概率赋范线空间中紧连续算子的延拓定理
与拓扑度
第14眷第l赫
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南京大([1然科学版)V o1.I4N01
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概率赋范线性空问中紧连续算子的
延拓定理与拓扑度①
曹菊生林颐骑
(教学晕)
摘要’
本文蛤出概率列紧集的一个有用的州蹦法，证明完备的M-PN空问中紧连续算子
的一致逼近定理及延拓定理，同对讨论■齄值概率上半连续紧映象的拓扑度.
关键词概率,i一网，概率紧连算子，概率集值上半连续紧睁象，拓扑疽0引言
张石生…中将拓扑度推广到撅串I!ic范线性窄蝎中，其中三角模为△=m;n，本文利
用[71q’的概率(￡.i)一网定义，绗}Jj概率列紧集的一个有用的判别法,uppers
证明完备M—Phi
牵中紧琏续算子的一致逛近定理，此时三角模只要求Sup△(1,t)=1,¨时利用逼近定
|’】
理纳缎数表示，证明了:M-Phi宅蝴△;min时紧连续算于的延拓定理，最后讨论了集
椎概_串上毕连续紧映象的拓扑度，将…中的拓扑度推广为架位的情形,
l逼近定理
本文中概丰j：式范线性日的定义及束作|兑明的援念均见文【21’f31.【41.[51.
定义1’没和是M-PN空.故对上述.存在D<<』.使得△r』一,
f’l
卜,>；卜.由定理的条件知S有概率列紧(e/2,jJ一网.即VEs，必有∈，使,…0/2)>1一.因A概率列紧，故存在有限的概率/2?j卜网曰，即V.
E，必有:E曰使rs/2>；卜，而
Ft《s}=Frl￡/2+e,2)>△lFf(e/2),Frds,2)△il一’l一
J>』一j.即是S的有限概率.,U-网，再由引理1得是概率列紧的. f理3有限维空间r丘△J的概率有界集一定为概率列紧集.
证明因E为有限维线性拓扑空间，南有限维的特征可知E与Euclid 空间同胚，则
有界集一定为拓扑意义下的列紧集.所以本引理成立.
设rE,△JJ,r,,△jJ为两个完备的M—PN窑问,B.SupA(f.f)一t,i
.
r’t
=
1,2,:E.一E，为算子.关于算子的连续.概率有界，紧连续帕定义见文[1]. 定理l设r,,△为完备的M-PN空If习.RSupA.(f,f)=1,rf1,?J,
I’l
.
:DrcExJ，为紧连续算子列,:DE2为算子，若对任意的cD为概率有界集?F
.
一
O)-4H(t)(noo)，对∈S一致地成立，则也是紧连续葬子-
证明先证为连续算子.
设口∞.，口∈DJ，则S=f口,』.…}为D中概牢有井集.%,c
为零点的任一邻域.因Supa,(f,f)=1.故对>D-O<<，使得△r△r』一iJ.
I’l
卜j』?卜JJ>；卜，由定理条件知，对于e,/3,i』>o,j使,.一
(c/3)>1
一
l,VxeS，由t的连续性知|Ⅳ为r的一个慨率-j一网.又.rJ为概率列紧集，由引理2知AfsJ也是概率列紧集，故为紧算子.
定义3f一}c为一序列，若有∈E，使得jE>D，刍N?当n>N?有,—¨.+
—
(.)>1一则称f.1构成一个收敛的概率级数，记为∑.一.
--t
一
2一
许萄生等：概率敞范线性J审问中婿连续葬干的延拓定理与拓扑度引理4设r.,’△J为M—pN审问，其中A=rain，设ncE,’:n-E为紧连
续算子，则V.,6>0,j>0.存在有限维的紧连续算子r使得’一Tcn 56WDeNo(6-五),VEn.
引理5设rE△J为完备的M-PN空ril1.A;rain,A:D—E紧连续算千.D cE为概率有界集.则Aiif~gjAx;A.4-∑A.VxeD，其中算lF:D—为
连续概卑有界,E裘F的某有限维lF夺问，且F(1/2)>1—1/2,’v’xeD.反
之.若A满足上述各条件.则A一定为紧连续算子.
证明由引理4知，存在苒予:D?H,j为连续概率有界,rE的粜有限维f 空问)使得F一
.
(1/2”)>1—1/2”.令Ao,Ax;BI—BD1A;.
…
,』-2,…-A:D’,r;f:J.一+J,E，一』E，一J)为E的一个有维子空闻)，则.
;
∑At，上述可得=∑A.”V’xeD.当∈Dll于,
●-●●-n
F
.
(1/2)=Fr
…
(2’+1/24+2)，固
.
(1/2…)>1—1/2
所以FA
.
(1/2)≥△(1—1/2…,1—1/2…)
的连续概术有界性是显然的.
-●
反之,V6’.【D)为G
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