科学技术创新2020.29
复合材料的吸附量下降。
2.6石墨烯/沸石复合材料吸附Cd 2+的机理
石墨烯/沸石复合材料表面带的电荷影响Cd 2+的吸附。由实验可知，pH<5.4时，复合材料表面拥有正电荷，对Cd 2+的吸附
起到排斥作用。pH>5.4时，材料表面带负电，
利于Cd 2+的去除。还有，石墨烯/沸石复合材料比表面积大，吸附点位多，
有利于Cd 2+吸附。所以石墨烯/沸石复合材料对Cd 2+的吸附是物理和化学因素共同作用的结果。
3结论
石墨烯/沸石复合材料可用于去除水中的Cd 2+，复合材料
吸附Cd 2+的最佳条件为：吸附时间2h ，PH=5.4时，随着复合材
料用量的增加，去除率也会增加，水中的其他阳离子影响Cd 2+
的吸附率。由实验结果可知，
石墨烯/沸石复合材料可以成为去除水中Cd 2+的良好材料。
正则匹配关键词参考文献
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[5]王方.国际通用离子交换技术手册[M].北京：
科学出版社,2000.
完全正则半和幺半上的Rees 矩阵半
The Completely Regular Semigroup And The Rees
Matrix Semigroup
黎宏伟
（宿迁学院数学系，
江苏宿迁223800）1预备知识
文[1]给出了完全正则半的定义，并且指出完全正则半是完全单半的半格，文[2]给出了幺半上的Rees 矩阵半的
定义.设I 和
是非空集合,A 是幺半,
是
A 的单位元,P 是G 1A 上的矩阵，在集合上定义运算如下:
摘要：讨论了含幺Clifford 半上的Rees 矩阵半和完全正则半之间的关系，证明了完全正则半是含幺Clifford 半上
的Rees 矩阵半当且仅当它是幺半上的Rees 矩阵半。
关键词：完全正则半；Rees 矩阵半；Clifford 半；幺半Abstract:The relations between the completely regular semigroup and the Rees matrix semigroup over a Clifford semigroup with identity is investigated and prove that a completely regular semigroup is a Rees matrix semigroup over a Clifford semigroup with identity if and only if it is a a Rees matrix semigroup over a monoid.
Key words :Completely regular semigroup ;Rees matrix semigroup;Clifford semigroup ;Monoid 中图分类号:O15文献标识码:A 文章编号:2096-4390(2020)29-0032-03
（转下页）
11,1A A A
G S A I
(,,)(,,)(,,)
j a i b j ap b i ,
32--
2020.29科学技术创新
其中
,
,
则S 关于此运算构成半，称为幺半上的Rees 矩阵半，记作
设A 是含幺Clifford 半，则
是含幺
Clifford 半上的Rees 矩阵半.设含幺Clifford 半A 是的强半格，由文[3]知
是含幺Clifford 半上的Rees 矩阵半
的子完全单半，且S 是它的子完全单半{S e }的强半格.根据文[3]的结论可知含幺Clifford 半上的Rees 矩阵半是完全单半。
文[3]研究了含幺Clifford 半上的Rees 矩阵半S 的性质，给出了S 的正规加密结构，指出正规加密是含幺Clifford 半上的Rees 矩阵半当且仅当它是幺半上的Rees 矩阵半.由文[3]知正规加密是一种特殊的完全正则半，如果把正
规加密改为普通的完全正则半，那么当幺半上的Rees 矩阵半是完全正则半的时候，它会是含幺Clifford 半上的Rees 矩阵半吗?本文对这个问题进行了研究，证明了下面的定理:
定理1完全正则半是含幺Clifford 半上的Rees 矩阵半当且仅当它是幺半上的Rees 矩阵半.
2几个引理
设S 是完全正则半，则S 是它的子完全单半
的半格，即
,
其中e 是Ge 的单位元，则可以证明下面的引理.
