20210910——常⽤积分⽅法常⽤积分的⽅法
1、公式法
使⽤积分表中的公式可直接求得积分。
（⼀）含有 ax+b 的积分
∫
d x
ax+b
=
1
a
ln|ax+1|+C
∫(ax+b)µd x=
1
a(µ+1)
(ax+b)µ+1+C
∫
x
ax+b
d x=
1
a2
(ax+b−b ln|ax+b|)+C
∫
x2
ax+b
d x=
1
a3
1
2
(ax+b)2−2b(ax+b)+b2ln|ax+b|+C
∫
d x
x(ax+b)
=−
1
b
ln
ax+b
x
+C
∫
d x
x2(ax+b)
=−
1
bx
+
a
b2
ln
ax+b
x
+C
∫
x
(ax+b)2
d x=
1
a2
ln|ax+b|+
b
ax+b
+C
∫
x2
(ax+b)2
d x=
1
a3
ax+b−2b ln|ax+b|−
b2
ax+b
+C
∫
d x
x(ax+b)2
=
1
b(ax+b)
−
1
b2
ln
ax+b
x
+C
（⼆）含有 √ax+b 的积分[] ||
||
() ()
||
∫√ax+b d x=
2
3a√(ax+b)3+C
∫x√ax+b d x=
2
15a2
(3ax−2b)√(ax+b)3+C
∫x2√ax+b d x=
2
105a3
(15a2x2−12abx+8b2)√(ax+b)3+C
∫
x
√ax+b
d x=
2
3a2
(ax−2b)√ax+b+C
∫
x2
√
d x=
2
15a3
(3a2x2−4abx+8b2)√ax+b+C
∫
d x
x√
=
1
√ln
√ax+b−√b
√+√+C b>0
2
√arctan
ax+b
−b+C b<0
∫
d x
x2√
=−
√ax+b
bx
−
a
2b∫
d x
x√
∫√ax+b
x
d x=2√ax+b+b∫
d x
x√
∫√ax+b
x2
d x=−
√ax+b
x
+
a
2∫
d x
x√
（三）含有 x2±a2 的积分
∫
d x
x2+a2
=
1
a
arctan
x
a+C
∫
d x
(x2+a2)n
=
x
2(n−1)a2(x2+a2)n−1
+
2n−3
2(n−1)a2∫
d x
(x2+a2)n−1∫
d x
x2−a2
=
1
2a
ln
x−a
x+a
+C
（四）含有 ax2+b(a>0) 的积分{||
√||
∫
d x
ax2+b
=
1
√arctan
a
b x+C b>0
1
2√ln
√ax−√−b
√ax+√+C b<0
∫
x
x2+b
d x=
1
2a
ln|ax2+b|+C
∫
x2
ax2+b
d x=
x
a
−
b
a∫
d x
ax2+b
∫
d x
x(ax2+b)
=
1
2b
ln
x2
|ax2+b|+C
∫
d x
x2(ax2+b)
=−
1
bx
−
a
b∫
d x
ax2+b
∫
d x
x3(ax2+b)
=
a
2b2
ln
|ax2+b|
x2−
1
2bx2
+C
∫
dx
(ax2+b)2
=
x
2b(ax2+b)
+
1
2b∫
d x
ax2+b
（五）含有 ax2+bx+c(a>0) 的积分
∫
d x
ax2+bx+c
=
2
√4ac−b2
arctan
2ax+b
√4ac−b2+C b2<4ac
1
√b2−4ac
ln
2ax+b−√b2−4ac
2ax+b+√b2−4ac+C b2>4ac
∫
x
ax2+bx+c
d x=
1
2a
ln|ax2+bx+c|−
b
2a∫
d x
ax2+bx+c
（六）含有 √x2+a2(a>0) 的积分
{√
||
{
||
∫
d x
√x+a
=arsinh
x
a
+C1=ln x+√x2+a2+C
∫
d x
√(x2+a2)3
=
x
a2√x2+a2
+C
∫
x
√x+a
d x=√x2+a2+C
∫
x
√(x2+a2)3
d x=−
1
√x2+a2
+C
∫
x2
√x+a
d x=
x
2√x2+a2−
a2
2
ln(x+√x2+a2)+C
∫
x2
√(x2+a2)3
d x=−
x
√x2+a2
+ln(x+√x2+a2)+C ∫
d x
x√x2+a2
=
1
a
ln
√x2+a2−a
|x|+C
∫
d x
x2√x+a
=−
√x2+a2
a2x
+C
∫√x2+a2d x=
x
2√x2+a2+
a2
2
ln(x+√x2+a2)+C
∫√(x2+a2)3d x=x
8
(2x2+5a2)√x2+a2+
3
8
a4ln(x+√x2+a2)+C
∫x√x2+a2d x=1
3√(x2+a2)3+C
∫x2√x2+a2d x=x
8
(2x2+a2)√x2+a2−
a4
8
ln(x+√x2+a2)+C
∫√x2+a2
x
d x=√x2+a2+a ln
√x2+a2−a
|x|+C
∫√x2+a2
x2
d x=−
√x2+a2
x
+ln(x+√x2+a2)+C
（七）含有 √x2−a2(a>0) 的积分
∫
d x
√x−a
=
x
|x|
arcosh
|x|
a
+C1=ln|x+√x2−a2|+C
∫
d x
√(x2−a2)3
=−
x
a2√x2−a2
+C
∫
x
√x−a
d x=√x2−a2+C
∫
x
√(x2−a2)3
d x=−
1
√(x2−a2)
+C
∫
x2
√x−a
d x=
x
2√x2−a2+
a2
2
ln|x+√x2−a2|+C
∫
x2
√(x2−a2)3
d x=−
x
√x2−a2
+ln|x+√x2−a2|+C ∫
d x
x√x2−a2
=
1
a
arccos
a
|x|+C
∫
d x
x2√x−a
=
√x2−a2
a2x
+C
∫√x2−a2d x=
x
2√x2−a2−
a2
2
ln|x+√x2−a2|+C
∫√(x2−a2)3d x=x
8
(2x2−5a2)√x2−a2
3
8
a4ln|x+√x2−a2|+C
∫x√x2−a2d x=1
3√(x2−a2)3+C
∫x2√x2−a2d x=x
8
(2x2−a2)√x2−a2−
a4
8
ln|x+√x2−a2|+C
指数函数积分∫√x2−a2
x
d x=√x2−a2−a arccos
a
|x|+C
∫√x2−a2
x2
d x=−
x2−a2
x
+ln|x+√x2−a2|+C
（⼋）含有 √a2−x2(a>0) 的积分

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