第3章  MATLAB符号计算
符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1 符号表达式的建立
Symbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1 创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
语法：
        sym(‘常量’)          %创建符号常量
例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
>> a=sym('sin(2)')
a =
sin(2)
sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
语法：
        sym(常量,参数)        %把常量按某种格式转换为符号常量
说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。
表3.1 参数设置
参数
作用
d
返回最接近的十进制数值(默认位数为32位)
f
返回该符号值最接近的浮点表示
r
返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一
e
返回最接近的带有机器浮点误差的有理值
例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
a=sym('sin(2)')
a =
sin(2)
例如，把常量转换为符号常量，按系统默认格式转换：
a=sym(sin(2))
a =
8190223105242182*2^(-53)
【例3.1】创建数值常量和符号常量。
a1=2*sqrt(5)+pi              %创建数值常量
a1 =
    7.6137
a2=sym('2*sqrt(5)+pi')          %创建符号表达式
a2 =
2*sqrt(5)+pi
a3=sym(2*sqrt(5)+pi)          %按最接近的有理数型表示符号常量
a3 =
8572296331135796*2^(-50)
a4=sym(2*sqrt(5)+pi,'d')          %按最接近的十进制浮点数表示符号常量
a4 =
7.6137286085893727261009189533070
a31=a3-a1                      %数值常量和符号常量的计算
a31 =
0
a5='2*sqrt(5)+pi'              %字符串常量
a5 =
2*sqrt(5)+pi
可以通过查看工作空间来查看各变量的数据类型和存储空间，工作空间如图3.1所示。
3.1.2 创建符号变量和表达式
创建符号变量和符号表达式可以使用sym和syms命令。
1. 使用sym命令创建符号变量和表达式
语法：
        sym(‘变量’,参数)          %把变量定义为符号对象
说明：参数用来设置限定符号变量的数学特性，可以选择为’positive’、’real’和’unreal’， ’positive’ 表示为“正、实”符号变量，’real’表示为“实”符号变量，’unreal’ 表示为“非实”符号变量。如果不限定则参数可省略。
【例3.2】创建符号变量，用参数设置其特性。
syms x y real                      %创建实数符号变量
z=x+i*y;                              %创建z为复数符号变量
real(z)                                  %复数z的实部是实数x
ans =
x
sym('x','unreal');              %清除符号变量的实数特性
real(z)                                  %复数z的实部
ans =
tool工具箱
1/2*x+1/2*conj(x)
程序分析：设置x、y为实数型变量，可以确定z的实部和虚部。
语法：
        sym(‘表达式’)              %创建符号表达式
【例3.2续】创建符号表达式。
f1=sym('a*x^2+b*x+c') 
f1 =
a*x^2+b*x+c
2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式
语法：
        syms(‘arg1’, ‘arg2’, …,参数)          %把字符变量定义为符号变量
        syms arg1 arg2 …,参数            %把字符变量定义为符号变量的简洁形式
说明：syms用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。参数设置和前面的sym命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。
【例3.2续】使用syms命令创建符号变量和符号表达式。
syms a b c x                  %创建多个符号变量
f2=a*x^2+b*x+c              %创建符号表达式
f2 =
a*x^2+b*x+c
syms('a','b','c','x') 
f3=a*x^2+b*x+c;              %创建符号表达式
程序分析：既创建了符号变量a、b、c、x，又创建了符号表达式，f2、f3和f1符号表达式相同。
3.1.3 符号矩阵
用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。
A=sym('[a,b;c,d]')
A =
[ a, b]
[ c, d]
例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵：
syms a b c d
A=[a b;c d]
A =
[ a, b]
[ c, d]
【例3.3】比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。
A=sym('[a,b;c,d]')          %创建符号矩阵
A =
[ a, b]
[ c, d]
B='[a,b;c,d]'              %创建字符串矩阵
B =
[a,b;c,d]
C=[a,b;c,d]              %创建数值矩阵
??? Undefined function or variable 'a'.
程序分析：由于数值变量a、b、c、d未事先赋值，MATLAB给出错误信息。
C=sym(B)                  %转换为符号矩阵
C =
[ a, b]
[ c, d]
whos
  Name      Size                  Bytes  Class
  A        2x2                      312  sym object
  B        1x9                      18  char array
  C        2x2                      312  sym object
Grand total is 25 elements using 642 bytes
程序分析：查看符号矩阵A，可以看到为2×2的符号矩阵，占用较多的字节。
3.2符号表达式的代数运算
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点：
▪ 传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的限制，它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的8位浮点表示法，因此每一次运算都会有一定的截断误差，重复的多次
数值运算就可能会造成很大的累积误差。符号运算不需要进行数值运算，不会出现截断误差，因此符号运算是非常准确的。
▪ 符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。
▪ 符号运算的时间较长，而数值型运算速度快。
3.2.1符号表达式的代数运算
符号表达式的运算符和基本函数都与数值计算中的几乎完全相同。
1. 符号运算中的运算符
(1) 基本运算符
▪ 运算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。
▪ 运算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数组的乘、除、求幂，即数组间元素与元素的运算。
▪ 运算符“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、非共轭转置。
(2) 关系运算符
▪ 在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。
▪ 运算符“= =”、“~=”分别对运算符两边的符号对象进行“相等”、“不等”的比较。当为“真”时，比较结果用1表示；当为“假”时，比较结果则用0表示。
2. 函数运算
(1) 三角函数和双曲函数
三角函数包括sin、cos、tan；双曲函数包括sinh、cosh、tanh；三角反函数除了atan2函数仅能用于数值计算外，其余的asin、acos、atan函数在符号运算中与数值计算的使用方法相同。
(2) 指数和对数函数
指数函数sqrt、exp、expm的使用方法与数值计算的完全相同；对数函数在符号计算中只有自然对数log(表示ln)，而没有数值计算中的log2和log10。
(3) 复数函数
复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同。但注意，在符号计算中，MATLAB没有提供求相角的命令。
(4) 矩阵代数命令
MATLAB提供的常用矩阵代数命令有diag，triu，tril，inv，det，rank， poly，expm，eig等，它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样。
【例3.4】求矩阵的行列式值、非共轭转置和特征值。
syms a11 a12 a21 a22
A=[a11 a12;a21 a22]              %创建符号矩阵
A =
[ a11, a12]
[ a21, a22]
det(A)                      %计算行列式
ans =
a11*a22-a12*a21
A.'                          %计算非共轭转置
ans =
[ a11, a21]
[ a12, a22]
eig(A)                      %计算特征值
ans =
[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
f=sym('2*x^2+3*x+4')
f =
2*x^2+3*x+4
g=sym('5*x+6')
g =
5*x+6
f+g                      %符号表达式相加
ans =
2*x^2+8*x+10
f*g                      %符号表达式相乘
ans =
(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)
3.2.2 符号数值任意精度控制和运算
1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。