【原创】开源Math.NET基础数学类库使⽤（08）C#进⾏数值积
分
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开源Math.NET基础数学类库使⽤总⽬录：
前⾔
在数值计算的需求中，数值积分也是⽐较常见的⼀个。我们也知道像Matlab，Mathematics等软件的积分求解功能⾮常⾼⼤上，不仅能求解定积分，还能求解不定积分，甚⾄多重积分等等。⽽Math.NET这个组件没有如此⾼级的功能，⽬前也只提供了⽐较件的闭区间上的定积分求解功能。今天就⼀起来看看，因为不定积分涉及到符号计算，因此其背后的原理和实现要复杂得多。就连Matlab这种软件暂时也不⽀持混编编程求解符号计算相关的功能。
1.定积分
很多⼈可能已经淡忘了定积分的概念，当然需要⽤到的朋友看到这⾥，也基本不⽤看本段的内容，⽐较简单，⾼等数学已经是10多年前学过的东西了，虽然以前很精通，现在也只能凭印象理解和⽹络来对这个概念稍微进⾏整理，可能有些不完整或⼩错误，还请谅解。
数学定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，⽤分点xi将区间[a,b]分为n 个⼩区间，在每个⼩区间[xi-1,xi]上任取⼀点
ri（i=1,2,3…,n），作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于⽆穷⼤时，上述和式⽆限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分. 记作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]，这⾥，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。
⼏何定义：可以理解为在 Oxy坐标平⾯上，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的⾯积值（⼀种确定的实数值）。
详细的可以参考以下链接：
2.Math.NET关于定积分的实现
Math.NET中对定积分的实现都在MathNet.Numerics.Integration命名空间以及Integrate.cs中,Integrate静态类其实是对Integration命名空间下⼏个近似积分⽅法的实现。Math.NET定积分的近似求解主要是⽤到了“梯形法则”，详细的内容可以参考以下：，其原理⾮常简单。这⾥我们只介绍经常⽤到的Integrate静态类的实现，很简单，其他内部实现过程可以查源码：
1using System;
2using MathNet.Numerics.Integration;
3
4namespace MathNet.Numerics
5 {
6///<summary>
7///数值积分类
8///</summary>
9public static class Integrate
10 {
11///<summary>
12///近似解析光滑函数在闭区间上的定积分
13///</summary>
14///<param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>writeline函数
15///<param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
16///<param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
17///<param name="targetAbsoluteError">The expected relative accuracy of the approximation.</param>
18///<returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
19public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd, double targetAbsoluteError)
20 {
21return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, targetAbsoluteErr
or);
22 }
23
24///<summary>
25///近似解析光滑函数在闭区间上的定积分
26///</summary>
27///<param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
28///<param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
29///<param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
30///<returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
31public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd)
32 {
33return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, 1e-8);
34 }
35 }
36 }
下⾯的例⼦就是直接调⽤该类进⾏的。
3.C#使⽤Math.NET求解定积分的例⼦
使⽤⽐较简单，直接看源码：
1// 1. Integrate x*x on interval [0, 10]
2 Console.WriteLine(@"1.函数 x*x 在闭区间 [0, 10] 上的积分");
3var result = Integrate.OnClosedInterval(x => x * x, 0, 10);
4 Console.WriteLine(result);
5 Console.WriteLine();
6
7// 2. Integrate 1/(x^3 + 1) on interval [0, 1]
8 Console.WriteLine(@"2.函数 1/(x^3 + 1) 在闭区间 [0, 1] 上的积分");
9 result = Integrate.OnClosedInterval(x => 1 / (Math.Pow(x, 3) + 1), 0, 1);
10 Console.WriteLine(result);
11 Console.WriteLine();
12
13// 3. Integrate f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) on [0, 10]
14 Console.WriteLine(@"3.函数 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的积分");
15 result = Integrate.OnClosedInterval(x => Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x)), 0, 100);
16 Console.WriteLine(result);
17 Console.WriteLine();
18
19// 4. Integrate target function with absolute error = 1E-4
20 Console.WriteLine(@"4. 对⽬标函数进⾏积分，绝对误差= 1E-4 ，区间 [0, 10]");
21 Console.WriteLine(@"public static double TargetFunctionA(double x)
22{
23return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
24}");
25 result = Integrate.OnClosedInterval(TargetFunctionA, 0, 100, 1e-4);
26 Console.WriteLine(result);
27 Console.WriteLine();
参数主要有3个：函数，积分下限，积分上限，其他的就是附带⼀个绝对误差了，看看运⾏结果：1.函数 x*x 在闭区间 [0, 10] 上的积分
333.333333333332
2.函数1/(x^3 + 1) 在闭区间 [0, 1] 上的积分
0.835648848264702
3.函数 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的积分
10.4950494839272
4. 对⽬标函数进⾏积分，绝对误差= 1E-4 ，区间 [0, 10]
public static double TargetFunctionA(double x)
{
return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
}
10.4950494839276
4.资源
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