习题1
1. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。
  七桥问题属于一笔画问题。
  输入：一个起点
输出：相同的点
1， 一次步行
2， 经过七座桥，且每次只经历过一次
3， 回到起点
该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。
2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法
=m-n
2.循环直到r=0
  m=n
   n=r
  r=m-n
3 输出m
3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C++描述。
编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
  double value=0;
  for(int n=1;n<=10000 ;++n)
  {
      value=value*10+1;
  if(value%2013==0)
  {
      cout<<"n至少为:"<<n<<endl;
      break;
  }
}计算π值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的π值
#include <iostream>
using namespace std;
int main ()
{
double a,b;
double arctan(double x);圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢？任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果
一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
  int value, k=1;
  cin>>value;
  for (int i = 2;i!=value;++i)
  {
    while (value % i == 0 )           
    {
          k+=i;有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？
由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成
甲每次分别带着乙丙丁过桥
例如：
第一趟：甲，乙过桥且甲回来
第二趟：甲，丙过桥且甲回来
第一趟：甲，丁过桥
一共用时19小时
9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？
设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。
则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。
如果a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。
习题4
1. 分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。
2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。
O(N)=2*O(N/2)+x
O(N)+x=2*O(N/2)+2*x
a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a *O(N/2)+(a+1)*x
由此可知，时间复杂度可达到O(n);
3.分治策略一定导致递归吗？如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。
不一定导致递归。
如非递归的二叉树中序遍历。
      这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。
4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。
      归并排序： 
第一趟：（5,3）（1,9）；
第二趟：（3,5,1,9）；
第三趟：（1,3,5,9）；
快速排序：
          第一趟：5（ ,3,1,9）；设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。
设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置, 要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。
设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。
#include <iostream>
using namespace std;
int data[100];
设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。
参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现
9. 在有序序列(r1, r2, …, rn)中，存在序号i（1≤i≤n），使得ri=i。请设计一个分治算法到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。
在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。请设计算法寻众数并分析算法的时间复杂性。
设M是一个n×n的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元素都按升序排列。设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中，并分析算法的时间复杂性。
   
12. 设S是n（n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合S划分为子集S1和S2，使得| S1|=| S2|=n/2，且两个子集元素之和的差达到最大。
设a1, a2,…, an是集合{1, 2, …, n}的一个排列，如果i<j且ai>aj，则序偶(ai, aj)称为该排列的一个逆序。例如，2, 3, 1有两个逆序：(3, 1)和(2, 1)。设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。
循环赛日程安排问题。设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。
  采用分治方法。
  将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了
15. 格雷码是一个长度为2n的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。例如长度为23的格雷码为(000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100)。设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。
矩阵乘法。两个n×n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×n的矩阵Z，且Zij
满足            （1≤i, j≤n），这个公式给出了运行时间为O(n3)的算法。可以用分
治法解决矩阵乘法问题，将矩阵X和Y都划分成四个n/2×n/2的子块，从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达，即
从而得到分治算法：先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH，然后再花费O(n2)的时间完成加法运算即可。请设计分治算法实现矩阵乘法，并分析时间性能。能否再改进这个分治算法？
习题5
1. 下面这个折半查算法正确吗？如果正确，请给出算法的正确性证明，如果不正确，请
说明产生错误的原因。
int BinSearch(int r[ ], int n, int k)
{
  int low = 0, high = n - 1;
int mid;
while (low <= high)
{
mid = (low + high) /namespace是干嘛的 2;
if (k < r[mid])    high = mid;
else    if (k > r[mid]) low = mid;
else return mid; 
}
return 0;
}
错误。
正确算法：
int BinSearch1(int r[ ], int n, int k)     
{
  int low = 0, high = n - 1;           
int mid;
while (low <= high)           
{
mid = (low + high) / 2;           
if (k < r[mid])    high = mid - 1;
else    if (k > r[mid]) low = mid + 1;
else return mid;                     
}
return 0;                               
}
2. 请写出折半查的递归算法，并分析时间性能。
求两个正整数m和n的最小公倍数。（提示：m和n的最小公倍数lcm(m, n)与m和n的最大公约数gcd(m, n)之间有如下关系：lcm(m, n)=m×n/gcd(m, n)）
插入法调整堆。已知（k1, k2, …, kn）是堆，设计算法将（k1, k2, …, kn, kn+1）调整为
堆（假设调整为大根堆）。
参照：
  void SiftHeap(int r[ ], int k, int n)
{
int i, j, temp;
i = k; j = 2 * i + 1;                    设计算法实现在大根堆中删除一个元素，要求算法的时间复杂性为O(log2n)。

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