专题研究•数学实验05数学实验：用创意内容撬动学习深度发生
浙江省杭州市天长小学吴恢銮
【摘要】滞后的数学内容和单一的学习方式制约了学生数学学习兴趣与创造力的发展。数学
学习方式要深度变革，需要学习内容与方式协同发展，才能抵达深度学习。我们经过七年探索，
形成了数学实验内容开发与探究性学习协同发展的学习新样态。
【关键词】数学实验实验内容学习方式深度学习
要实现对更美好更理想的数学教育教学的追求，一定是基于数学内容的学习方式的深度变革。而现实是数学学习被减缩到一纸一笔，重结果轻过程，重知识轻能力，重讲授轻探索，重解题轻创造。为何学习方式转型滞后？究其原因有三方面：
首先，数学内容不利于学习方式深度变革。现行数学教材的一些内容编排，把结构严谨的数学知识体系，视为客观存在的绝对真理，显得冰冷而无情，数学家当年创造数学、发明数学的历程和足迹，早已经被“擦除”得干干净净。
其次，训练性学习方式占据了学生大部分时间。这种状况使学生排斥显性的数学知识学习，学习主动性降低，功利性大大增加，不利于学习方式深度变革。
最后，数学内容不断被家庭与培训机构前置。一些家庭和培训机构急功近利，总是把知识学习不断提前。据调查，98%的入学儿童会20以内加减法计算，甚至会两位数、三位数的加减法计算。在不合适的年龄，学习不合适的知识，再加上不合适的学习方式，堆积的知识再多，也不能生长“素养与智慧”。
滞后的数学内容和单一的学习方式制约了学生的数学兴趣与创造力的发展。数学学习方式变革，需要学习内容与方式协同发展，才能促进深度学习。七年的实践探索，我们探寻到了基于数学实验内容开发撬动数学学习方式深度变革的新路径，构建了基于数学实验的学习方式新样态，并以“数学小实验学习中心”为学习系统支持，促进“训练性学习”为主向“探究性学习”为主的成功转型。
一、序列化设计“数学实验”内容
1.数学实验的设计原则
(1)“可视性学习”原则
根据学生的认知特点，设计的数学实验内容要化抽象为具体，化静态为动态，使学生能在可视的实验环境中深度理解概念、法则与原理。不仅实验材料、实验活动、实验成果是可视的，实验过程也要能
使不同的学习者、不同的学习途径、不同的表达方式得到包容与放大，让实验学习变得思维可视化。
(2)“尝试性学习”原则
任何实验需要在不断尝试与质疑中，才有可能走向成功。开发的数学实验内容，无论是验证性还是探索性的数学实验，都要以学生不断的尝试为基础，让学生在实验活动中经历提出问题、猜想尝试、合作验证、归纳推理等高认知学习过程。
(3)“再创性学习”原则
设计的数学实验要符合“高认知水平的数学任务”特点，突出问题解决、合作沟通、批判质疑、多元表征、评价创造等高认知思维，让学生经历“再创性”学习全过程，成为问题的探索者、研究者与解决者。
(4)“差异性学习”原则
面对存在差异的学生，教师要运用差异的实验活动促进学生个性化的学习，让学生根据自己发展的需求，自主选择学习方式，从而满足不同学生的学习需求，激发每个学生学习的自主性。
2.数学实验的内容特点
(1)核心性——基于数学核心内容与思想
数学核心内容与思想是设计“数学实验”的重要切入点和组织数学实验探究的载体。如我们设计了“巧移汽车”，渗透“逆推思想和策略”；“小纽扣大学问”，渗透“分类思想”;“百变立方体”，培养学生空间动态观念。
(2)内隐性——基于数学活动经验的积累
与常规数学内容相比，开发的数学实验内容，要重
06小学叢学祈究
视数学关系的理解感悟、数学活动经验的积累、数学基本思想的感悟等数学内隐性知识的“智慧”。如我们开发的“用天平怎么创造平衡”，在于构建“等式”表示左右等价性的内涵，渗透代数思维，为学生后续学习方程积累”等量关系”的经验。
(3)疑难性——基于数学学习的疑难问题
针对教科书中的疑难问题，借助好玩的学具，采用数学实验的学习方式，让不同层次的学生主动参与到数学研究中来。例如，针对学生对三视图理解的困难，我们设计了“模型穿框”数学小实验，让学生思维穿越于“二维”与“三维”转化与想象中，培养学生的空间推理能力与想象力。
(4)整合性——基于综合实践的内容整合