引理1
设完全正则半S 是它的子完全单半
的半格,
且S 是幺半上
的Rees 矩阵半，即
，其中A 是幺半，则
.证明：先证.假设不包含在I 之内，则存在，但
.对于任意的
，由
知
.
但
是S 的子完全单半，而
，故
，这与
矛盾.故假设不成立，即
.
再证.假设
，则存在，但.
设，显然
.于是任
意的
，
有
，但
.
由于
，
，
故
.
由[4]知.
由于
是S 中的J 类且
，
故
.这与矛盾。故假设不成立，
于是可得.同理可证
.
引理1得证。引理2设
是
任一J 类，则
.
证明：
在S 中,，而是S 的子半，因此，在
中也应该有
.
故可以认为.引理2得证.
由引理2可知S 任一J 类可以表示为
.
引理3设完全正则半S 是幺半上的Rees 矩阵半，即
，其中A 是幺半，且S 是它的子完全单
半
的半格，则A 是
的不交并集。
证明：由[4]知S 是它的子完全单半的并集，从而可
得A 是的并集。设
[],
i P p 1A
i p H ,,,i j I
[;,;].
S M A I P [;,;]S M A I P {|()}
e G e E A [;,;]
e e S M G I P [;,;]
S M A I P {[;,;]|}
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S M A I P ,I I
I I I i I i I
(,,)a i S
i I
(,,)a i S
S
(,,)a i S
(,,)a i S
(,,)a i S
I I
I I
I I
i I o i I o (,)i I
(,)i I
o e
a G (,,)a i S o (,,)a i S o 1
(,,)(,,)(,,)
i ep i a i a i o o 1
(,,)(,,)(,,)
i ep i a i a i o o (,,)(,,)a i L a i o (,,)(,,)
a i J a i o S
(,,)a i S
(,,)a i S o (,,)a i S
o I I
[;,;]
e S M G I P [;,;]
S M A I P [][]i i P P P P
(,,)(,,)(,,)i a i b i ap b i S
S
(,,)(,,)(,,)i a i b i ap b i [][]i i P P P P
[;,;]
e S M G I P [;,;]
S M A I P {[;,;]|}e S M G I P Y {}
e G {}S {}e G 33--
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和
是S 的两个不同的子完全单半，由[4]知
和
的交集
是空集，从而可得G e 和G f 的交集是空集.故A 是的不交
并集.
引理4设幺半A 的单位元是I A .任意的,
有
.
证明：设
且
.由知，故
,
于是
且.
由于
和是S 中的J 类，且，故
和
是S 中的同一个J 类，即
.由
可得，于是
.同理可证
.引理4得证.
设
是
的两个J 类.
引理5证明：设
,
.
由于，根据引理3可得，故，于是，进而可得；因此,.
设，则由知fxe 是G h 中的幂
等元，因此,.由于
故
.同理可证fe=h.故
.
3证明定理1
设S 是完全正则半，若S 是含幺Clifford 半上的
Rees 矩阵半，
则S 显然是幺半上的Rees 矩阵半.设S 是完全正则半，且S 是幺半上的Rees 矩阵半
，即，其中A 是幺半，其单位元是1A .由
S 是正则半知A 是正则半.
由引理3知A 是子的不交并集，下证A 是子的半格。设
是
的两个J 类.由引理4知若
,
则，故
.
任意的
，有
.由引理5知任意的
，有
.由
引理5的证明知任意的，有
,
故E(A)是交换半，进一步可得E(A)是半格.于是即A 是子{Ge}的半格。
由文[6]知A 是Clifford 半，又因为A 是幺半，故A 是含幺Clifford 半，进而可得
是含幺Clifford
半上的Rees 矩阵半.定理1得证。
参考文献
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作者简介：黎宏伟，男，江苏省宿迁市人，
硕士，讲师，主要从事半代数理论研究。[;,;]
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i i bp b p G 111
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(,,)(,,)(,,)i bp i a i ba i S
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