读书随笔：微积分的力量（中）
不过，要区分什么是“噪声”，什么是“信号”，这更多是一门艺术，或者说是洞察力。你凭什么就认为摩擦力是不重要的呢？空气阻力就是不重要的呢？这是直觉。
经过斜坡滚球测试，伽利略开心地发现了同样时间段内，滚球滚落的距离，呈现出1、3、5、7这样的奇数比例关系，而滚落的总距离，则与花费的总时间的平方成比例关系（1、4、9、16…）。速度虽然在变化，但却有数学规律可循。
他继续研究复杂的抛体运动，天才地联想到抛体运动其实是水平直线运动，与垂直的自由落体运动相结合，由是发现两个运动的合成使得抛体的轨迹变成了抛物线！——不关心原因和结果，只看过程——而抛物线恰好是阿基米德斜切圆锥体的一边所得到的图形，变化的运动轨迹，居然再次与数学巧合在一起。
伽利略最具影响力的还属对钟摆的研究，非常奇怪他怎么会注意到这些事物的细节，教堂里的吊灯的摆动，也能引起他的注意力，让他用脉搏去测试，结果惊讶地发现不论摆动幅度多大，吊灯来回一次的时间都是不变的！
用我们的价值观来看，这是一个多么“闲的蛋疼”的人哪！他又去探索摆动的规律——摆线的长度之比等于时间平方之比。他没有来得及继续精细化这一规律，就去世了。
到后来微积分工具出现，摆动方程才完善出来。接着人们继续发现，这个方程居然就像个一样，可以适用到一切有类似摆动周期性的事物上去，所需要做的不过是变换一下符号，调整一下系数。
比如桥梁的震动、地震波、电路震荡，人们后来干脆把发电机方程就叫摆动方程，一直到后来的GPS定位用铯原子钟，还是一回事。大自然再次展现出了深刻的数学性。
3.微分开始。
微分起源于代数algebra。代数很早就已经出现了，只不过很长一段时间内，在中亚、印度和中国，都是以文字的方式出现，数字就是单词，方程就是语句，结果就是段落。
一直到中世纪时期，才逐步出现了用特定符号替代文字的方式。16世纪，法国人开始使用字母，代数才大致成了今天我们看到的样子。
1620年，费马和笛卡尔合作创立了一个神奇的组合——代数与几何构成的解析几何。不但代数方程化了，甚至还可视化了！不仅是几何的问题，一切可以用数字描述的关系，居然都可以用简单的xy轴和在区间中的线段来表现。
今天的我们当然认为理所当然，在四百年前，要理解到这个层面，需要好几层的想象力突破，不然怎么是神奇的费马和笛卡尔才想到。（敝号去年随笔的《费马大定理》很值得一看）
把微分学推动向前一大步的，还属费马。发明了解析几何之后，他远没有停步，看到那些奇妙的图形居然可以与代数方程联系，他自然就想到了如何利用视图的方式来解决代数问题，比如最大最小问题。
他发现通过方程的曲线图，很容易可以看到用一条切线，与之相交于一点来确定方程的最大值或者最小值。
由是他发明了最优化方法——怎样利用代数方程来解决最优化问题，比如给定一定条件下的最大容积、最小面积等等。
他反对笛卡尔关于光的折射原因，笛卡尔认为是因为光在不同介质里传播速度不一样，费马认为不是，所以用了他的优化代数方程进行了模拟，也独立发现了折射的正弦定理，由此费马大胆地提出了影响至今的科学原则——最短时间原理，即光总是按照能到达目标的最短时间路径行进。
也就是说，通过对光的观察，又发现了宇宙按照精确的数学运转的特点。
代数的迅猛发展，更多的学人开始用解析几何研究曲线——其实也就是研究代数中的指数函数、幂函数、对数函数。正是对数的研究，产生了数学史上继π这个数字之后的第二个“幽灵”——自然对数底数e。
这两个数字确乎诡异——它们都是无限不循环的数字，还偏偏就在自然界中极为普遍。最可怕的是，把这一对“幽灵”全部置换为二进制数的话，发现e的小数部分前17位正好与π的小数部分第5-21位是倒序关系。长达17位的倒序关系，应该不会是简单的巧合，而是暗含了宇宙的玄机。玄机。
解析几何+曲线函数，马上激发了两个天才头脑的思考——牛顿和莱布尼茨。
22岁的牛顿就这么开始画，在xy轴的图上，距离和时间为两轴，以恒定速度运行的物体就是一条直的斜线，斜线的斜率slope就是距离s/时间t，也就是速度；那么如果是变速运动物体，比如加速或减速运动的物体呢，xy轴上的y轴就变成了v速度，速度此时就变成了一条曲线，已知量就从距离s指数函数积分和时间t变成了速度v和时间t。
那么在这个新的xy轴图上，距离是什么？距离就是速度v乘以时间t，体现在图形上，就是曲线以下的面积！
就像当年钟表匠哈里森，把经度测算的天文学问题，转变为如何设计一座精确运转不受海浪、温度、盐度影响的航海钟的机械问题一样，牛顿在处理变速计算问题时，无意中把此前纠缠了人类两千余年的曲线和曲面面积计算问题给转变了过来。
曲面面积其实就是变速运动物体在一定时间内行驶过的距离，而这个距离是可以用瞬时速度（微分）来累加（积分）实现的！反过来，一切关于以不断变化的速率发展的事物的问题，都可以看作解析几何里的曲线面积求解问题。
怎么计算曲线下面的面积？先沿用阿基米德和费马们的方法，把曲线下x轴，也就是时间轴
细分出一个细条出来，小到可以把它看作一个矩形，这个很小很小的时间段可以写成dx，d就是differential微分的意思，那么这个细条的面积dA就等于dx乘以高y，就是dA=ydx，把方程的两边同时除以dx，就得到了dA/dx=y。意思是说，这个无限小的时间段里的面积，其实就等于速度y。
于是，牛顿就把曲线的面积A(x)与曲线本身y(x)也就是速度变化的轨迹，以及曲线上每一点的速度dy/dx也就是曲线各处的斜率，联系了起来——这些斜率，也就是曲线函数y(x)的导数。微分就是无穷小的变化，导数就是两个微分量的比值，关系简述如下：
A(x)面积变化函数↔导数↔曲线函数y(x)↔导数↔dy/dx斜率。核心是导数，从导数的英文来看很明显：differential coefficient——微分系数，用于微分的联系量；另一个单词是derivative，衍生物，从面积（存量）的变化，衍生出曲线的变化，衍生出曲线上每一点（流量）的变化。
放大了看，求解曲线面积问题，以及知道斜率求解曲线的问题，不仅仅是解决曲面面积或者速度问题的方法，它可以用于解决所有以不断变化的速率变化发展的事物，随时间行进，而累积起来的变化量之间关系的问题——知道了随时间变化的量，可以求解变化的速
率，反之亦然。

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