现行教科书专设综合实践活动内容，我们尝试把“综合实验内容”设计成数学小实验，既彰显综合实践内容的应用价值，又赋予数学实验学习的探究价值。如二年级下册“小小设计师”的实践活动，我们设计成三个数学实验任务串，弓I领学生经历“想象一实验一分析”的探究过程，借助数学实验，发展学生空间想象与分割转化等几何素养。
(5)跨域性一基于跨领域跨学科的融合
把不同领域的知识关联起来就是创新能力，我们把数学与音乐、美术、科学、体育一些共性内容关联起来，开发了“颜的魅力”“水杯琴”“音符与分数”“如何用绿豆测量树叶面积”等实验内容，培养学生跨界创新与学习能力。
(6)启智性——基于数学启智玩具与游戏
根据数学课程的内容，我们补充与精选一些能传承数学文化与思维魅力的启智性玩具与游戏，开发了“巧取数棒”“棋盘上的智慧”“神奇的尺子”等游戏类实验内容，以实验游戏的形式，引导学生研究其数学概念与原理。
3.实验内容的序列设计
根据数学实验的设计原则，我们详细规划了一至六年级的数学实验内容，在不增加学生课时量的前提
下，依据数学课程标准的核心知识、方法与思想，以“数学抽象”“数学运算”“宜观想象”“数据分析”“数学建模”“推理论证”为数学核心素养，设置了数量与运算、模式与关系、图形与测量、拓扑与变换、统计与分析、随机与概率六个模块。并且，实验内容充分指向“经验与思想增长”，例如，操作经验、探究经验、思考经验以及基本思想方法。典型内容见下表。
我们在开发每个数学实验时，遵守宜少不宜多的原则，历时七年开发设计了一至六年级共计120项数学实验，使之内容序列化、结构化，平均每个学期安排10个数学实验，共计15课时。
二、基于数学实验的学习方式变革
好的学习方式应该具备五要素：学习者核心能力和素养发展；个性化和多样化发展；认知和能力的同步进阶；知识和实践的有机融合；保护和激发求知欲、创新力，激励学习者自主学习。从数学实验内容设计可以发现，数学实验冲破了原先数学“训练性学习”的泥潭，让学
核心实验实验实验适用素养内容目标归属年级
数学用天平怎么创造平衡理解等号，构建等式，培养代数初步思想数量与运算一抽象流失的时间能称出来借助沙漏测量流失的时间，在时间与质量之间建立抽象的关系模式与关系
三数学
100怎么进行"变形记”从加减乘除四种运算关系多元表征100的分与组，发展按计数思想数量与运算二
运算数学有数字黑洞吗探索数学中的数字黑洞，培养运算能力，发展数感数量与运算
四
几何怎么像数学家一样快速给
地图染
创设“贪心算法”快速给地图着的过程，渗透“图论”思想拓扑与形状二
想象
钉子板上怎么算面积根据钉子板的格点特点，想象与验证，分割与相补，发展转化思想与
空间观念
图形与测量四
数据我花了父母多少钱经历数据的产生、收集与统计分析过程统计与分析三分析用红豆如何测量树叶面积通过观察随机现象和大数集中趋势，渗透随机思想随机与概率
五
数学建模蜗牛爬得有多快发明用“八卦图”对比测量各种蜗牛爬行速度，建立科学测量模型图形与测量三如何优化从断桥到雷峰塔运用模糊数学原理评价各条路线的优劣程度，建立模糊评价模型，渗
模式与关系五路线实证研究透模糊数学思想
推理
为什么人民币只有1、2、5通过付10元钱的实验，发现只要用1、2、5数字的纸币就能完成任务，
渗透组合与优化的思想
数量与运算一
专题研究•数学实验07
生在动手动脑中更加个性化、多样化地开展数学实验，在好玩又具挑战性的实验活动中激发学生潜能，
实现了向好的学习方式转型的最大可能。我们认为要实现好的学习方式，除了需要好的内容作为前提外，还要积极倡导五个方面的学习。
1.倡导提出问题，形成实验猜想
没有问题，学习就不会深度发生。学生提不出问题，也就形成不了实验猜想。在数学实验课中，首先，要创设敢于提问的文化氛围。其次，要设计蕴含着高认知水平的问题，鼓励学生去发现问题，提出问题，并形成实验猜想。例如，在教学“神奇的镜子”实验课时，教师出示万花筒让学生玩，玩了几分钟后，让学生提出问题，学生问道：“万花筒里面会装一万面镜子吗？”“万花筒怎么产生那么多影子的？”“我知道万花筒里面只有三面镜子，为什么会产生那么多镜子？”在此基础上，教师再呈现一个现象：两面成90°的镜子，产生了3个虚像。教师让学生继续提问，并形成一些猜想，如镜子的夹角与虚像有什么关系？夹角越小，是不是虚像越多？如果两面镜子平行，会产生多少个影子？最后，数学实验课上，教师要勇于面对学生提出的问题，珍惜与尊重每个“问题”与“猜想”，只有发自内心“欣赏”这些“问题”与“猜想”，学生才会愿意去提问、去猜想。
