正则变换的研究
学生xx
红河学院理学院物理学，云南省，中国，661100
摘  要：正则变换是由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。是解决正则方程的
解而引入的一种重要的变换方法。
关键词：正则变换；母函数；广义坐标。
1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》。在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题。而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图都没有。在基础上，逐步发展为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。
拉格朗日是用s个独立变量来描写力学体系的运动，所以和牛顿运动方程一样，是二阶常微分方程组，我们通常把这组方程叫做拉格朗日方程。后来，哈密顿在1834年又提出：如果用坐标和动量作为独立变量，则虽方程式的数目增加了一倍，由s个变为2s个，但微分方程式却都由二阶将为一阶。这组方程叫哈密顿正则方程。
他在1843年又运用变分法提出了另一个和牛顿定律等价的哈密顿原理，用来描述力学体系的运动。哈密顿正则变换将是求解哈密顿正则方程必不可少的一种计算方法。本节将给出正则变换的目的、条件和变换形式。
（一）正则变换的目的和条件
哈密顿函数是及t的函数，而哈密顿正则方程则是2s个一阶微分方程。如果H中不出现某个，例如，则这个不出现就是循环坐标，而我们也将由正则方程式
                        ……（1）
力学体系的哈密顿函数H中，有没有循环坐标，与我们所选的坐标系有关，在某种坐标系中没有循环坐标，在另一种坐标系中却可以有一个或几个循环坐标，有心力就是一个最明显的例子，在极坐标中，如质点的质量是m，则动能。对平方反比引力问题来讲，势能，故H=T+V.很显然，这里极角是一个循环坐标，故对应的广义动量的微分,即
                     
即对应的广义动量是守恒的，在这里我们将介绍坐标和动量的变换，是新的哈密顿函数中出现一些循环坐标，如果通过某种变数的交换，能够到新的函数，设为，使正则方程的形式不变，这种变换就叫正则变换。很显然，我们进行变数交换来获取循环坐标是，必须使这种变换是正则变换。
广义坐标为  是决定系统中所有质点位置的独立变量。设为的单值可逆函数，即决定，即决定了系统中所有质点的位置:
→也是广义坐标，是、之间的变换
例如：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系
就是这种变换。
都是广义坐标。
笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换。
变换表示广义坐标的选取不唯一。对拉格朗日、哈密顿表述都如此。
但；是在哈密顿表述中，，地位平等，坐标和动量已经失去原有的意义。
寻更广泛的变换
在变换中，中同时包含、（）
当、→时，哈密顿函数
使得：               
此时称：  为正则变换。
变换结果：         
所以
正则变换：是正则方程形式不变的广义坐标变换。（属于勒让德变换，但要求正则方程形式不变）
目的：原有在正则变量变换为新正则变量：
（1） 选好广义坐标的重要性
选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。
正则匹配关键词
                  时
需满足                    ….（1）
dU为恰当微分：
               
由此得：            ，（）
               
可见：只有到,便可求出同时可求出进而求出变换方程，使其满足：
故称U为母函数
如果中有较多的循环坐标，则可得到较多的=常量。
证：               
           
由于：
因为→
所以         
=
所以
              ∵
得：       
而：，相互独立
所以:      ,
（2）正则变换的目的和条件
正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻最佳坐标，使H函数中出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。
  设原来的正则变量为p、q,通过变量变换新的正则变量为p、Q,他们的变换关系为  ……(2)
如果变换后，新的哈密顿函数仍然满足正则方程                  …..（3）
满足（3）式子的正则坐标变换称为正则变换。
满足正则变换（3）式的具体条件是
                          ……(4)
式中U为正则变换母函数。
正则变换条件:
（3）四种不同类型的正则变换
（4）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式，对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）为独立变量。
二.  几种不同形式的正则变换
由于母函数规定的不同，正则变换还可以有下列三种形式，兹分述于下：
（a） 在式（1）
中变换  项，即
代入式（1），得
此时母函数是的函数，且
（）
（b） 在式（1）中变换项，则用同样的方法，可得
且      ()
（c） 在式（1）中变换和两项，得测
且    ，()
实际上，这四种不同的变换，是由于母函数中的独立变量规定的不同所致。亦即后三种变换可以看做是从式（1）经过一个勒让德变换得出来的。
正则变换的关键
    若变换后新哈密顿函数只是变量及t的函数，即
则由（7.15）式知
∴   
可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分，全靠母函数U规定得如何而定，所以体系的运动微分方程的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻合适的母函数U的问题了，U规定适当，变换后出现很多循环坐标，问题即可大为简化。
参考文献：
（1）.周衍柏，理论力学教程，第三版，高等教育出版社，2009，P200、P245 ~250。
（2）.李德明，陈昌明，经典力学，第一版，高等教育出版社，2006。

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