MATLAB实现图像巴特沃斯滤波、⾼频增强滤波及直⽅图均衡化
1、巴特沃斯滤波器
1.1 基本概念
在图像处理中，巴特沃斯滤波器传递函数如下：
巴特沃斯低通滤波器公式：
巴特沃斯⾼通滤波器公式：
在公式中，D(u,v)代表频域当中，点(u,v)到中⼼点的距离，我们知道⼆维图像的傅⾥叶变换的频域幅值图⼤概是长这样的：
所以中⼼点也就是(M/2,N/2)，M和N代表图像的长和宽，那么D(u,v)就可以⽤下⾯的式⼦来表⽰了：
⽽D0就是截⽌距离了，就相当于在频域当中画⼀个圈，对圈内或者圈外保留就可以达到所谓的低通和⾼通了，这个D0就相当于⼀维当中的截⽌频率。
1.2 MATLAB实现
有了上⾯的概念理解，程序实现起来也不难了。基本的思路就是先对图像进⾏⼆维傅⾥叶变换，之后根据公式设计巴特沃斯滤波器的传递函数，在频域对图像进⾏处理，最后再傅⾥叶反变换回来就结束了。具体代码如下：
clear all;
clc;
%% 读取原图像
Original_image=imread('Origin.tif');
[len,wid]=size(Original_image);
Original_image=im2double(Original_image);
g=fft2(Original_image); %⼆维傅⽴叶变换
g=fftshift(g);  %频移
%% 设计巴特沃斯滤波器
n1=2;  %巴特沃斯滤波器阶数为2
D0=0.05*len;  %截⽌频率5%的图像宽度
[M,N]=size(g);
m=fix(M/2);
n=fix(N/2);
for i=1:M
for j=1:N
D=sqrt((i-m)^2+(j-n)^2);
h1=1/(1+(D0/D)^(2*n1));  %计算⾼通滤波器传递函数
h2=0.5+2*h1;    %设计high-frequency emphasis其中a=0.5,b=2.0
s1(i,j)=h1*g(i,j);  %⽤设计的滤波器处理原图像
end
end
%% 傅⾥叶反变换后
filter_image1=im2uint8(real(ifft2(ifftshift(s1))));  %傅⾥叶反变换
%% 变换前后图像显⽰
subplot(1211),imshow(Original_image),title('(a) A chest X-ray image');
subplot(122),imshow(filter_image1),title('(b) Result of Butterworth highpass filtering');
1.3 处理结果
由于截⽌频率⽐较⾼，所以背景⽐较⿊，边界也看不清楚
2、⾼频增强滤波器（High-Frequency Emphasis Filtering）
2.1 基本概念
⾼频增强滤波器的传递函数如下：
其中a>=0,b>a，Hhp(u,v)表⽰⾼通滤波器，这个滤波器在保留⾼频分量的同时，也加⼊了背景的低频成分。
2.2 Matlab实现
这个也⽐较简单，只要在上⾯的
h1=1/(1+(D0/D)^(2*n1));  %计算⾼通滤波器传递函数
这句代码的后⾯添加⼀句就⾏了：
h2=0.5+2*h1;    %设计high-frequency emphasis其中a=0.5,b=2.0
s2(i,j)=h2*g(i,j);  %⽤设计的high-frequency emphasis滤波器处理原图像
之后同样是反变换⼀下得到变换后的图像：
filter_image2=im2uint8(real(ifft2(ifftshift(s2))));  %傅⾥叶反变换
subplot(121),imshow(Original_image),title('(a) A chest X-ray image');
subplot(122),imshow(filter_image2),title('(b) Result of high-frequency emphasis filtering');
2.3 处理结果
可以看到这张的边界更加清晰⼀些了
3、直⽅图均衡化
3.1 基本概念
直⽅图均值通俗来说就是把⼀幅图像的灰度值集合，通过⼀定的映射关系，映射到另⼀个灰度值集合中，其⽬的就是为了使各个灰度级点数⽐较均衡同时达到增强对⽐度的效果，具体怎么做我也不介绍了，⽹上的资料也⽐较多。这⾥贴⼀篇——
3.2 MATLAB实现
直⽅图均衡化MATLAB中其实是有封装好的函数的即histeq()函数：
另外还有⼀个显⽰图像直⽅图分布的函数——imhist()函数
但是在这⾥为了看⼀下直⽅图均衡化到底是怎么实现的，我还是⾃⼰码⼀下，这样可以了解⼀下实现过程，更熟悉掌握。
3.2.1 直⽅图均值化——⾃⼰编写代码
直接按照均衡化的思路来码代码，基本是以下⼏个步骤：
1.统计各像素点的灰度值
2.各灰度级的概率计算
3.累积概率分布函数计算matlab直方图
4.灰度级映射
直接看代码，我们这个是在第2部分⾼通增强基础filter_image2上进⾏的:
%% 直⽅图均衡化
%进⾏像素灰度统计;
s = zeros(1,256);%统计各灰度数⽬，共256个灰度级
for i = 1:len
for j = 1: wid
s(filter_image2(i,j) + 1) = s( filter_image2(i,j) + 1) + 1;%对应灰度值像素点数量增加⼀    end
end
%计算灰度分布密度
p = zeros(1,256);
for i = 1:256
p(i) = s(i) / (len * wid * 1.0);
end
%计算累计直⽅图分布
c = zeros(1,256);
c(1) = p(1);
for i = 2:256
c(i) = c(i - 1) + p(i);
end
%累计分布取整，将其数值归⼀化为1~256
c = uint8(255 .* c + 0.5);
%对图像进⾏均衡化
for i = 1:len
for j = 1: wid
hist_image(i,j) = c(filter_image2(i,j)+1);
end
end
3.2.2 直⽅图均衡化——MATLAB⾃带函数
这就更简单了，如下：
mat_hist_image=histeq(filter_image2,256);
3.3 处理结果
最后我们来看看⾃⼰码的直⽅图均衡化代码和MATLAB⾃带的函数处理的结果：
图©和图(d)分别表⽰两种处理的结果，看到效果基本是⼀样的，与图(b)⽐较，可以发现背景变得更加清晰了，我们的⽬的也达到了。#声明
本⽂章的公式以及图⽚来源于冈萨雷斯的《数字图像处理 第2版》Example 4.9

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