2.倡导自主学习，经历实验过程
自主学习能力是21世纪核心素养的本质和核心，培养学生的自主学习能力对其终身学习具有重要意义。我们专门设计了“数学小实验学习中心”，作为数学实验课与课后实验探究的学习系统支持。“中心”
面积约200平方米，近500多件大小不同的实验学具与器材，供学生进行自主实验。数学实验课上，教师要敢于退居幕后，让学生成为提出问题、设计实验、收集数据、分析实验数据、探秘实验原理的主角，要舍得让学生进行长时间的自主探索。为此，笔者所在的杭州市天长小学从顶层设计了长短课，常规课设定35分钟，数学实验课则定为1小时，从时间上确保实验探究的深度发生。如“用绿豆如何测量树叶面积”，如果实验时间仅有40分钟，就无法确保实验猜想、方法讨论、实验设计与实验验证等核心环节的顺利完成，就会成为走过场。
3.倡导大胆尝试，培育实验精神
无数例子证明，进行科学研究最需要的精神估计就是大胆尝试。我们设计的数学实验内容中，必须把好玩有趣的实验学具加入进去。为什么要做这样的规定呢？因为学生对学具有天生的好感，学具可以让学生反复尝试，学具可以让指尖智慧发生，学具可以让实验过程的思维可视化。例如，教学“百变立方体”这节实验课时，“百变立方体”是学生课前与教师合作完成的，课中可以用它拼组，可以用它验证分割，可以同桌合作创拼各种美丽的图案，课后还可以四人小组合作，创拼出动物、房子、火箭，这样好玩的学具，学生当然愿意去大胆尝试，愿意去大胆创造。
4.倡导团队协作，学会实验合作
当下，一项有难度的研究，靠单匹马，很难进行下去，因为可能涉及多个学科，多个领域，需要数
学家，需要编程高手，需要工程技术，甚至需要艺术创意。可是，反观我们的课堂学习，所谓合作学习局限于三五分钟和狭隘的教室里。数学实验课，除了课上60分钟外，一些综合性实验项目，常常需要一周，乃至一个月投入研究，这就促使学生要进行团队协作，学会合作才能比较顺利地完成研究任务。例如，在“西湖断桥一雷峰塔最佳出行方式设计的实证研究”中，靠一个人完成公交车、共享自行车、共享电动车、步行、游轮等交通工具的实证调查，那是难度很大的任务，如果选择团队协作，那么就比较容易，组建6个团队，每个团队2个人，每个团队调查一项交通工具所需要的时间，再进行数据共享，然后发挥小组中数学最好的学生的才能，带领大家一起研究“模糊数学”，从通畅性、经济性、安全性、环保性、景观性五个维度建立“最佳路线评价模型”，采取“确定权系数法”，最终实验得出共享电动车得分最高为0.7979，为最佳出行工具。
小学创意编程学什么5.倡导跨界融合，追求实验创新
在今天这样一个时代，仅仅在一个孤立的学科领域中教育学生是不够的。学生需要在实验情境中，超越学科界限联结各种学习，在各学科之间建立联系，将各个学科中学到的内容整合起来，通过跨领域探究和批判性思维实现跨域情境的学习迁移。这是深度学习的要义，是项目学习的要义，也是探究学习的追求，因为好的学习方式本身就在追求知识与实践的深度融合。对数学内容的跨界探究，其目的就是打破学科边界，提升学生学习与真实情境的关联意识，实现跨界思考问题、解决问题，追求实验创新。
以上五个方面的倡导，其实就是对好的学习方式五要素的深刻回应，数学实验内容实现了知识与实践的深入融合，实现了数学核心素养的整体设计，实现了认知与能力的同步进阶。但如何实现个性化与多元化发展，如何实现数学研究志趣和创新力的长远发展，如何激励学生自主探索和团队协作研究相结合，需要在数学实验学习过程中得以实现，因为过程是促使好的学习方式发生的唯一途径。〉

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