p,Φr e,Φc v,N c v,J,N m a x 输出:㊀^h
步骤:
初始化：迭代次数k＝０，初始残差r０＝Y r e p,S０＝⌀{},㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀v＝１,εc v０＝ Y C V P ２２;
１:w h i l e k＜N c v d o
２:k＝k＋１,u＝０,S k＝⌀
３:f o r i＝１:v d o
４：通过Φr e和(９)得到Γ∗
５:f o r j＝１: Γ∗ ０d o
６:s t e m p＝s k－１iɣΓ∗j{}
７:I f s t e m p∉S k t h e n
８:u＝u＋１
９:s k u＝s t e m p
１０:S k＝S kɣs k u{}
１１:^h k u＝(ΦS k u r e TΦS k u r e)－１ΦS k u r e T Y r e p
１２:r k u＝Y r e p－ΦS k u r e ^h k u
１３:e n d i f
１４:e n d f o r
１５:e n d f o r
１６:v＝m i n(u,N m a x)
１７:u∗＝a r g m i n r k u ２２
１８:s∗＝s k u∗
１９:^h k＝(ΦS∗r e TΦS∗r e)－１ΦS∗r e T Y r e p
２０:εc v k()＝εc v k＝ Y c v P－Φc v ^h k ２２
２１:e n dw h i l e
２２:k c v＝a r g m i nεc v{}
２３:^h＝^h k c v
图２㊀C VＧR MM P算法
F i g．２㊀C VＧR MM Pa l g o r i t h m
度或噪声级别设置最大迭代次数或重构阈值，而仅需要最大迭代次数即可.通常可以将N c v的值设置为大于稀疏K的值，实际应用中可以通过使用同步帧来粗略地估计该设置值.
如图２中步骤４,C VＧR MM P算法首先利用２．２．１节介绍的正则化得到集合Γ∗，相比于图１MM P算法中的集合Γ，通过引入正则化对已选索引值进行二次筛选，删除部分能量小的路径，在保证重建性能的前提下降低了计算复杂度和存储开销.根据２ ２．２节介绍的交叉验证原理，将MM P算法中的接收向量Y P分为重建向量Y r e p和交叉验证向量Y c v p；将测量矩阵Φ分为重构矩阵Φr e和交叉验证测量矩阵Φc v.利用重建向量和重构矩阵进行迭代估计，第k次迭代完成后得到相应的估计值^h k，之后利用^h k和交叉验证向量以及交叉验证矩阵计算第k次迭代的C V残差，如步骤２０.N c v次迭代结束后选出最小C V残差，此残差对应的迭代次数记为k c v，到第k c v次迭代对应的信道估计值^h k c v, ^h
k c v
即为所求最终信道估计值^h.
３㊀仿真结果及分析
在本节中，将研究本工作所提出的C VＧR MM P 算法的性能并将其与其他估计算法的性能进行比较.首先，通过B E L L HO P软件仿真生成信道冲激响应，表１给出了主要仿真参数，其中海洋环境参数参考冬季浅海设置.O F D M系统的参数
如下：子载波的数量N＝５１２；导频的数量为P＝１２８，插入方式为随机插入导频；调制方式采用１６Q A M.对MM P 和C VＧR MM P算法，设置J＝５,P c v＝３０,N m a x＝５０.使用M A T L A B R２０１８a在由２ ９０G H z I n t e lC o r e i５C P U和４G B内存的计算机上进行仿真.
表１㊀B E L L H O P仿真主要参数
T a b l e１㊀M a i n p a r a m e t e r s o fB e l l H o p s i m u l a t i o n
参数数值
声波频率/H z１００００
声源深度/m１０
接收水听器深度/m１０
声源与接收机距离/m１０００
海水声速/(m s－１)１５１８
海水密度/(k g m－３)１０２４
海水深度/m２０
海面粗糙度２(清劲风)
４２１
㊀第２期㊀㊀张海霞等：基于C V ＧR MM P 重构算法的水声稀疏信道估计㊀㊀OM P 为经典贪婪迭代算法,
该算法需要准确知道信道稀疏度才能正确停止迭代;S AM P 算法在
OM P 算法基础上,
通过设置合适的阈值和步长来确定迭代停止条件，该算法虽然不需要稀疏度，但仍需知道信道噪声水平才能正确停止迭代；上述两种算法均为单候选集的原子选择模式，容易陷入局部最优,MM P 算法通过选择多个候选集方式解决此问题并提高了算法估计精度，但仍存在稀疏度依赖和复杂度高的问题；本研究提出的C V ＧR MM P 算法通过结合交叉验证和正则化对MM P 算法进行优化，可以使算法在未知稀疏度情况下恢复稀疏信号.为了验证所提算法在水声信道估计中的估计性能，如图３和图４所示，本研究分别比较了４种算法在稀疏度K ＝７和K ＝１５两种情况下不同重构算法的误码率(B E R ).可以看出，在两种情况下，随信噪比增加所有算法的误码率降低.在相同的信噪比下,C V ＧR MM P 和MM P 表现出了最好的误码率性能，而S AM P 算法的最低.尽管C V ＧR MM P 算法不需要关于稀疏度K 的先验信息，但仍能达到与
MM P 算法相近的重构性能.此仿真证明C V Ｇ
R MM P 算法具有很高的鲁棒性,
可以恢复稀疏信号，而无须事先了解稀疏度和噪声水平等先验信息
.
图３㊀S A M P ㊁O M P ㊁MM P 和C V ＧR MM P 算法B E R 比较(K ＝７)F i g ．３㊀S AM P ,OM P ,MM Pa n dC V ＧRMM Pa l g
o r i t h m B E R c o m p
a r i s o n (K ＝７
)图４㊀S A M P ㊁O M P ㊁MM P 和C V ＧR MM P 算法B E R 比较(K ＝１５)F i g ．４㊀S AM P ,OM P ,MM Pa n dC V ＧRMM Pa l g
o r i t h m B E R c o m p
a r i s o n (K ＝１５)㊀㊀图５为信噪比２０d B ㊁K ＝７情况下,
随迭代次数增加，重构误差σ＝ h －^h  ２２㊁
残差ε和C V 残差εc v
的变化.可以看出，残差单调递减，因此在没有事先了解稀疏度和噪声水平的情况下无法确定停
止迭代的时间，所以残差不能用作正确终止算法的指标.同时,C V 残差与重构误差具有相同的趋势，都在N c v ＝７处取得最小值.所以C V ＧR MM P 算法可以根据C V 残差得到重构信号，该仿真进一步验证了C V 的合理性
.
图５㊀重构误差σ㊁残差ε和C V 残差εc v 随最大迭代次数N c v 的变化F i g ．５㊀R e c o n s t r u c t i o ne r r o r σ,r e s i d u a l ε,a n dC Vr e s i d u a l εc v c h a n g
e w i t h t h em a x i m u mn u m b e r o
f i t e r a t i o n s N c v
㊀㊀本工作以算法估计一次水声信道的平均运行时间代表算法的计算复杂度，表２给出了在信噪比２０
d B ㊁K ＝７情况下S AM P ㊁OM P ㊁MM P 和C V Ｇ
R MM P 算法平均运行时间，其中S AM P 步长为４.可以看出,MM P 算法复杂度远高于OM P 算法,
这是由于其基于多个候选集的原子选择模式导致的.C V ＧR MM P 算法的仿真时间低于MM P 算法,
这是由于C V ＧR MM P 算法通过正则化和限制候选集数两个策略降低了MM P 算法的计算复杂度，但优化后的算法仍存在多个候选集，所以在时间复杂度上要高于单候选集的OM P 算法.
表２㊀S A M P ㊁O M P ㊁MM P 和C V ＧR MM P 算法平均运行时间比较T a b l e ２㊀C o m p a r i s o no f a v e r a g e r u n n i n g t
i m e s o f S AM P ,OM P ,MM Pa n dC V ＧRMM Pa l g
o r i t h m s 参数OM P
S AM P
MM P
C V ＧR MM P 平均运行时间/s
０．００１８０．００５００．２７８２０．０１３９
４㊀结㊀语
本工作结合水声信道具有稀疏性的特点，通过
对水声O F D M 通信系统的分析,
提出了一种高度实５
２１

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